2025屆四川省閬中中學數(shù)學高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆四川省閬中中學數(shù)學高二上期末質(zhì)量檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等比數(shù)列中,，,則等于A. B.C. D.或2．如圖，在棱長為2的正方體中，點P在截面上（含邊界），則線段的最小值等于（）A. B.C. D.3．將一個表面積為的球用一個正方體盒子裝起來，則這個正方體盒子的最小體積為（）A. B.C. D.4．若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．設函數(shù)，當自變量t由2變到2.5時，函數(shù)的平均變化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.116．數(shù)列1，6，15，28，45，...中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出來，故稱它們?yōu)榱呅螖?shù)，那么第10個六邊形數(shù)為（）A.153 B.190C.231 D.2767．設命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，8．已知橢圓C：的兩個焦點分別為，，橢圓C上有一點P，則的周長為（）A.8 B.10C. D.129．數(shù)列的通項公式是（）A. B.C. D.10．《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長篇小說，書中有這樣一個情節(jié)：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個小燈，另一種是大燈下綴4個小燈，大燈共360個，小燈共1200個.若在這座樓閣的燈球中，隨機選取一個燈球，則這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為A. B.C. D.11．已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓的兩個焦點，過F1的直線l交橢圓于M，N兩點，若△MF2N的周長為8，則橢圓方程為()A. B.C. D.12．在四面體OABC中，點M在線段OA上，且，N為BC中點，已知，，，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點（點在軸上方），_________14．我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________15．已知圓，則圓心坐標為______.16．若存在實常數(shù)k和b，使得函數(shù)F（x）和G（x）對其公共定義域上的任意實數(shù)x都滿足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，則稱此直線y＝kx+b為F（x）和G（x）的“隔離直線”，已知函數(shù)f（x）＝x2（x∈R），g（x）（x＜0），h（x）＝2elnx，有下列命題：①F（x）＝f（x）﹣g（x）內(nèi)單調(diào)遞增；②f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且b的最小值為﹣4；③f（x）和g（x）之間存在“隔離直線”，且k的取值范圍是（﹣4，0]；④f（x）和h（x）之間存在唯一的“隔離直線”y＝2x﹣e其中真命題為_____（請?zhí)钏姓_命題的序號）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，經(jīng)過點的直線與橢圓交于、兩點，若原點到直線的距離為，且，求直線的方程.18．（12分）已知向量，，且.（1）求滿足上述條件的點M(x,y)的軌跡C的方程；（2）設曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點P，Q，點A(0,1)，當|AP|=|AQ|時，求實數(shù)m的取值范圍.19．（12分）已知在等差數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若的前n項和為，且，，求數(shù)列的前n項和20．（12分）如圖，正方體的棱長為，分別是的中點，點在棱上，（）.（Ⅰ）三棱錐的體積分別為，當為何值時，最大？最大值為多少？（Ⅱ）若平面，證明：平面平面.21．（12分）某地區(qū)2021年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為50%，通過模擬實驗的方法來計算該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率．用隨機數(shù)x（，且）表示是否下雨：當時表示該地區(qū)下雨，當時，表示該地區(qū)不下雨，從隨機數(shù)表中隨機取得20組數(shù)如下：332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出m的值，并根據(jù)上述數(shù)表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）從2012年到2020年該地區(qū)清明節(jié)當天降雨量（單位：）如表：（其中降雨量為0表示沒有下雨）．時間2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年年份t123456789降雨量y292826272523242221經(jīng)研究表明：從2012年至2021年，該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量y與年份t成線性回歸，求回歸直線方程，并計算如果該地區(qū)2021年（）清明節(jié)有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，，，22．（10分）已知橢圓的左，右焦點為，橢圓的離心率為，點在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）點T為橢圓C上的點，若點T在第一象限，且與x軸垂直，過T作兩條斜率互為相反數(shù)的直線分別與橢圓C交于點M，N，探究直線的斜率是否為定值？若為定值，請求之；若不為定值，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】∵為等比數(shù)列，∴，又∴為的兩個不等實根，∴∴或∴故選D2、B【解析】根據(jù)體積法求得到平面的距離即可得【詳解】由題意的最小值就是到平面的距離正方體棱長為2，則，，設到平面的距離為，由得，解得故選：B3、C【解析】求出球的半徑，要使這個正方形盒子的體積最小，則這個正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長等于球的直徑，從而可得出答案.【詳解】解：設球的半徑為，則，得，故該球的半徑為11cm，若要使這個正方形盒子的體積最小，則這個正方體正好是該球的外切正方體，所以正方體的棱長等于球的直徑，即22cm，所以這個正方體盒子的最小體積為.故選：C.4、B【解析】由題意可知且，構(gòu)造函數(shù)，可得出，由函數(shù)的單調(diào)性可得出，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值，可得出關于的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則且，由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由已知，所以，，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則，所以，，解得.故選：B.5、B【解析】利用平均變化率的公式即得.【詳解】∵，∴.故選：B.6、B【解析】細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時聯(lián)系相關知識,如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，結(jié)合圖形可知，，，，，，，據(jù)此即可求解.【詳解】由題意知，數(shù)列的各項為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：B【點睛】本題考查合情推理中的歸納推理；考查邏輯推理能力；觀察分析、尋求規(guī)律是求解本題的關鍵；屬于中檔題、探索型試題.7、B【解析】根據(jù)全稱命題和特稱命題互為否定，即可得到結(jié)果.【詳解】因為命題，，所以為，.故選：B.8、B【解析】根據(jù)橢圓的定義可得：，所以的周長等于【詳解】因為，，所以，故的周長為故選：B9、C【解析】根據(jù)數(shù)列前幾項，歸納猜想出數(shù)列的通項公式.【詳解】依題意，數(shù)列的前幾項為：；；；……則其通項公式.故選C.【點睛】本小題主要考查歸納推理，考查數(shù)列通項公式的猜想，屬于基礎題.10、B【解析】設大燈下綴2個小燈為個，大燈下綴4個小燈有個，根據(jù)題意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【詳解】設大燈下綴2個小燈為個，大燈下綴4個小燈有個，根據(jù)題意可得，解得，則燈球的總數(shù)為個，故這個燈球是大燈下綴4個小燈的概率為，故選B【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中解答中根據(jù)題意列出方程組，求得兩種燈球的數(shù)量是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題11、A【解析】由題得c=1,再根據(jù)△MF2N的周長＝4a＝8得a＝2，進而求出b的值得解.【詳解】∵F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓的兩個焦點，∴c＝1，又根據(jù)橢圓的定義，△MF2N的周長＝4a＝8，得a＝2，進而得b＝，所以橢圓方程為.故答案為A【點睛】本題主要考查橢圓的定義和橢圓方程的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.12、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因為N為BC中點，所以,因為M在線段OA上，且，所以，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)拋物線焦半徑公式，所以.故答案為：3.14、405【解析】前9圈的石板數(shù)依次組成一個首項為9，公差為9的等差數(shù)列，15、【解析】將圓的一般方程配方程標準方程即可.【詳解】圓，即，它的圓心坐標是.故答案為：.16、①②④【解析】①求出F（x）＝f（x）﹣g（x）的導數(shù)，檢驗在x∈（，0）內(nèi)的導數(shù)符號，即可判斷；②、③設f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，x2≥kx+b對一切實數(shù)x成立，即有△1≤0，又kx+b對一切x＜0成立，△2≤0，k≤0，b≤0，根據(jù)不等式的性質(zhì)，求出k，b的范圍，即可判斷②③；④存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)的最值【解答】解：①∵F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2，∴x∈（，0），F(xiàn)′（x）＝2x0，∴F（x）＝f（x）﹣g（x）在x∈（，0）內(nèi)單調(diào)遞增，故①對；②、③設f（x）、g（x）的隔離直線為y＝kx+b，則x2≥kx+b對一切實數(shù)x成立，即有△1≤0，k2+4b≤0，又kx+b對一切x＜0成立，則kx2+bx﹣1≤0，即△2≤0，b2+4k≤0，k≤0，b≤0，即有k2≤﹣4b且b2≤﹣4k，k4≤16b2≤﹣64k?﹣4≤k≤0，同理?﹣4≤b≤0，故②對，③錯；④函數(shù)f（x）和h（x）的圖象在x處有公共點，因此存在f（x）和g（x）的隔離直線，那么該直線過這個公共點，設隔離直線的斜率為k．則隔離直線方程為y﹣e＝k（x），即y＝kx﹣ke，由f（x）≥kx﹣ke（x∈R），可得x2﹣kx+ke≥0當x∈R恒成立，則△≤0，只有k＝2，此時直線方程為：y＝2x﹣e，下面證明h（x）≤2x﹣e，令G（x）＝2x﹣e﹣h（x）＝2x﹣e﹣2elnx，G′（x），當x時，G′（x）＝0，當0＜x時，G′（x）＜0，當x時，G′（x）＞0，則當x時，G（x）取到極小值，極小值是0，也是最小值所以G（x）＝2x﹣e﹣g（x）≥0，則g（x）≤2x﹣e，當x＞0時恒成立∴函數(shù)f（x）和g（x）存在唯一的隔離直線y＝2x﹣e，故④正確故答案為：①②④【點睛】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查新定義，關鍵是對新定義的理解，考查函數(shù)的求導，利用導數(shù)求最值，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由已知條件可得出關于、、的方程組，求出這三個量的值，由此可得出橢圓的標準方程；（2）分析可知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，由點到直線的距離公式可得出，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，由可得出，代入韋達定理求出、的值，由此可得出直線的方程.【詳解】（1）設橢圓的焦距為，則，解得，因此，橢圓的標準方程為；（2）若直線斜率不存在，則直線過原點，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設斜率為，設直線方程為，設、，原點到直線的距離為，，即①.聯(lián)立直線與橢圓方程可得，則，則，由韋達定理可得，.，則為線段的中點，所以，，，得，，所以，，整理可得，解得，即，，因此，直線的方程為或.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.18、（1）+y2=1；（2）.【解析】（1）應用向量垂直的坐標表示得x2+3y2=3，即可寫出M的軌跡C的方程；（2）由直線與曲線C交于不同的兩點P(x1,y1)，Q(x2,y2)，設直線y=kx+m(k≠0)，聯(lián)立方程整理所得方程有，且由根與系數(shù)關系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N為PQ的中點結(jié)合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量關系，結(jié)合即可求m的范圍.【詳解】(1)∵，即，∴，即有x2+3y2=3，即點M(x,y)的軌跡C的方程為+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲線C與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點，∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0①，且x1+x2=，x1x2=.設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，線段PQ的中點N(x0,y0)，則.∵|AP|=|AQ|，即知PQ⊥AN，設kAN表示直線AN的斜率，又k≠0，∴kANk=-1.即·k=-1，得3k2=2m-1②，而3k2>0，有m>.將②代入①得2m1m2+1>0，即2m<0，解得0<m<2，∴m的取值范圍為.【點睛】思路點睛：1、由向量垂直，結(jié)合其坐標表示得到關于x，y的方程，寫出曲線C的標準方程即可.2、由直線與曲線C相交，聯(lián)立方程有，由|AP|=|AQ|得直線的垂直關系，即斜率之積為-1，進而可求參數(shù)的范圍.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的公差即可求解作答.(2)由已知條件求出數(shù)列的通項，再利用錯位相減法計算作答.【小問1詳解】等差數(shù)列中，，解得，則公差，所以數(shù)列的通項公式為：.【小問2詳解】的前n項和為，，，則當時，，于是得，即，而，即，，因此，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，由(1)知，，則，因此，，，所以數(shù)列的前n項和.20、（Ⅰ）,.（Ⅱ）見解析.【解析】（Ⅰ）由題可知，，由和，結(jié)合基本不等式可求最值；（Ⅱ）連接交于點，則為的中點，可得為中點，易證得，得平面，所以，進而可證得，，所以平面EFM,因為平面，從而得證.【詳解】（Ⅰ）由題可知，，.所以（當且僅當，即時等號成立）所以當時，最大，最大值為.（Ⅱ）連接交于點，則為的中點，因為平面，平面平面，所以，所以為中點.連接，因為為中點，所以，因為，所以.因為平面，平面，所以，因為，所以平面，又平面，所以.同理，因為，所以平面EFM,因為平面，所以平面平面B1D1M.21、（1），