專題3.3乘法公式及其應(yīng)用（重點(diǎn)題專項(xiàng)講練）（浙教版）（原卷版）

專題3.3乘法公式及其應(yīng)用【典例1】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．利用圖2正方形面積的不同表示方法，可以驗(yàn)證公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）類似的，請(qǐng)你用圖1中的三種紙片拼一個(gè)圖形驗(yàn)證：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，請(qǐng)畫出圖形．（2）已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；（3）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值；（4）已知（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，求（a﹣2021）2的值．【思路點(diǎn)撥】（1）結(jié)合算式拼圖即可；（2）由（a+b）2＝a2+2ab+b2可推導(dǎo)出ab=(（3）由ab=(（4）設(shè)a﹣2020＝x，a﹣2022＝y(tǒng)，則x﹣y＝2，由（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，可推得xy=(x2【解題過程】解：（1）如圖，可以驗(yàn)證：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），∴ab=(又∵a+b＝5，a2+b2＝13，∴ab=52（3）設(shè)2021﹣a＝x，a﹣2020＝y(tǒng)，則x+y＝1，∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，∴x2+y2＝4043，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴xy=(x即（2021﹣a）（a﹣2020）＝xy＝﹣2021；（4）設(shè)a﹣2020＝x，a﹣2022＝y(tǒng)，則x﹣y＝2，∵（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，∴x2+y2＝64，∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，∴xy∵x﹣y＝2，∴（a﹣2021）2＝（a﹣2021）（a﹣2021）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝30+2﹣1＝31．1．（2021春?萊山區(qū)期末）如果用平方差公式計(jì)算（x﹣y+5）（x+y+5），則可將原式變形為（）A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y] C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]2．（2021秋?安居區(qū)期末）若x2+2（m﹣1）x+4是一個(gè)完全平方式，則m的值等于（）A．2 B．3 C．2或﹣2 D．﹣1或33．（2021秋?南安市期中）設(shè)a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，則數(shù)a，b，c按從小到大的順序排列，結(jié)果是（）A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．（2021春?常德期末）如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把余下的部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（無重疊部分），通過計(jì)算兩個(gè)圖形中陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的一個(gè)等式是（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a(chǎn)（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)（a+b）＝a2+ab5．（2021春?鎮(zhèn)江期中）小妍將（2020x+2021）2展開后得到a1x2+b1x+c1；小磊將（2021x﹣2020）2展開后得到a2x2+b2x+c2，若兩人計(jì)算過程無誤，則c1﹣c2的值為（）A．4041 B．2021 C．2020 D．16．（2021?寶安區(qū)模擬）如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么這個(gè)正整數(shù)就稱為“智慧數(shù)”，例如：5＝32﹣22，5就是一個(gè)智慧數(shù)，則下列各數(shù)不是智慧數(shù)的是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20237．（2020秋?鳳山縣期末）已知x2﹣3x+1＝0，則x2+x﹣2+3值為（）A．10 B．9 C．12 D．38．（2021秋?高青縣期中）已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16cm，它兩鄰邊長(zhǎng)分別為xcm，ycm，且滿足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，則該長(zhǎng)方形的面積為（）A．16cm2 B．15cm2 C．312cm2 D．6349．（2021春?芝罘區(qū)期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，則多項(xiàng)式x﹣2y的值是．10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）?…?（232+1）+1的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為．11．（2021秋?萊州市期中）用簡(jiǎn)便方法進(jìn)行計(jì)算：（1）20212﹣4040×2021+20202．（2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．12．（2021秋?玉州區(qū)期中）已知x+1x=136且0＜x＜113．（2021秋?仁壽縣期末）閱讀下列文字，尋找規(guī)律，解答下列各小題．已知x≠1，計(jì)算：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5（1）觀察上式計(jì)算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝．（2）計(jì)算：①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；②2+22+23+24+…+2m．14．（2021秋?長(zhǎng)春期末）【知識(shí)生成】用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，如圖1，是用長(zhǎng)為x，寬為y（x＞y）的四個(gè)全等長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到（x﹣y）2、（x+y）2、xy三者之間的等量關(guān)系式：；【知識(shí)遷移】如圖2所示的大正方體是由若干個(gè)小正方體和長(zhǎng)方體拼成的，用兩種不同的方法計(jì)算大正方體的體積，我們也可以得到一個(gè)等式：；【成果運(yùn)用】利用上面所得的結(jié)論解答：（1）已知x＞y，x+y＝3，xy=54，求x﹣（2）已知|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，則a3+b3＝．15．（2021秋?花都區(qū)期末）如圖1，有A型、B型、C型三種不同形狀的紙板，A型是邊長(zhǎng)為a的正方形，B型是邊長(zhǎng)為b的正方形，C型是長(zhǎng)為b，寬為a的長(zhǎng)方形．現(xiàn)用A型紙板一張，B型紙板一張，C型紙板兩張拼成如圖2的大正方形．（1）觀察圖2，請(qǐng)你用兩種方法表示出圖2的總面積．方法1：；方法2：；請(qǐng)利用圖2的面積表示方法，寫出一個(gè)關(guān)于a，b的等式：．（2）已知圖2的總面積為49，一張A型紙板和一張B型紙板的面積之和為25，求ab的值．（3）用一張A型紙板和一張B型紙板，拼成圖3所示的圖形，若a+b＝8，ab＝15，求圖3中陰影部分的面積．16．（2021春?電白區(qū)月考）問題再現(xiàn)：初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．（1）例如：利用圖①的幾何意義推證，將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形的邊長(zhǎng)增加b，形成兩個(gè)矩形和兩個(gè)正方形，這個(gè)大正方形的面積可以用兩種形式表示，分別用代數(shù)式表示為或，這就驗(yàn)證了乘法公式（用式子表達(dá)）；（2）問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法推證：13+23＝32？如圖②，A表示1個(gè)1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B表示1個(gè)2×2的正方形，C與D恰好可以拼成1個(gè)2×2的正方形，因此：B，C，D就可以表示2個(gè)2×2的正方形，即：2×2×2＝23，而A，B，C，D恰好可以拼成一個(gè)（1+2）×（1+2）的大正方形，由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．嘗試解決：請(qǐng)你類比上述推導(dǎo)過程，利用圖形幾何意義方法推證，然后求值：13+23+33＝．（要求自己構(gòu)造圖形并寫出推證過程）．（3）問題拓廣：（要求直接求出具體數(shù)值，不必有構(gòu)造圖形、推證過程）請(qǐng)用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：13+23+33+…+103＝．17．（2021秋?東城區(qū)校級(jí)期中）老師在黑板上寫出了一道思考題：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．（1）愛思考的小明同學(xué)想到了一種方法：先用b表示a，a＝2﹣b；再把a(bǔ)＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝+b2；再進(jìn)行配方得到：a2+b2＝2（b﹣）2+；根據(jù)完全平方式的非負(fù)性，就得到了a2+b2的最小值是．（2）請(qǐng)你根據(jù)小明的方法，當(dāng)x+y＝10時(shí)，求x2+y2的最小值．18．（2021秋?十堰期末）閱讀、理解、應(yīng)用．例：計(jì)算：20163﹣2015×2016×2017．解：設(shè)2016＝x，則原式＝x3﹣（x﹣1）?x?（x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．請(qǐng)你利用上述方法解答下列問題：（1）計(jì)算：1232﹣124×122；（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，請(qǐng)比較M，N的大??；（3）計(jì)算：(119．（2021秋?西山區(qū)校級(jí)期中）問題情境：閱讀：若x滿足（8﹣x）（x﹣6）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．解：設(shè)（8﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，則（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝3，a+b＝（8﹣x）+（x﹣6）＝2，所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×3＝﹣2．請(qǐng)仿照上例解決下面的問題：?jiǎn)栴}發(fā)現(xiàn)（1）若x滿足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值．類比探究（2）若x滿足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．拓展延伸（3）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE＝10，CG＝20，長(zhǎng)方形EFGD的面積為200．四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長(zhǎng)方形，求四邊形MFNP的面積（結(jié)果必須是一個(gè)具體數(shù)值）．20．（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）對(duì)于任意四個(gè)有理數(shù)a，b，c，d，可以組成兩個(gè)有理數(shù)對(duì)（a，b）與（c，d）．我們規(guī)定：（a，b）?（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）?