第18講特殊三角形的存在性（練習(xí)）

第18講特殊三角形的存在性（練習(xí)）1．（2018·上海市民辦揚波中學(xué)八年級期末）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AB=16，BC=12，CD=21．動點M從點C出發(fā)，沿射線CD方向以每秒2個單位長的速度運動；動點N從B出發(fā)，在線段BA上，以每秒1個單位長的速度向點A運動，點M、N分別從C、B同時出發(fā)，當(dāng)點N運動到點A時，點M隨之停止運動．設(shè)運動時間為t(秒)．（1）設(shè)△AMN的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定t的取值范圍；（2）當(dāng)t為何值時，以A、M、N三點為頂點的三角形是等腰三角形？【答案】（1）；（2）t=3.5或t=【分析】（1）過點M作MH⊥AB，垂足為H，用含的代數(shù)式表示的長，再利用三角形面積公式即可得到答案．（2）先用含的代數(shù)式分別表示的長，進行分類討論，利用腰相等建立方程求解．【詳解】（1）如圖，過點M作MH⊥AB，垂足為H，則四邊形BCMH為矩形．∴MH=BC=12．∵AN=16t，∴；（2）由（1）可知：BH=CM=2t，BN=t，．以A、M、N三點為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：①若MN=AN．因為：在Rt△MNH中，，所以：MN2=t2+122，由MN2=AN2得t2+122=（16t）2，解得t=．②若AM=AN．在Rt△MNH中，AM2=（162t）2+122．由AM2=AN2得：，即3t232t+144=0．由于△=，∴3t232t+144=0無解，∴．③若MA=MN．由MA2=MN2，得t2+122=（162t）2+122整理，得3t264t+256=0．解得，t2=16（舍去）綜合上面的討論可知：當(dāng)t=秒或t=秒時，以A、M、N三點為頂點的三角形是等腰三角形．【點睛】本題考察的是梯形通過作輔助線化成直角三角形的問題與等腰三角形存在性問題，掌握分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2018·上海八年級期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上一點，點E、F分別是線段AB、AD中點，聯(lián)結(jié)CE、CF、EF．（1）求證：△CEF≌△AEF；（2）聯(lián)結(jié)DE，當(dāng)BD＝2CD時，求證：AD＝2DE．【解析】(1)在直角三角形ABC中,E為斜邊AB的中點,利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CE=AE,在直角三角形ACD中,F為斜邊AD的中點,利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AF=CF,再由EF=EF,利用SSS即可得證;

(2)由EF為三角形ABD的中點,利用中位線定理得到EF與BD平行,EF等于BD的一半,再由BD=2DC,等量代換得到EF=CD,再由EF與CD平行,得到四邊形CEFD為平行四邊形,可得出DE=CF,再由CF=AF,等量代換得到DE=AF.【詳解】證明：（1）∵∠ACB＝90°，且E線段AB中點，∴CE＝AB＝AE，∵∠ACD＝90°，F(xiàn)為線段AD中點，∴AF＝CF＝AD，在△CEF和△AEF中，，∴△CEF≌△AEF（SSS）；（2）連接DE，∵點E、F分別是線段AB、AD中點，∴EF＝BD，EF∥BC，∵BD＝2CD，∴EF＝CD．又∵EF∥BC，∴四邊形CFEDD是平行四邊形，∴DE＝CF，∵CF＝AF＝FD，∴AD＝2DE．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),中位線定理,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及平行四邊形的判定與性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.3．（2019·上海八年級期末）已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，連接BD（如圖a），點P沿梯形的邊，從點A→B→C→D→A移動，設(shè)點P移動的距離為x，BP＝y(tǒng)．（1）求證：∠A＝2∠CBD；（2）當(dāng)點P從點A移動到點C時，y與x的函數(shù)關(guān)系如圖（b）中的折線MNQ所示，試求CD的長．（3）在（2）的情況下，點P從A→B→C→D→A移動的過程中，△BDP是否可能為等腰三角形？若能，請求出所有能使△BDP為等腰三角形的x的取值；若不能，請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）1；（3）△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或3或5﹣或或10或9+．【分析】(1)根據(jù)等腰三角形兩個底角相等可以進一步證明∠A＝2∠CBD,(2)根據(jù)題意描述，可以確定AB=5，AB+BC＝8,再通過作DE⊥AB于來構(gòu)造直角三角形可以求出CD長度.(3)根據(jù)題目描述分情況來討論哪個點為等腰三角形頂點，進而列方程進行求出P點位置情況.【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，∴∠ABD＝∠CDB，∠A+∠ADC＝180°，∠ABD+∠CBD＝90°，∠ABD＝∠ADB，∴∠A+2∠ABD＝180°，2∠ABD+2∠CBD＝180°，∴∠A＝2∠CBD；（2）解：由圖（b）得：AB＝5，AB+BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如圖所示：則DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝1；（3）解：可能；理由如下：分情況討論：①點P在AB邊上時，當(dāng)PD＝PB時，P與A重合，x＝0；當(dāng)DP＝DB時，BP＝2BE＝2，∴AP＝3，∴x＝3；當(dāng)BP＝BD＝＝時，AP＝5﹣，即x＝5﹣；②點P在BC上時，存在PD＝PB，此時，x＝5+＝；③點P在AD上時，當(dāng)BP＝BD＝時，x＝5+3+1+2＝10；當(dāng)DP＝DB＝時，x＝5+3+1+＝9+；綜上所述：△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或3或5﹣或或10或9+．【點睛】本題主要考察學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合能力、還有分類討論問題的能力，掌握數(shù)性結(jié)合運用是解決此題的關(guān)鍵.4．（2020·上海八年級期末）已知：如圖，在中，，，，AD平分，交BC邊于點D．點E是邊AB上一動點（與點A、B不重合）．過點E作，垂足為點G，與射線AC交于點F．（1）當(dāng)點F在邊AC上時，①求證：；②設(shè)，，求y與x之間的函數(shù)解析式并寫出定義域．（2）當(dāng)是等腰三角形時，求BE的長．【答案】（1）①見詳解；②；（2）BE=8或124．【分析】（1）①先證明?AGF??AGE，從而得AD垂直平分FE，根據(jù)中垂線的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；②分兩種情況：（a）當(dāng)點F在線段AC上時，（b）當(dāng)點F在AC的延長線上時，分別求出y與x之間的函數(shù)解析式，即可；（2）分三種情況：①當(dāng)∠AFD是頂角，即FA=FD時，②當(dāng)∠FAD是頂角，即FA=DA時，③當(dāng)∠ADF是頂角，即DF=DA時，分別求解，即可．【詳解】（1）①∵，，∴∠BAC=60°，∵AD平分，∴∠FAG=∠EAG，∵，∴∠AGF=∠AGE=90°，又∵AG=AG，∴?AGF??AGE，∴FG=EG，∴AD垂直平分FE，∴DE=DF；②∵在中，，，，∴AB=2AC=12，（a）當(dāng)點F在線段AC上時，如圖，∵，，∴AE=12x，∵?AGF??AGE，∴AF=AE=12x，∴y=6(12x)=x6，∵0＜AF≤6，∴0＜12x≤6，∴6≤x＜12；（b）當(dāng)點F在AC的延長線上時，如圖，∵，，∴AF=AE=12x，∴y=12x6=6x，∵6＜AF，∴6＜12x，∴0＜x＜6；綜上所述：y與x之間的函數(shù)解析式為：；（2）①當(dāng)是等腰三角形時，∠AFD是頂角，即FA=FD時，如圖∵，∴AF=FD=6y，∵∠FAG=∠EAG=∠BAC=30°，∴∠FDG=∠FAG=30°，∵∠C=90°，∠ADC=90°30°=60°，∴∠CDF=30°，∴DF=2CF，∴6y=2y，解得：y=2，∴AF=62=4，∴AE=AF=4，∴BE=124=8；②當(dāng)是等腰三角形時，∠FAD是頂角，即FA=DA時，如圖，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=6，∴AD=2CD=2×（6÷）=4，∴AE=AF=4，∴BE=124；③當(dāng)是等腰三角形時，∠ADF是頂角，即DF=DA時，如圖，∵DC⊥AF，∴CF=CA=6，∴AF=12，∴AE=AF=12，此時，點E與點B重合，舍去，綜上所述：BE=8或124．【點睛】本題主要考查含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的定義，中垂線的性質(zhì)以及函數(shù)解析式，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及分類討論思想，是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P在直線上（點P在第一象限），過點P作PA⊥x軸，垂足為A，且OP＝．（1）求點P的坐標(biāo)；（2）如果點M和點P都在反比例函數(shù)（k≠0）的圖像上，過點M作MN⊥x軸，垂足為N．如果△MNA和△OAP全等（點M、N、A分別和點O、A、P對應(yīng)），求點M的坐標(biāo)．【難度】★★【解析】（1）∵點P在直線上，∴設(shè)．∵OP＝，∴，解得：，∴；∵點P都在反比例函數(shù)（k≠0）的圖像上，∴．如果△MNA和△OAP全等（點M、N、A分別和點O、A、P對應(yīng)），當(dāng)N在點A的左側(cè)時，，，∴，∴在反比例函數(shù)圖像上；當(dāng)N在點A的右側(cè)時，，，∴，∴不在反比例函數(shù)圖像上，∴．【總結(jié)】本題主要考察一次函數(shù)的綜合問題，注意利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，并且注意對全等的分類討論．6.如圖所示，直線和x軸，y軸的交點分別為B、C，點A的坐標(biāo)是（2，0）．（1）試說明△ABC是等腰三角形；（2）動點M從點A出發(fā)沿x軸向點B運動，同時動點N從點B出發(fā)沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度．當(dāng)其中一個動點到達終點時，他們都停止運動．設(shè)M運動t秒時，△MON的面積為S．①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)點M在線段OB上運動時，是否存在S=4的情形?若存在，求出對應(yīng)的t值；若不存在請說明理由；③在運動過程中，當(dāng)△MON為直角三角形時，求t的值．【難度