專題15全等三角形模型（二）

專題15全等三角形模型（二）題型一手拉手模型1．如圖所示，，，，，，則A． B． C． D．【解答】解：，，，在和中，，，，，，故選：．2．如圖，，都是等邊三角形，則的度數(shù)是A． B． C． D．【解答】解：，都是等邊三角形，，，，，，，，，，的度數(shù)是，故選：．3．已知，如圖，為線段上一動點（不與，重合），在同側(cè)分別作等邊三角形和等邊三角形，與交于點，與交于點，與交于點，連接，，以下四個結(jié)論：①；②是等邊三角形；③；④平分．其中正確的結(jié)論是A．①、② B．③、④ C．①、②、③ D．①、②、④【解答】解：和均是等邊三角形，，，，，，，，，故①正確；，，，，，又，是等邊三角形，故②正確；過作于，于，，，，，，，，，平分，故④正確；當(dāng)時，平分，則，此時，則，故③不正確；故選：．4．如圖，兩個正方形和，連接與，二者相交于．問：（1）求證：．（2）與的關(guān)系？并說明理由．（3）求證：平分．【解答】（1）證明：四邊形和四邊形是正方形，，，且，，在與中，，，（2）解：，，理由如下：由（1）得：，，，，，；（3）證明：過點作于，于，如圖：，，，，，，平分．5．如圖兩個等腰直角與，，連接，交于點．證明：（1）；（2）．【解答】解：（1）證明：與是等腰直角三角形，，，且，，即，在與中，，，；（2）證明：設(shè)與相交于點，由（1）知，，，，，，，，．6．如圖，以的邊，為邊，向外作等邊和等邊，連接，相交于點．（1）求證：．（2）求的度數(shù)．（3）求證：平分．（4）求證：．【解答】證明：（1）和是等邊三角形，，，，，即，在與中，，，；（2），，，，；（3）過點作于，于，，，，，，，平分；（4）在上截取，連接，在與中，，，，，，，，即，是等邊三角形，，．7．如圖，在等腰和等腰中，，，且、、三點共線，作于，求證：．【解答】證明：，，在和中，，，，，，，．8．如圖，，，，、交于點，連接．（1）求證：；（2）求證：平分．【解答】解：（1），，在和中，，；（2）過點作于，于，，（全等三角形的對應(yīng)高相等），平分．9．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，已知和均為等邊三角形，點，，在同一直線上，連接，求的度數(shù)．（2）拓展探究如圖2，若和均為等腰直角三角形，，點、、在同一直線上，為中邊上的高，連接；求：①的度數(shù)；②線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】解：（1）和是等邊三角形，，，，，，在和中，，△，，是等邊三角形，，，，；（2）①同（1）的方法得，，，是等腰直角三角形，，，，；②同（1）的方法得，，，，，，在中，，，，，，．10．已知中，；中，；，點、、在同一直線上，與相交于點，連接．（1）如圖1，當(dāng)時，①請直接寫出和的形狀；②求證：；③請求出的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)時，請直接寫出：①的度數(shù)；②若，，線段的長．【解答】解：（1）①，，，和是等邊三角形；②和均為等邊三角形，，，，，在和中，，，，③，，又，；（2）①和均為等腰直角三角形，，，，，即，，，在和中，，，，，②，，，，，，，，，，．11．以的、為邊作和，且，，與相交于，．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若、分別是、的中點，求的度數(shù)（用含式子表示）；（3）如圖3，連接，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系是．【解答】解：（1），，在和中，，，，，；（2）連接，由（1）可得：，，、分別是、的中點，，在和中，，，，，，，，，，，；（3）如圖3，連接，過點作于，于，，，，，，又，，，，故答案為：．12．已知：在和中，，．（1）如圖①，若．①求證：．②求證：．（2）如圖②，若，的大小為（直接寫出結(jié)果，不證明）．【解答】解：（1）①證明：，，．在和中，，，；②證明：，，，，；（2）由（1）可知：，，，，，．故答案為：．13．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若和均是頂角為的等腰三角形，、分別是底邊，求證：；（2）拓展探究：如圖2，若和均為等邊三角形，點、、在同一條直線上，連接，則的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系是；（3）解決問題：如圖3，若和均為等腰直角三角形，，點、、在同一條直線上，為中邊上的高，連接，請判斷的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【解答】解：（1）和均是頂角為的等腰三角形，，，，，，，；（2）和均是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，故答案為：，；（3），理由：同（1）（2）的方法得，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，．．14．【閱讀材料】小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現(xiàn)若，，，則．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現(xiàn)．【深入探究】（2）如圖2，和是等邊三角形，連接，交于點，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有①②③．（將所有正確的序號填在橫線上）．【延伸應(yīng)用】（3）如圖3，，，試探究與的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）證明：，，，在和中，，；（2）如圖2，和是等邊三角形，，，，，在和中，，，，①正確，，記與的交點為，，，，，②正確，在上取一點，使，連接，是等邊三角形，，，，，，，，③正確，連接，要使，則有，，，，，，，，而沒辦法判斷大于30度，所以，④不一定正確，即：正確的有①②③，故答案為①②③；（3）如圖3，延長至，使，，是等邊三角形，，，，，，，，，．15．閱讀材料：小胖同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組旋轉(zhuǎn)全等的三角形．小胖把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小胖發(fā)現(xiàn)若，，，則．（1）在圖1中證明小胖的發(fā)現(xiàn)；借助小胖同學(xué)總結(jié)規(guī)律，構(gòu)造“手拉手”圖形來解答下面的問題：（2）如圖2，，，求證：；（3）如圖3，在中，，，點為外一點，點為中點，，，求的度數(shù)（用含有的式子表示）．【解答】（1）證明：如圖1中，，，在和中，，，．（2）證明：如圖2中，延長到，使得．，，是等邊三角形，，，，，，，．．（3）解：如圖3中，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、、，延長到，使得，連接、．由（1）可知，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．題型二半角模型16．如圖，是邊長為6的等邊三角形，，，以點為頂點作一個角，使其兩邊分別交于點，交于點，連結(jié)，則的周長是12．【解答】解：是等腰三角形，且，，是邊長為4的等邊三角形，，，延長至，使，連接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，的周長是：．故答案為：12．17．如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且．以為頂點作一個角，使其兩邊分別交于點，交于點，連接，則的周長為6．【解答】解：是等腰三角形，且是邊長為3的等邊三角形延長至，使，連接，在和中，，，，，，為公共邊，的周長是：．18．已知：邊長為1的正方形中，、分別是、上的點．（1）若，求證：；（2）若得周長為2，求的度數(shù)．【解答】（1）證明：延長到，使，連接，，，，，．，，，，，．，，．（2）解：如圖，延長到，使，連接，，，，，．，，，又，，．19．已知四邊形中，，，，，，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于、．（1）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖，求證：．（2）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖2種情況下，求證：．（3）當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到時，在圖3種情況下上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．【解答】（1）證明：，，在與中，，，，，，，，，，，，為等邊三角形，，，；（2）證明：如圖，將順時針旋轉(zhuǎn)，得，，，，，，點與點重合，，，點、、三點共線，，，，，在與中，，，，；（3）解：不成立，，理由如下：如圖，將順時針旋轉(zhuǎn)，得，，由（2）同理得，點、、三點共線，，，點與點重合，，，，，，，在與中，，，，．20．如圖，中，，，于交于點，連接．（1）如圖1所示，當(dāng)在內(nèi)部時，求證：．（2）如圖2所示，當(dāng)?shù)倪叀⒎謩e在外部、內(nèi)部時，求證：．【解答】證明：（1）如圖，在上截取，連接，，，，，，，，，，，，在和中，，，，；（2）如圖，在的延長線上截取，連接，，，，，，，，，，在和中，，，，．21．（1）如圖1，在正方形中，、分別是、上的點，且，試判斷、與三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：．（2）如圖2：在四邊形中，，，．點、分別是、上的點，且，探究圖中線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長到點，使，連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．請你幫小王同學(xué)寫出完整的證明過程．【解答】解：（1）結(jié)論：．理由如下：如圖（1）中，在正方形中，，，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，點、、共線，，在和中，，，．（2）結(jié)論：成立．理由如下：如圖（2）中，因為，所以可以延長到，使得，則，，，，，，在和中，，，．22．【感知】如圖①，點是正方形的邊上一點，點是延長線上一點，且，易證，進而證得（不要求證明）【應(yīng)用】如圖②，在正方形中，點、分別在邊、上，且．求證：．【拓展】如圖③，在四邊形中，，，，點、分別在邊、上，且，若，，則四邊形的周長為6.4．【解答】【應(yīng)用】如圖②中，過點作交延長線于點．四邊形為正方形，，．，．，．．在和中，，．，．，，．在和中，，．．，．【拓展】如圖③中，過點作交延長線于點．，，，，．．在和中，，．，．，，．在和中，，．．，．四邊形的周長為，故答案為6.423．問題背景：“半角問題”（1）如圖：在四邊形中，，，．，分別是，上的點．且．探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此“半角問題”的方法是：延長到點．使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）探索延伸：當(dāng)聰明的你遇到下面的問題該如何解決呢？（2）若將（1）中“，”換為．其它條件不變．如圖1，試問線段、、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖2，在四邊形中，，，、分別是邊、上的點，且，請直接寫出線段、、它們之間的數(shù)量關(guān)系．（不需要證明）（4）如圖3，在四邊形中，，，、分別是邊、延長線上的點，且，試問線段、、具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明．【解答】證明：（1）延長到點．使．連接，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，；故答案為：；（2）如圖1，延長到，使，連接．在與中，，．，，．．又，易證．．．（3）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由是：如圖2，延長到，使，連接．，，，在與中，，．，，．．又，．．．（4）結(jié)論不成立，應(yīng)當(dāng)是．證明：在上截取，使，連接．，，．在與中，，