考點(diǎn)06二次根式-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（江蘇省專用）

考點(diǎn)06二次根式二次根式主要包括：二次根式的概念與性質(zhì)、二次根式的運(yùn)算以及二次根式的化簡求值等，在江蘇各地中考中，二次根式的概念、性質(zhì)主要以選擇題和填空題的形式進(jìn)行考查；二次根式的運(yùn)算考查形式較多，既有選擇、填空題，也有計(jì)算題題型，二次根式的化簡求值主要以解答題為主。一、二次根式的概念與性質(zhì)；二、二次根式的運(yùn)算；考向一：二次根式的概念與性質(zhì)1．二次根式的有關(guān)概念（1）二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．其中符號(hào)“”叫做二次根號(hào)，二次根號(hào)下的數(shù)叫做被開方數(shù)．被開方數(shù)只能是非負(fù)數(shù)．即要使二次根式eq\r(a)有意義，則a≥0．（2）最簡二次根式：被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．（3）同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個(gè)二次根式，叫做同類二次根式．2．二次根式的性質(zhì)（1）≥0（≥0）；（2）；（3）；（4）；（5）．1．使分式有意義的x的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：且故選：B．2．（2022·江蘇·射陽縣第四中學(xué)一模）下列二次根式中是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】被開方數(shù)含有開不盡方的因數(shù)或因式，且不含分母，這樣的二次根式是最簡二次根式，根據(jù)此概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、此二次根式再也不能化簡了，故是最簡二次根式，符合題意；B、，故不是最簡二次根式，不符合題意；C、，故不是最簡二次根式，不符合題意；D、，故不是最簡二次根式，不符合題意；故選：A．3．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的乘法，二次根式的減法、二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A．，故符合題意；B．，故不符合題意；C．，故不符合題意；D．，故不符合題意；故選：A．4．若，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，解得，，故選：D5．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式混合運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：A.與不能合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.，故該選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．考向二：二次根式的運(yùn)算1.二次根式的加減：合并同類二次根式：在二次根式的加減運(yùn)算中，把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個(gè)二次根式．2.二次根式的乘除乘法法則：；除法法則：．3.二次根式的混合運(yùn)算：二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的．在運(yùn)算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用．1．下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的加、減、乘運(yùn)算法則和算式平方根的定義逐一計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：A．，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．，計(jì)算正確，符合題意，選項(xiàng)正確，故選D．2．估計(jì)的值應(yīng)在（

）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【答案】B【分析】下根據(jù)二次根式的乘法計(jì)算，再估算結(jié)果的大小，即可求解．【詳解】解：，∵，∴，∴的值應(yīng)在4和5之間．故選：B3．（2022·寧夏·銀川英才學(xué)校二模）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及二次根式的除法，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：A.與不能合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

D.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意．故選：C．4．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)及化簡，二次根式的乘法及除法，最后算加減法；（2）利用平方差根式求解，平方根、完全平方公式求解，再算加減法．【詳解】（1）解：（2）解：．5．計(jì)算下列各題(1)(2)(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)化簡，再利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則以及二次根式的性質(zhì)化簡，最后利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（3）直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則以及結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)化簡，再利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．1．（2022·福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）在函數(shù)中，自變量的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，列式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得．故選：C．2．（2022·上?！とA東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）下列式子屬于同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】A【分析】根據(jù)同類二次根式的概念判斷即可．【詳解】解：、與是同類二次根式，符合題意；B、與不是同類二次根式，不符合題意；C、與不是同類二次根式，不符合題意；D、與不是同類二次根式，不符合題意；故選A．3．（2022·重慶文德中學(xué)校二模）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A．，不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；B．，不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；C．，不是最簡二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；D．是最簡二次根式，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．4．（2022·廣東番禺中學(xué)三模）計(jì)算：等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，最后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：．故選：A．5．（2022·重慶·模擬）估算的結(jié)果最接近的整數(shù)是（）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先化簡二次根式得，再由，即可求出，從而得出答案．【詳解】，∵，∴，∴估算的結(jié)果最接近的整數(shù)是4．故選B．6．（2022·重慶市第一一〇中學(xué)校一模）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的加減法則即可判斷選項(xiàng)A和選項(xiàng)D，根據(jù)二次根式的乘法法則即可判斷選項(xiàng)B，根據(jù)二次根式的除法法則即可判斷選項(xiàng)C．【詳解】解：A．和不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；B．，故本選項(xiàng)不符合題意；C．，故本選項(xiàng)符合題意；D．，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．7．（2022·重慶·二模）估計(jì)的值應(yīng)在（

）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【答案】C【分析】先根據(jù)二次根式的乘法與減法法則求出計(jì)算結(jié)果，再根據(jù)無理數(shù)的估算即可得．【詳解】解：，，，，即，，故選：C．8．（2022·重慶·西南大學(xué)附中三模）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)二次根式的時(shí)候發(fā)現(xiàn)：有時(shí)候兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，例如，，，．通過查閱相關(guān)資料發(fā)現(xiàn)，這樣的兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．小組成員利用有理化因式，分別得到了一個(gè)結(jié)論：甲：；乙：設(shè)有理數(shù)a，b滿足：，則；丙：；?。阂阎?，則；戊：.以上結(jié)論正確的有（）A．甲丙丁 B．甲丙戊 C．甲乙戊 D．乙丙丁【答案】B【分析】根據(jù)分母有理化進(jìn)行計(jì)算逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：甲：，正確；乙：設(shè)有理數(shù)a，b滿足：，則，故乙錯(cuò)誤；丙：，故丙正確；?。海?，則，故丁錯(cuò)誤；戊：，故戊正確故選：B．9．（2022·山東臨沂·三模）已知a，b都是實(shí)數(shù)，，則的值為___________．【答案】4【分析】直接利用二次根式有意義條件求出a，b的值代入求解即可．【詳解】解：由題意可得，，，解得，∴，∴，故答案為4．10．（2022·四川·峨眉山市教育局二模）函數(shù)中，自變量的取值范圍是____．【答案】且【分析】根據(jù)“分式的分母不為0，二次根式的被開方數(shù)大于等于0”列出不等式解出x的取值范圍．【詳解】解：，，且故答案為：且．11．（2022·山東·青島三十七中二模）計(jì)算______．【答案】4【分析】原式利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，以及二次根式性質(zhì)計(jì)算即可求出值．【詳解】解：原式．故答案為：．12．（2022·山東濟(jì)南·二模）如果2、5、m是某三角形三邊的長，則等于_____．【答案】4【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)得原式，然后根據(jù)m的取值范圍去絕對(duì)值后合并即可．【詳解】解：∵2、5、m為三角形三邊，∴，∴原式，故答案為：4．13．（2022·上海·華東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模）計(jì)算：．【答案】【分析】先進(jìn)行二次根式的化簡，絕對(duì)值運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算，再算加減即可．【詳解】解：14．（2022·上海閔行·二模）計(jì)算：.【答案】【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值的意義、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪以及二次根式化簡等知識(shí)作答即可．【詳解】．15．（2022·山東濟(jì)南·模擬）先化簡，再求值：，其中．【答案】，9【分析】利用完全平方公式及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算，再合并，然后把x的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：原式===當(dāng)時(shí)，原式==916．（2022·寧夏同心思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先按照分式四則混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再代入求值即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原式．17．（2022·廣東·佛山市南海外國語學(xué)校三模）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則、完全平方公式將原式進(jìn)行化簡，然后將，代入，再利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式＝＝＝，當(dāng)，時(shí)，原式＝＝＝＝．18．（2022·江西吉安·二模）先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】直接將括號(hào)里面通分運(yùn)算，再利用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：．當(dāng)時(shí)，原式．19．（2022·福建省廈門第六中學(xué)二模）先化簡，再求值：÷，其中a＝－1．【答案】，【分析】先把括號(hào)內(nèi)通分再相減，然后因式分解，再把除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算后約分，然后把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：原式＝·＝·＝∵a＝－1∴原式＝＝＝20．（2022·遼寧營口·二模）先化簡，再求值：，其中x＝．【答案】，【分析】根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，然后根據(jù)完全平方公式以及化簡絕對(duì)值求得的值，代入化簡結(jié)果求值即可求解．【詳解】解：原式＝；；原式＝．1．（2022·江蘇徐州·中考真題）要使得式子有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義，被開方數(shù)大于等于，列不等式求解．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得．故選：B．2．（2022·江蘇蘇州·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通過，判斷A選項(xiàng)不正確；C選項(xiàng)中、不是同類項(xiàng)，不能合并；D選項(xiàng)中，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式法則：把單項(xiàng)式的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式；B選項(xiàng)正確．【詳解】A.，故A不正確；B.，故B正確；C.，故C不正確；D.，故D不正確；故選B．3．（2022·江蘇無錫·中考真題）函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是()A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4【答案】D【分析】因?yàn)楫?dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時(shí)，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，所以4x≥0，可求x的范圍．【詳解】解：4x≥0，解得x≤4，故選：D．4．（2021·江蘇泰州·中考真題）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】D【分析】把每個(gè)選項(xiàng)中的不是最簡二次根式化為最簡二次根式即可作出判斷．【詳解】A、，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、與不是同類二次根式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，，與3是同類二次根式，故此選項(xiàng)正確．故選：D．5．（2021·江蘇蘇州·中考真題）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B．3 C． D．9【答案】B【分析】直接根據(jù)二次根式的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：，故選B．6．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_______．【答案】【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【詳解】解：∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x1≥0，解得x≥1．故答案為：x≥1．7．（2022·江蘇鹽城·中考真題）使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是_______．【答案】【分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件，要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須，從而可得答案．【詳解】解：代數(shù)式有意義，故答案為：8．（2021·江蘇南京·中考真題）計(jì)算的結(jié)果是________．【答案】【分析】分別化簡和，再利用法則計(jì)算即可．【詳解】解：原式=；故答案為：．9．（2022·江蘇宿遷·中考真題）計(jì)算：4°．【答案】2【分析】先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的化簡，特殊角的三角函數(shù)值，再計(jì)算乘法，再合并即可．【詳解】解：10．（2022·江蘇泰州·中考真題）計(jì)算:(1)計(jì)算：；(2)按要求填空：小王計(jì)算的過程如下：解：

小王計(jì)算的第一步是(填“整式乘法”或“因式分解”)，計(jì)算過程的第步出現(xiàn)錯(cuò)誤.直接寫出正確的計(jì)算結(jié)果是.【答案】(1)(2)因式分解；三和五；【分析】(1)先化成最簡二次根式，然后根據(jù)二次根式的四則運(yùn)算法則求解即可；(2)按照分式的加減運(yùn)算法則逐步驗(yàn)算即可.【詳解】（1）解：原式；（2）解：由題意可知：故小王的計(jì)算過程中第三步和第五步出現(xiàn)了錯(cuò)誤；最終正確的計(jì)算結(jié)果為.故答案為：因式分解，第三步和第五步，1．（2022·江蘇無錫·一模）函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是（）A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的的非負(fù)性列不等式計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：x+1≥0，解得x≥﹣1．故自變量x的取值范圍是x≥﹣1．故選：A．2．（2022·江蘇無錫·二模）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的加法與乘法運(yùn)算法則判斷即可．【詳解】A、不是同類二次根式，不能相加，故計(jì)算錯(cuò)誤；B、，故計(jì)算正確；C、，故計(jì)算錯(cuò)誤；D、，故計(jì)算錯(cuò)誤；故選：B．3．（2022·江蘇泰州·一模）下列計(jì)算正確的是（）A． B．235C． D．236【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A，B進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)C，D進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、與不能進(jìn)行合并，故不符合題意．B