第01講 變量與函數(shù)（知識解讀+達標檢測）（解析版）-A4

第頁第01講變量與函數(shù)【題型1：變量與常量】【題型2：函數(shù)定義】【題型3：函數(shù)的關系式】【題型4：函數(shù)自變量取值范圍】【題型5：函數(shù)值】【題型6：函數(shù)的圖像】【題型7：動點問題的函數(shù)圖像】知識點1：變量與常量定義：在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生改變的量為變量，數(shù)值始終不變的量為常量．一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是因變量，y是x的函數(shù)．如果當x=a時，y=b，b那么a叫做當自變量x的值為a時的函數(shù)值．【題型1：變量與常量】【典例1】（2022秋?武義縣期末）筆記本每本a元，買3本筆記本共支出y元，下列選項判斷正確的有（）A．a(chǎn)是常量時，y是變量 B．a(chǎn)是變量時，y是常量 C．a(chǎn)是變量時，y也是變量 D．無論a是常量還是變量，y都是變量【答案】C【解答】解：根據(jù)題意，可知a是變量時，y也是變量，故選：C．【變式1-1】（2023?南海區(qū)校級模擬）球的體積是V，球的半徑為R，則V＝πR3，其中變量和常量分別是（）A．變量是V，R；常量是，π B．變量是R，π；常量是 C．變量是V，R，π；常量是 D．變量是V，R3；常量是π【答案】A【解答】解：球的體積是V，球的半徑為R，則V＝πR3，其中變量是V，R；常量是，π故選：A．【變式1-2】（2023?惠來縣模擬）某人要在規(guī)定的時間內(nèi)加工100個零件，如果用n表示工作效率，用t表示規(guī)定的時間，下列說法正確的是（）A．數(shù)100和n，t都是常量 B．數(shù)100和n都是變量 C．n和t都是變量 D．數(shù)100和t都是變量【答案】C【解答】解：n＝，其中n、t為變量，100為常量．故選：C．【變式1-3】（2022春?清鎮(zhèn)市校級期中）樹的高度h隨時間t的變化而變化，下列說法正確的是（）A．h，t都是常量 B．t是自變量，h是因變量 C．h，t都是自變量 D．h是自變量，t是因變量【答案】B【解答】解：因為樹的高度h隨時間t的變化而變化，所以t是自變量，h是因變量；故選：B．知識點3：函數(shù)定義像這樣，用關于自變量的數(shù)學式子表示函數(shù)與自變量之間的關系，是描述函數(shù)的常用方法，這種式子叫做函數(shù)的解析式【題型2：函數(shù)定義】【典例2】（2023春?淮陽區(qū)月考）下列曲線中不能表示y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數(shù)，∴只有選項C不符合題意．故選：C．【變式2-1】（2023春?原陽縣月考）下列等式中，y不是x的函數(shù)的是（）A．3x﹣2y＝0 B．x2﹣y2＝1 C． D．y＝|x|【答案】B【解答】解：∵在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數(shù)，∴選項By不是x的函數(shù)．故選：B．【變式2-2】（2023春?偃師市校級月考）下列圖形中，表示y是x的函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、對于自變量x的每一個值，因變量y不是都有唯一的值與它對應，所以不能表示y是x的函數(shù)，故A不符合題意；B、對于自變量x的每一個值，因變量y不是都有唯一的值與它對應，所以不能表示y是x的函數(shù)，故B不符合題意；C、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應，所以能表示y是x的函數(shù)，故C符合題意；D、對于自變量x的每一個值，因變量y不是都有唯一的值與它對應，所以不能表示y是x的函數(shù)，故D不符合題意；故選：C．【變式2-3】（2022秋?余姚市校級期末）如圖圖象中，表示y是x的函數(shù)的個數(shù)有（）A．1 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：屬于函數(shù)的有：∴y是x的函數(shù)的個數(shù)有3個，故C正確．故選：C．【題型3：函數(shù)的關系式】【典例3】（2022秋?晉中期末）如圖是一支溫度計的示意圖，圖中左邊是用攝氏溫度表示的溫度值，右邊是用華氏溫度表示的溫度值，下表是這兩個溫度值之間的部分對應關系：攝氏溫度值x/℃01020304050華氏溫度值y/℉32506886104122根據(jù)以上信息，可以得到y(tǒng)與x之間的關系式為（）A． B．y＝x+32 C．y＝x+40 D．【答案】A【解答】解：根據(jù)表中的對應關系，可知y＝x+32＝，∴y＝，故選：A．【變式3-1】（2022秋?肇源縣期末）一個長方形的周長為30cm，長為xcm，寬為ycm，則用x表示y的關系式為（）A．y＝30﹣x B．y＝ C．x＝15﹣y D．y＝15﹣x【答案】D【解答】解：∵長方形的周長為30cm，長為xcm，寬為ycm，∴2（x+y）＝30，∴y＝15﹣x，故選：D．【變式3-2】（2022秋?沈河區(qū)期末）小明一家自駕車到離家500km的某景點旅游，出發(fā)前將油箱加滿油．下表記錄了行駛路程x（km）與油箱余油量y（L）之間的部分數(shù)據(jù)：行駛路程x（km）050100150200…油箱余油量y（L）4541373329…下列說法不正確的是（）A．該車的油箱容量為45L B．該車每行駛100km耗油8L C．油箱余油量y（L）與行駛路程x（km）之間的關系式為y＝45﹣8x D．當小明一家到達景點時，油箱中剩余5L油【答案】C【解答】解：∵當x＝0時y＝45，∴該車的油箱容量為45L，∴選項A不符合題意；∵由表格可得該車每行駛100km耗油8L，∴選項B不符合題意；∵由題意可得油箱余油量y（L）與行駛路程x（km）之間的關系式為y＝45﹣0.08x，∴選項C符合題意；∵由45﹣0.08×500＝5（L），即當小明一家到達景點時，油箱中剩余5L油，∴選項D不符合題意；故選：C．知識點3：自變量取值范圍和函數(shù)值初中階段，在一般的函數(shù)關系中自變量的取值范圍主要考慮以下四種情況：函數(shù)關系式為整式形式：自變量取值范圍為任意實數(shù)；函數(shù)關系式為分式形式：分母0函數(shù)關系式含算術平方根：被開方數(shù)0；（4）函數(shù)關系式含0指數(shù)：底數(shù)0?！绢}型4：函數(shù)自變量取值范圍】【典例4】（2023春?鹿城區(qū)校級月考）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A．x≠0 B．x＞2 C．x≥2 D．x＞0【答案】C【解答】解：由題意，得x﹣2≥0且x≠0，解得x≥2，∴函數(shù)自變量x的取值范圍是x≥2．故選：C．【變式4-1】（2022秋?桂平市期末）函數(shù)y＝，自變量x的取值范圍是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x取任意實數(shù) D．x≠0的一切實數(shù)【答案】D【解答】解：∵函數(shù)為反比例函數(shù)，∴自變量x的取值范圍是：x≠0的一切實數(shù)，故選：D．【變式4-2】（2023?惠山區(qū)校級模擬）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A．x≤2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2【答案】D【解答】解：由題意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故選：D．【變式4-3】（2022秋?貴池區(qū)期末）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A． B．x≠﹣3 C．且x≠﹣3 D．且x≠﹣3【答案】C【解答】解：∵1﹣2x≥0，x+3≠0，∴且x≠﹣3，故C正確．故選：C．【題型5：函數(shù)值】【典例5】（2022秋?沙坪壩區(qū)校級期末）根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值，若輸入x的值為1，則輸出y的值為2；若輸入x的值為﹣2，則輸出y的值為（）A．﹣8 B．﹣4 C．4 D．8【答案】A【解答】解：∵由題意得：把x＝1，y＝2，代入y＝ax2+2bx中可得：a+2b＝2，把x＝﹣2入y＝﹣ax2+4bx中可得：y＝﹣4a﹣8b＝﹣4（a+2b）＝﹣4×2＝﹣8，故選：A．【變式5-1】（2023?奉賢區(qū)一模）已知，那么f（﹣1）的值是．【答案】﹣1【解答】解：將x＝﹣1代入，得f（﹣1）＝＝﹣1，故答案為：﹣1．【變式5-2】（2022秋?隆回縣期末）如圖，若輸入x的值為﹣5，則輸出的結果為（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6【答案】D【解答】解：當x＝﹣5時，y＝﹣x+1＝﹣（﹣5）+1＝5+1＝6．故選：D．【變式5-3】（2023?灞橋區(qū)校級自主招生）f（x）＝，求f（﹣1）＝．【答案】【解答】解：f（﹣1）＝﹣1＝﹣1＝﹣1＝+1﹣1＝．故答案為：．知識點4：函數(shù)的圖像對于在某一變化過程中的兩個變量，把自變量x與因變量y的每對對應值分別作為點的橫坐標與縱坐標，在坐標平面內(nèi)描出這些點，這些點所組成的圖形就是它們的圖象（這個圖象就叫做平面直角坐標系）。它是我們所表示兩個變量之間關系的另一種方法，它的顯著特點是非常直觀。不足之處是所畫的圖象是近似的、局部的，通過觀察或由圖象所確定的因變量的值往往是不準確的。理解圖像：a.認真理解圖象的含義，注意選擇一個能反映題意的圖象；b.從橫軸和縱軸的實際意義理解圖象上特殊點的含義（坐標），特別是圖像的起點、拐點、交點【題型6：函數(shù)的圖像】【典例6】（2022秋?海淀區(qū)校級期末）小明家、食堂、圖書館在同一條直線上．小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報，然后回家．小明離家的距離與時間之間的對應關系如圖所示．根據(jù)如圖回答下列問題：（1）食堂離小明家多遠？小明從家到食堂用了多少時間？（2）小明吃早餐用了多少時間？在圖書館停留了多少時間？（3）圖書館離小明家多遠？小明從圖書館回家的平均速度是多少？【解答】解：（1）食堂離小明家0.6（km），小明從家到食堂用了8（min）；（2）小明吃早餐用的時間為25﹣8＝17（min），在圖書館停留的時間為58﹣28＝30（min）；（3）圖書館離小明家0.8（km），小明從圖書館回家的平均速度是0.8÷（68÷58）＝0.08（km/min）．【變式6-1】（2023春?沙坪壩區(qū)校級月考）周末，小陳出去購物；如圖是他離家的距離y（千米）與時間x（分鐘）的關系圖象，根據(jù)圖示信息：下列說法正確的是（）A．小陳去時的速度為6千米/小時 B．小陳在超市停留了15分鐘 C．小陳去時花的時間少于回家所花的時間 D．小陳去時走下坡路，回家時走上坡路【答案】A【解答】解：∵小陳去時的路程為2千米，時間為20分鐘＝小時，∴小陳去時的為＝6（千米/小時），故A選項正確，符合題意；小陳在超市停留的時間為30﹣20＝10（分鐘），故B選項錯誤，不符合題意；小陳去超市所花的時間為20分鐘，回家所花的時間為40﹣30＝10（分鐘），∵20＞10，∴小除去時花的時間多于回家所花的時間，故C選項錯誤，不符合題意；∵函數(shù)圖象表示的是距離和時間的關系，∴不能判斷出小陳去時走下坡路，回家時走上坡路，故D選項錯誤，不符合題意．故選：A．【變式6-2】（2022秋?肇源縣期末）某天小明騎自行車上學，途中因自行車發(fā)生故障，修車耽誤了一段時間后繼續(xù)騎行，按時趕到了學校．如圖所示是小明從家到學校這一過程中所走的路程s（米）與時間t（分）之間的關系．（1）小明從家到學校的路程共米，從家出發(fā)到學校，小明共用了分鐘；（2）小明修車用了多長時間？（3）小明修車以前和修車后的平均速度分別是多少？【解答】解：（1）由圖象可得，小明從家到學校的路程共2000米，從家出發(fā)到學校，小明共用了20分鐘，（2）小明修車用了：15﹣10＝5（分鐘），小明修車用了5分鐘；（3）由圖象可得，小明修車前的速度為：1000÷10＝100米/分鐘，小明修車后的速度為：（2000﹣1000）÷（20﹣15）＝200米/分鐘．【變式6-3】（2022春?織金縣期中）如圖是某汽車從A地去B地（行駛過程中，速度相同），再返回行駛過程中路程與時間的關系，回答下列問題：（1）A地與B地之間的距離是千米；汽車中途共休息了小時；（2）在前3小時汽車的行駛速度是多少？汽車在返回時的平均速度是多少？【解答】解：（1）由圖可知：圖像上縱坐標最大為60，∴A地與B地之間的距離是60千米；∵行駛過程中，速度相同，在0﹣3時行駛了40千米，則速度為千米/小時，3﹣6小時之間，路程不變，此時汽車休息了6﹣3＝3小時，從6小時開始，汽車從40千米行駛到60千米共用了＝1.5小時，∴汽車從6+1.5＝7.5小時開始休息了9﹣7.5＝1.5小時，∴汽車一共休息了3+1.5＝4.5小時；故答案為：60，4.5；（2）由（1）可得：在前3小時汽車的行駛速度是千米/小時，從9小時開始返回，12小時到達A地，∴返回時速度為：＝20（千米/小時）【題型7：動點問題的函數(shù)圖像】【典例7】（2022春?牡丹區(qū)校級期中）如圖，在長方形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC，CD，DA運動到點A停止，設點P運動路程為x，△ABP的面積為y，如果y關于x的函數(shù)圖象如圖所示，則長方形ABCD的周長是（）A．24 B．18 C．20 D．40【答案】B【解答】解：由y關于x的函數(shù)圖象可知，BC＝4，CD＝9﹣BC＝9﹣4＝5，∴長方形ABCD的周長是：2×（4+5）＝18；故選：B．【變式7-1】（2022春?朝陽區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為4，P為正方形邊上一動點，運動路線是A→D→C→B→A，設P點經(jīng)過的路程為x，以點A、P、D為頂點的三角形的面積是y，則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關系的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：當點P由點A向點D運動，即0＜x≤4時，y的值為0；當點P在DC上運動，即4＜x≤8時，y隨著x的增大而增大；當點P在CB上運動，即8＜x≤12時，y不變；當點P在BA上運動，即12＜x≤16時，y隨x的增大而減?。蔬x：B．【變式7-2】（2022春?東營區(qū)校級月考）如圖1，點P從△ABC的頂點A出發(fā)，沿A→B→C勻速運動到點C，圖2是點P運動時線段CP的長度y隨時間x變化的關系圖象，其中點Q為曲線部分的最低點，則△ABC的面積為（）A．50 B．60 C．65 D．70【答案】B【解答】解：根據(jù)圖2中的曲線可知：當點P在△ABC的頂點A處，運動到點B處時，圖1中的AC＝BC＝13，當點P運動到AB中點時，此時CP⊥AB，根據(jù)圖2點Q為曲線部分的最低點，得CP＝12，所以根據(jù)勾股定理得，此時AP＝＝5，所以AB＝2AP＝10，所以△ABC的面積為×10×12＝60．故選：B．【變式7-3】（2022秋?渦陽縣校級月考）如圖1，在長方形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿B→C→D→A方向勻速運動至點A停止．已知點P的運動速度為1cm/s，設點P的運動時間為x（s），△PAB的面積為y（cm2），若y關于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則長方形ABCD面積為（）cm2A．20 B．28 C．48 D．24【答案】C【解答】解：∵動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停止，當點P在點B，C之間運動時，△ABP的面積隨時間x的增大而增大，由圖2知，當x＝6時，點P到達點C處，∴BC＝1×6＝6（cm）；當點P運動到點C，D之間時，△ABP的面積不變，由圖2可知，點P從點C運動到點D所用時間為14﹣6＝8（s），∴CD＝1×8＝8（cm），∴長方形ABCD面積＝BC×CD＝6×8＝48（cm2），故選：C．一．選擇題（共8小題）1．（2023秋?濰坊期末）小亮爸爸到加油站加油，如圖是所用的加油機上的數(shù)據(jù)顯示牌，金額隨著數(shù)量的變化而變化．則下列判斷正確的是（）A．金額是自變量 B．單價是自變量 C．7.76和31是常量 D．金額是數(shù)量的函數(shù)【答案】D【解答】解：單價是常量，金額和數(shù)量是變量，金額是數(shù)量的函數(shù)，故選項D符合題意．故選：D．2．（2023秋?溧陽市期末）蘋果熟了，從樹上落下來．下面可以大致刻畫出蘋果下落過程中（即落地前）的速度變化情況的圖象是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：蘋果在下落的過程中，速度由0開始，隨時間的增大速度越來越大．故選：C．3．（2022秋?萊陽市期末）下列圖象中，表示y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根據(jù)函數(shù)的定義可知，每給定自變量x一個值都有唯一的函數(shù)值y相對應，所以B、C、D錯誤．故選：A．4．（2023?成武縣校級一模）函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（）A．x≥1 B．x＞﹣1且x≠2 C．x≠2 D．x≥﹣1且x≠2【答案】D【解答】解：根據(jù)二次根式有意義，分式有意義得：x+1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥﹣1且x≠2．故選：D．5．（2023?蕉城區(qū)校級開學）一只兔子和一條小狗同時從同一地點向相同方向出發(fā)，它們的運動距離與時間關系圖象如圖所示，則關于該圖象下列說法正確的是（）A．小狗的速度始終比兔子快 B．在前5秒內(nèi)，小狗比兔子快 C．圖中BC段表明小狗的速度是4m/s D．整個過程中小狗和兔子的平均速度相同【答案】D【解答】解：由分析得：在前5秒，兔子在相同時間內(nèi)通過的路程比小狗的路程多，所以兔子的運動速度大于小狗的運動速度．由此判斷選項B錯誤；圖中的BC段表示兔子處于靜止狀態(tài)，由此判斷選項C是錯誤的；在4到8秒的時間段，兔子在相同時間內(nèi)通過的路程比小狗的路程多，所以兔子的運動速度大于小狗的運動速度．整個過程中，小狗和兔子運動路程相同，運動時間相同，所以它們的平均速度相同，選項D正確；故選：D．6．（2022秋?港北區(qū)校級期末）如圖①，在矩形MMPQ中，動點R從點N出發(fā)，沿著N→P→Q→M方向運動至點M處停止．設點R運動的路程為x，△MNR的面積為y，如果y關于x的函數(shù)圖象如圖②所示，那么下列說法不正確的是（）A．當x＝6時，y＝10 B．當y＝5時，x＝2 C．y的最大值是10 D．矩形MNPQ的周長是18【答案】B【解答】解：由圖象可知，四邊形MNPQ的邊長，PQ＝MN＝5，QM＝NP＝4，A、當x＝6時，點R在線段PQ上，，此選項正確，不符合題意；B、當y＝5時，點R在線段PN或QM上，x＝2或x＝11，此選項答案不全，符合題意；C、y的最大值是10，此選項正確，不符合題意；D、矩形MNPQ的周長是5+4+5+4＝18，此選項正確，不符合題意；故選：B．7．（2023?五華區(qū)校級開學）學校教學樓有4層，小青第一節(jié)課在四樓上數(shù)學課，第二節(jié)到二樓上藝術課，第三節(jié)到三樓上科學課，中午到一樓食堂吃飯．下面能較準確地描述這件事的是圖（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵青第一節(jié)課在四樓上數(shù)學課，第二節(jié)到二樓上藝術課，第三節(jié)到三樓上科學課，中午到一樓食堂吃飯，∴準確地描述這件事的是圖象是B，故選：B．8．（2023秋?明光市期中）星期天，小馬同學騎自行車到圖書館看書，在圖書館看了一會兒書后突然有急事回家，他按原路快速騎自行車回家，下列圖象能大致表示出小馬同學離家的距離y（km）與時間x（h）之間的關系的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、由圖象可知，小馬同學去圖書館快于回家的速度，不符合題意，選項錯誤；B、由圖象可知，小馬同學沒有在圖書館停留，不符合題意，選項錯誤；C、由圖象可知，小馬同學去圖書館和回家的速度相等，不符合題意，選項錯誤；D、由圖象可知，小馬同學回家的速度快于去圖書館的速度，符合題意，選項正確；故選：D．二．填空題（共5小題）9．（2023秋?無錫期末）已知一根彈簧秤不掛物體時彈簧的長度為7cm，在彈性限度內(nèi)，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，則掛重后彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x（kg）之間的函數(shù)表達式是y＝0.5x+7．【答案】y＝0.5x+7．【解答】解：由題意得，y＝0.5x+7，故答案為：y＝0.5x+7．10．（2023秋?萊蕪區(qū)期末）“元旦”期間，小明一家人開車到滑雪場滑雪，出發(fā)前，汽車油箱內(nèi)儲油45升，當行駛40千米時，發(fā)現(xiàn)油箱余油量為35升（假設行駛過程中汽車的耗油量是均勻的）．寫出余油量Q（升）與行駛路程x（千米）之間的關系式為Q＝45﹣0.25x．【答案】Q＝45﹣0.25x．【解答】解：該車平均每千米的耗油量為（45﹣35）÷40＝0.25（升/千米），所以余油量Q（升）與行駛路程x（千米）之間的關系式為Q＝45﹣0.25x．故答案為：Q＝45﹣0.25x．11．（2023春?錦江區(qū)校級期中）如圖1，已知長方形ABCD，動點P沿長方形ABCD的邊以B→C→D的路徑運動，記△ABP的面積為y，動點P運動的路程為x，y與x的關系如圖2所示，則圖2中的m的值為12．【答案】12．【解答】解：從圖（2）看，BC＝6，CD＝4，則當x＝6時，點P在點C處，則m＝y(tǒng)＝×AB×BC＝6×4＝12，故答案為：12．12．（2023秋?百色期中）一個長方形的面積為12，一邊長為x，另一邊長為y，則y與x的函數(shù)關系式是．【答案】．【解答】解：∵長方形的面積為12，一邊長為x，另一邊長為y，∴12＝xy，即．故答案為：．13．（2023春?周村區(qū)期末）如圖1，在直角梯形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿B→C→D→A勻速運動，設點P運動的路程為x，三角形ABP的面積為y，圖象如圖2所示，則梯形ABCD的面積是26．【答案】26．【解答】解：根據(jù)圖象得：BC＝4，此時△ABP為16，∴AB?BC＝16，即×AB×4＝16，解得AB＝8；由圖象得：DC＝9﹣4＝5，則S梯形ABCD＝×BC×（DC+AB）＝×4×（5+8）＝26，∴AB＝8，梯形ABCD的面積為26．故答案為：26．三．解答題（共3