專題04豬蹄模型與鉛筆模型（原卷版）2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)題型分類高分必刷題（人教版）

專題04豬蹄模型與鉛筆模型壓軸題真題（原卷版）模型一：豬蹄與鋸齒模型【模型結(jié)論】如圖，直線MA∥NB，則：①∠APB＝∠A+∠B；②∠A+∠B+∠P＝∠P+∠P；③∠A+∠B+∠P+…+P＝∠P+∠P+∠P+…+∠P模型二：鉛筆模型【模型結(jié)論】如圖1：AB∥CD，則∠1+∠2＝180°；如圖2：AB∥CD，則∠1+∠2+∠3＝360°；如圖3：AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；如圖4：AB∥CD，則∠1+∠2+…+∠n＝（n﹣1）180°。1．（雅禮）已知，AB∥CD，分別探討四個(gè)圖形中∠APC，∠PAB，∠PCD的關(guān)系．（1）請(qǐng)說明圖1、圖2中三個(gè)角的關(guān)系，并任選一個(gè)加以證明．（2）猜想圖3、圖4中三個(gè)角的關(guān)系，不必說明理由．（提示：注意適當(dāng)添加輔助線?。?．（2021春?天心區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知直線MN∥EF．C是這兩直線之間一點(diǎn)．（1）如圖1，若∠MAC與∠EBC的平分線相交于點(diǎn)D，若∠ACB＝100°，求∠ADB的度數(shù)；（2）如圖2，若∠CAM的平分線與∠CBF的平分線所在的直線相交于點(diǎn)D，請(qǐng)直接寫出∠ACB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系．3．（2022·全國(guó)）【閱讀材料】在“相交線與平行線”的學(xué)習(xí)中，有這樣一道典型問題：如圖①，AB∥CD，點(diǎn)P在AB與CD之間，可得結(jié)論：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．理由如下：過點(diǎn)P作PQ∥AB．∴∠BAP+∠APQ=180°．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∴∠PCD+∠CPQ=180°．∴∠BAP+∠APC+∠PCD=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=180°+180°=360°．【問題解決】(1)如圖②，AB∥CD，點(diǎn)P在AB與CD之間，寫出∠BAP，∠APC，∠PCD間的等量關(guān)系；（只寫結(jié)論）(2)如圖③，AB∥CD，點(diǎn)P，E在AB與CD之間，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．寫出∠AEC與∠APC間的等量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖④，AB∥CD，點(diǎn)P，E在AB與CD之間，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，寫出∠AEC與∠APC間的等量關(guān)系．（只寫結(jié)論）4．（2022春·云南玉溪·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖1，直線，EF分別交AB，CD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，的平分線相交于點(diǎn)M．(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，，的平分線相交于點(diǎn)，請(qǐng)寫出與之間的等量關(guān)系，并說明理由；(3)在圖2中作的平分線相交于點(diǎn)，作的平分線相交于點(diǎn)，依此類推，作的平分線相交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．5．（2021春·吉林)【閱讀探究】如圖1，已知，分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)在兩平行線之間，，，求的度數(shù)．解：過點(diǎn)作,∵,∴,∴，，∴

，從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將和“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．進(jìn)一步研究，我們可以發(fā)現(xiàn)圖1中和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系：．【方法運(yùn)用】如圖2，已知，點(diǎn)分別在直線上，點(diǎn)在兩平線之間，求和之間的數(shù)量關(guān)系．【應(yīng)用拓展】如圖3，在圖2的條件下，作和的平分線、，交于點(diǎn)（交點(diǎn)在兩平行線之間）若，求的度數(shù)．6．（2022春·福建莆田）對(duì)于平面內(nèi)的∠M和∠N，若存在一個(gè)常數(shù)k＞0，使得∠M+k∠N=360°，則稱∠N為∠M的k系補(bǔ)周角．如若∠M=90°，∠N=45°，則∠N為∠M的6系補(bǔ)周角．(1)若∠H=120°，則∠H的4系補(bǔ)周角的度數(shù)為°；(2)在平面內(nèi)AB∥CD，點(diǎn)E是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接BE，DE；①如圖1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系補(bǔ)周角，求∠B的度數(shù)；②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，且滿足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n為常數(shù)且n＞1），點(diǎn)P是∠ABE角平分線BG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)你確定一個(gè)點(diǎn)P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補(bǔ)周角，并直接寫出此時(shí)的k值（用含n的式子表示）．7．（2022春·湖北十堰）已知，AB∥DE，點(diǎn)C在AB上方，連接BC、CD．（1）如圖1，求證：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；（2）如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥BC交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，探究∠ABC和∠F之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，∠CFD的平分線交CD于點(diǎn)G，連接GB并延長(zhǎng)至點(diǎn)H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．

8.（廣益）已知，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于．（1）如圖1，請(qǐng)直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，作平分，交于點(diǎn)，作平分，交于，連接，若，且，求的度數(shù)．9．（2022春·湖南長(zhǎng)沙）如圖，PQMN，A、B分別為直線MN、PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN=45°，若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿足．(1)a=________，b=________；(2)若射線AM、射線BQ同時(shí)旋轉(zhuǎn)，問至少旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相垂直．(3)若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線BQ才開始繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之前，問射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)多少秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相平行？10．（2019春·浙江）如圖，，、分別為直線、上兩點(diǎn)，且，若射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)、點(diǎn)不停地旋轉(zhuǎn)，若射線轉(zhuǎn)運(yùn)的速度是，秒，射線轉(zhuǎn)運(yùn)的速度是/秒．（友情提醒：鐘表指針走動(dòng)的方向?yàn)轫槙r(shí)針方向）（1）若射線、射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，問至少旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，射線、射線互相垂直．（2）若射線繞點(diǎn)順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)，射線才開始繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線到達(dá)之前，問射線再轉(zhuǎn)動(dòng)多少秒時(shí)，射線、射線互相平行？（3）如圖，射線和射線同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線到達(dá)之前．若射線與射線交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，說明理由．

11．（師大）如圖1，已知直線PQ∥MN，點(diǎn)A、B分別在直線MN、PQ上，射線AM繞點(diǎn)A以5°/秒的速度按順時(shí)針開始旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與AN（或AM）重合后便立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B以2°/秒的速度按順時(shí)針開始旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至與BP重合后便停止轉(zhuǎn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)后的射線分別記為AM'和BQ'．（1）若射線BQ先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，射線AM才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線AM第一次到達(dá)AN之前，射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒后AM'∥BQ'；（2）若射線AM，BQ同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，在射線BQ停止轉(zhuǎn)動(dòng)之前，記射線AM'與BQ'交于點(diǎn)H，若∠AHB＝90°，求t的值；（3）射線AM，BQ同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線AM第一次到達(dá)AN之前，記射線AM'與BQ'交于點(diǎn)K，過K作KC⊥AK交PQ于點(diǎn)C，如圖2，若∠BAN＝30°，則在旋轉(zhuǎn)過程中，∠BAK與∠BKC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

12．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，且滿足，過作軸于（1）求三角形的面積．（2）發(fā)過作交軸于，且分別平分，如圖2，若，求的度數(shù)．（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使得三角形和三角形的面積相等？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在；請(qǐng)說明理由．13．（2