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第27章圓27.3圓中的計(jì)算問題
第1課時(shí)弧長(zhǎng)和扇形面積公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解弧長(zhǎng)和扇形面積公式的探求過程.(難點(diǎn))2.會(huì)利用弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.(重點(diǎn))新課導(dǎo)入問題1:
如圖,在運(yùn)動(dòng)會(huì)的800米長(zhǎng)跑比賽中,甲和乙分別在第4跑道和第5跑道,為什么他們的起跑線不在同一處?問題2:
怎樣來計(jì)算彎道的“展直長(zhǎng)度”?因?yàn)檫@些彎道的“展直長(zhǎng)度”是一樣的.甲乙45問題如圖是圓弧形狀的鐵軌示意圖,其中鐵軌的半徑為100m,圓心角為90°.你能求出這段鐵軌的長(zhǎng)度嗎?(π取3.14,結(jié)果精確到0.01m)
知識(shí)講解探究上面求的是的圓心角90°所對(duì)的弧長(zhǎng),若圓心角為n°,如何計(jì)算它所對(duì)的弧長(zhǎng)呢?
思考請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算半徑為r,圓心角分別為180°、90°、45°、1°、n°所對(duì)的弧長(zhǎng).知識(shí)講解1.弧長(zhǎng)公式的推導(dǎo)(1)圓心角是180°,占整個(gè)周角的,因此它所對(duì)的弧長(zhǎng)__________;(2)圓心角是90°,占整個(gè)周角的,因此它所對(duì)的弧長(zhǎng)______________
;(3)圓心角是45°,占整個(gè)周角的____,因此它所對(duì)的弧長(zhǎng)_________________;(4)圓心角是1°,占整個(gè)周角的____,因此它所對(duì)的弧長(zhǎng)_________________;(5)圓心角是n°,占整個(gè)周角的____,因此它所對(duì)的弧長(zhǎng)___________________.知識(shí)講解探索知識(shí)講解結(jié)論如果弧長(zhǎng)為l,圓心角度數(shù)為n,圓的半徑為r,那么,弧長(zhǎng)為因此弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為注意:圓心角的倍數(shù),它是不帶單位的.知識(shí)講解練一練已知圓弧的半徑為50cm,圓心角為60°,求此圓弧的長(zhǎng)度.cm答:此圓弧的長(zhǎng)度為cm.解:弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為例1制造彎形管道時(shí),經(jīng)常要先按中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度”,再下料,試計(jì)算圖所示的管道的展直長(zhǎng)度L(結(jié)果取整數(shù)).因此所要求的展直長(zhǎng)度L=2×700+1570=2970(mm).
答:管道的展直長(zhǎng)度為2970mm.700mm700mmR=900mm(100°ACBDO解:由弧長(zhǎng)公式,得
的長(zhǎng)2.扇形及面積公式1.扇形:由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形是扇形.在⊙O中,由半徑OA,OB和所構(gòu)成的圖形是扇形.ABOC
在⊙O中,由半徑OA,OB和所構(gòu)成的圖形也是扇形.在同圓或等圓中,由于相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所以具有相等圓心角的扇形,其面積也相等.判一判:
下列圖形是扇形嗎?不是不是不是是是
2.扇形面積公式知識(shí)講解(1)如圖,圓心角是180°,占整個(gè)周角的,因此圓心角是180°的扇形面積是圓面積的_________;(2)圓心角是90°,占整個(gè)周角的________,因此圓心角是90°的扇形面積是圓面積的________;(3)圓心角是45°,占整個(gè)周角的________,因此圓心角是45°的扇形面積是圓面積的________;(4)圓心角是1°,占整個(gè)周角的________,因此圓心角是1°的扇形面積是圓面積的_________;(5)圓心角是n°,占整個(gè)周角的________,因此圓心角是n°的扇形面積是圓面積的_________.探索
想一想扇形的面積公式與什么公式類似?ABOO如果扇形的半徑為R,圓心角為n°,那么扇形面積的計(jì)算公式為結(jié)論如果設(shè)圓心角是n°的扇形面積為S,圓的半徑為r,那么扇形的面積為:
或知識(shí)講解因此扇形面積的計(jì)算公式為如果扇形的圓心角是230°,那么這個(gè)扇形的面積等于這個(gè)扇形所在圓的面積的____________;練一練知識(shí)講解
扇形的周長(zhǎng)為=30.47(cm).
解:因?yàn)閚=60°,r=10cm,所以扇形面積為知識(shí)講解練一練
如圖,已知圓O的半徑1.5cm,圓心角∠AOB=58o,求AB的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1cm)扇形OAB的面積(結(jié)果精確到0.1cm2).58oOAB解∵r=1.5cm,n=58,∴AB的長(zhǎng)=((例3如圖,水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m,其中水面高0.3m,求截面上有水部分的面積(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位).O.BAC解:如圖,連結(jié)OA,OB,作弦AB的垂直平分線,垂足為D,交AB于點(diǎn)C,連結(jié)AC.∵OC=0.6m,DC=0.3m,∴OD=OC-
DC=0.3(m),∴OD=DC.D有水部分的面積:S=S扇形OAB
一S
ΔOAB又
AD⊥DC,∴AD是線段OC的垂直平分線,∴AC=AO=OC.
從而∠AOD=60?,∠AOB=120?.隨堂訓(xùn)練1.如圖,⊙O是△ABC的外接圓,BC=2,∠BAC=30°,則劣弧BC的長(zhǎng)等于()
2.如圖,分別以n邊形的頂點(diǎn)為圓心,以1cm為半徑畫圓,當(dāng)n=2019時(shí),則圖中陰影部分的面積之和為()A.2πcm2 B.πcm2
C.2018πcm2
D.2019πcm2CB3.如圖,在扇形AOB中,AC為弦,∠AOB=130°,∠CAO=60°,OA=6,則BC
的長(zhǎng)為
.4.如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以點(diǎn)B為圓心,BA為半徑的圓弧與BC交于點(diǎn)E,四邊形AECD是平行四邊形,AB=6,則扇形(圖中陰影部分)的面積是
.
(
6π5.如圖,OA、OB是某墻角處的兩條地腳線,夾角∠AOB=150°,一根4m長(zhǎng)的繩子一端拴在墻角O處(OA>4m,OB>4m),另一端栓一只小狗,小狗在地面上活動(dòng),求:(1
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