第18講特殊三角形的存在性（練習(xí)）

第18講特殊三角形的存在性（練習(xí)）1．（2018·上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AB=16，BC=12，CD=21．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CD方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N從B出發(fā)，在線段BA上，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N分別從C、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)M隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)．（1）設(shè)△AMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定t的取值范圍；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以A、M、N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？【答案】（1）；（2）t=3.5或t=【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB，垂足為H，用含的代數(shù)式表示的長(zhǎng)，再利用三角形面積公式即可得到答案．（2）先用含的代數(shù)式分別表示的長(zhǎng)，進(jìn)行分類討論，利用腰相等建立方程求解．【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB，垂足為H，則四邊形BCMH為矩形．∴MH=BC=12．∵AN=16t，∴；（2）由（1）可知：BH=CM=2t，BN=t，．以A、M、N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：①若MN=AN．因?yàn)椋涸赗t△MNH中，，所以：MN2=t2+122，由MN2=AN2得t2+122=（16t）2，解得t=．②若AM=AN．在Rt△MNH中，AM2=（162t）2+122．由AM2=AN2得：，即3t232t+144=0．由于△=，∴3t232t+144=0無(wú)解，∴．③若MA=MN．由MA2=MN2，得t2+122=（162t）2+122整理，得3t264t+256=0．解得，t2=16（舍去）綜合上面的討論可知：當(dāng)t=秒或t=秒時(shí)，以A、M、N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考察的是梯形通過(guò)作輔助線化成直角三角形的問(wèn)題與等腰三角形存在性問(wèn)題，掌握分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2018·上海八年級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段AB、AD中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE、CF、EF．（1）求證：△CEF≌△AEF；（2）聯(lián)結(jié)DE，當(dāng)BD＝2CD時(shí)，求證：AD＝2DE．【解析】(1)在直角三角形ABC中,E為斜邊AB的中點(diǎn),利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CE=AE,在直角三角形ACD中,F為斜邊AD的中點(diǎn),利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AF=CF,再由EF=EF,利用SSS即可得證;

(2)由EF為三角形ABD的中點(diǎn),利用中位線定理得到EF與BD平行,EF等于BD的一半,再由BD=2DC,等量代換得到EF=CD,再由EF與CD平行,得到四邊形CEFD為平行四邊形,可得出DE=CF,再由CF=AF,等量代換得到DE=AF.【詳解】證明：（1）∵∠ACB＝90°，且E線段AB中點(diǎn)，∴CE＝AB＝AE，∵∠ACD＝90°，F(xiàn)為線段AD中點(diǎn)，∴AF＝CF＝AD，在△CEF和△AEF中，，∴△CEF≌△AEF（SSS）；（2）連接DE，∵點(diǎn)E、F分別是線段AB、AD中點(diǎn)，∴EF＝BD，EF∥BC，∵BD＝2CD，∴EF＝CD．又∵EF∥BC，∴四邊形CFEDD是平行四邊形，∴DE＝CF，∵CF＝AF＝FD，∴AD＝2DE．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),中位線定理,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及平行四邊形的判定與性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.3．（2019·上海八年級(jí)期末）已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，連接BD（如圖a），點(diǎn)P沿梯形的邊，從點(diǎn)A→B→C→D→A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的距離為x，BP＝y(tǒng)．（1）求證：∠A＝2∠CBD；（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖（b）中的折線MNQ所示，試求CD的長(zhǎng)．（3）在（2）的情況下，點(diǎn)P從A→B→C→D→A移動(dòng)的過(guò)程中，△BDP是否可能為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出所有能使△BDP為等腰三角形的x的取值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見解析；（2）1；（3）△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或3或5﹣或或10或9+．【分析】(1)根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等可以進(jìn)一步證明∠A＝2∠CBD,(2)根據(jù)題意描述，可以確定AB=5，AB+BC＝8,再通過(guò)作DE⊥AB于來(lái)構(gòu)造直角三角形可以求出CD長(zhǎng)度.(3)根據(jù)題目描述分情況來(lái)討論哪個(gè)點(diǎn)為等腰三角形頂點(diǎn)，進(jìn)而列方程進(jìn)行求出P點(diǎn)位置情況.【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，∴∠ABD＝∠CDB，∠A+∠ADC＝180°，∠ABD+∠CBD＝90°，∠ABD＝∠ADB，∴∠A+2∠ABD＝180°，2∠ABD+2∠CBD＝180°，∴∠A＝2∠CBD；（2）解：由圖（b）得：AB＝5，AB+BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如圖所示：則DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝1；（3）解：可能；理由如下：分情況討論：①點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，當(dāng)PD＝PB時(shí)，P與A重合，x＝0；當(dāng)DP＝DB時(shí)，BP＝2BE＝2，∴AP＝3，∴x＝3；當(dāng)BP＝BD＝＝時(shí)，AP＝5﹣，即x＝5﹣；②點(diǎn)P在BC上時(shí)，存在PD＝PB，此時(shí)，x＝5+＝；③點(diǎn)P在AD上時(shí)，當(dāng)BP＝BD＝時(shí)，x＝5+3+1+2＝10；當(dāng)DP＝DB＝時(shí)，x＝5+3+1+＝9+；綜上所述：△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或3或5﹣或或10或9+．【點(diǎn)睛】本題主要考察學(xué)生對(duì)等腰三角形的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合能力、還有分類討論問(wèn)題的能力，掌握數(shù)性結(jié)合運(yùn)用是解決此題的關(guān)鍵.4．（2020·上海八年級(jí)期末）已知：如圖，在中，，，，AD平分，交BC邊于點(diǎn)D．點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．過(guò)點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)G，與射線AC交于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)F在邊AC上時(shí)，①求證：；②設(shè)，，求y與x之間的函數(shù)解析式并寫出定義域．（2）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求BE的長(zhǎng)．【答案】（1）①見詳解；②；（2）BE=8或124．【分析】（1）①先證明?AGF??AGE，從而得AD垂直平分FE，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；②分兩種情況：（a）當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，（b）當(dāng)點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求出y與x之間的函數(shù)解析式，即可；（2）分三種情況：①當(dāng)∠AFD是頂角，即FA=FD時(shí)，②當(dāng)∠FAD是頂角，即FA=DA時(shí)，③當(dāng)∠ADF是頂角，即DF=DA時(shí)，分別求解，即可．【詳解】（1）①∵，，∴∠BAC=60°，∵AD平分，∴∠FAG=∠EAG，∵，∴∠AGF=∠AGE=90°，又∵AG=AG，∴?AGF??AGE，∴FG=EG，∴AD垂直平分FE，∴DE=DF；②∵在中，，，，∴AB=2AC=12，（a）當(dāng)點(diǎn)F在線段AC上時(shí)，如圖，∵，，∴AE=12x，∵?AGF??AGE，∴AF=AE=12x，∴y=6(12x)=x6，∵0＜AF≤6，∴0＜12x≤6，∴6≤x＜12；（b）當(dāng)點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，∵，，∴AF=AE=12x，∴y=12x6=6x，∵6＜AF，∴6＜12x，∴0＜x＜6；綜上所述：y與x之間的函數(shù)解析式為：；（2）①當(dāng)是等腰三角形時(shí)，∠AFD是頂角，即FA=FD時(shí)，如圖∵，∴AF=FD=6y，∵∠FAG=∠EAG=∠BAC=30°，∴∠FDG=∠FAG=30°，∵∠C=90°，∠ADC=90°30°=60°，∴∠CDF=30°，∴DF=2CF，∴6y=2y，解得：y=2，∴AF=62=4，∴AE=AF=4，∴BE=124=8；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，∠FAD是頂角，即FA=DA時(shí)，如圖，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=6，∴AD=2CD=2×（6÷）=4，∴AE=AF=4，∴BE=124；③當(dāng)是等腰三角形時(shí)，∠ADF是頂角，即DF=DA時(shí)，如圖，∵DC⊥AF，∴CF=CA=6，∴AF=12，∴AE=AF=12，此時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，舍去，綜上所述：BE=8或124．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的定義，中垂線的性質(zhì)以及函數(shù)解析式，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及分類討論思想，是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在直線上（點(diǎn)P在第一象限），過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸，垂足為A，且OP＝．（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如果點(diǎn)M和點(diǎn)P都在反比例函數(shù)（k≠0）的圖像上，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為N．如果△MNA和△OAP全等（點(diǎn)M、N、A分別和點(diǎn)O、A、P對(duì)應(yīng)），求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【難度】★★【解析】（1）∵點(diǎn)P在直線上，∴設(shè)．∵OP＝，∴，解得：，∴；∵點(diǎn)P都在反比例函數(shù)（k≠0）的圖像上，∴．如果△MNA和△OAP全等（點(diǎn)M、N、A分別和點(diǎn)O、A、P對(duì)應(yīng)），當(dāng)N在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，，，∴，∴在反比例函數(shù)圖像上；當(dāng)N在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，，，∴，∴不在反比例函數(shù)圖像上，∴．【總結(jié)】本題主要考察一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，注意利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，并且注意對(duì)全等的分類討論．6.如圖所示，直線和x軸，y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0）．（1）試說(shuō)明△ABC是等腰三角形；（2）動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△MON的面積為S．①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S=4的情形?若存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；③在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△MON為直角三角形時(shí)，求t的值．【難度