新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系8.4.2空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系課件新人教A版必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系學(xué)習(xí)任務(wù)借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義．(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知01觀察你所在的教室．問(wèn)題：(1)教室內(nèi)同一列的燈管所在的直線是什么位置關(guān)系？(2)教室內(nèi)某燈管所在的直線和地面是什么位置關(guān)系？(3)教室內(nèi)某燈管所在的直線和黑板左右兩側(cè)所在的直線是什么位置關(guān)系？(4)教室內(nèi)黑板面和教室的后墻面是什么位置關(guān)系？

任何一個(gè)平面內(nèi)

思考1．分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？[提示]

不一定．可能平行、相交或異面．思考2．如何畫(huà)異面直線？[提示]

常常需要以輔助平面作為襯托，以加強(qiáng)直觀性，如圖①②③．位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)______公共點(diǎn)_____公共點(diǎn)_____公共點(diǎn)符號(hào)表示a?

αa∩α＝Aa∥α知識(shí)點(diǎn)2空間中直線與平面的位置關(guān)系無(wú)數(shù)個(gè)一個(gè)沒(méi)有位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行圖形表示思考3．直線l在平面α外，l就與α無(wú)公共點(diǎn)嗎？[提示]

直線l在平面α外包含兩種情況：l與α平行，l與α相交．若l與α相交，則有唯一的公共點(diǎn)．所以直線l在平面α外，l與α不一定沒(méi)有公共點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)3空間中兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)___________有_____個(gè)公共點(diǎn)(在一條直線上)符號(hào)表示_______________圖形表示沒(méi)有公共點(diǎn)無(wú)數(shù)α∥βα∩β＝l思考4．已知兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)平面的位置關(guān)系如何？[提示]

當(dāng)三個(gè)公共點(diǎn)共線時(shí)，兩個(gè)平面相交或重合；當(dāng)三個(gè)公共點(diǎn)不共線時(shí)，兩個(gè)平面重合．1．一條直線與兩條平行線中的一條是異面直線，則它與另一條(

)A．相交 B．異面C．相交或異面 D．平行√2．若a是平面α外的一條直線，則直線a與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．相交C．異面 D．平行、相交或異面D

[若a∥α，則a與α內(nèi)的直線平行或異面；若a與α相交，則a與α內(nèi)的直線相交或異面．]√3．在底面為正六邊形的六棱柱中，互相平行的面視為一組，則共有____組互相平行的面，與其中一個(gè)側(cè)面相交的面共有____個(gè)．4

6

[六棱柱的兩個(gè)底面互相平行，每個(gè)側(cè)面與其直接相對(duì)的側(cè)面平行，故共有4組互相平行的面．六棱柱共由8個(gè)面圍成，在其余的7個(gè)面中，與某個(gè)側(cè)面平行的面有1個(gè)，其余6個(gè)面與該側(cè)面均為相交的關(guān)系．]46關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類(lèi)型1異面直線的判定類(lèi)型2空間中直線與平面的位置關(guān)系類(lèi)型3平面與平面的位置關(guān)系[證明]

假設(shè)直線AB與a在同一個(gè)平面內(nèi)，那么這個(gè)平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和直線a．因?yàn)锽?a，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與直線a只有一個(gè)平面α．所以直線AB與a應(yīng)在平面α內(nèi)．所以A∈α，這與已知A?α矛盾．所以直線AB與a是異面直線．類(lèi)型1異面直線的判定【例1】

(源自湘教版教材)如圖，已知a?α，A?α，B∈α，B?a．求證：直線AB與a是異面直線．反思領(lǐng)悟

判定兩條直線是異面直線的方法(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)．(2)重要結(jié)論：與平面相交的直線與該平面內(nèi)不過(guò)該交點(diǎn)的直線是異面直線．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．異面C．相交 D．平行、相交或異面D

[如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中，A′D′所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′．故a和c可以平行、相交或異面．]√(2)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′的棱所在的直線中，找出與棱AA′所在直線異面的所有直線．[解]

先把長(zhǎng)方體中和棱AA′相交或平行的棱去掉，剩下棱D′C′，B′C′，DC，BC．觀察棱BC所在直線，因?yàn)锳A′?平面AB′，B∈平面AB′，B?AA′，C?平面AB′，所以直線AA′與BC是異面直線．同理，直線B′C′，D′C′，DC都與直線AA′異面．類(lèi)型2空間中直線與平面的位置關(guān)系【例2】

(1)若直線上有一點(diǎn)在平面外，則下列結(jié)論正確的是(

)A．直線上所有的點(diǎn)都在平面外B．直線上有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面外C．直線上有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)都在平面內(nèi)D．直線上至少有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)B

直線上有一點(diǎn)在平面外，則直線不在平面內(nèi)，故直線上有無(wú)數(shù)多個(gè)點(diǎn)在平面外．√(2)下列說(shuō)法中，正確的是______．①如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行；②如果一條直線與一個(gè)平面相交，那么這條直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線相交；③過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行．②

如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線平行或異面，所以①錯(cuò)；如果一條直線與一個(gè)平面相交，那么在這個(gè)平面內(nèi)作過(guò)交點(diǎn)的直線都與這條直線相交，有無(wú)數(shù)條，所以②正確；對(duì)于③顯然有無(wú)數(shù)條，所以錯(cuò)誤．②反思領(lǐng)悟

在判斷直線與平面的位置關(guān)系時(shí)，三種情形都要考慮到，避免疏忽或遺漏，另外，我們可以借助空間幾何圖形，把要判斷關(guān)系的直線、平面放在某些具體的空間圖形中，便于作出正確判斷，避免憑空臆斷．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(多選)下列命題中的真命題是(

)A．若直線a不在平面α內(nèi)，則a∥αB．若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，則l∥αC．若l∥α，則直線l與平面α內(nèi)任何一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)D．平行于同一平面的兩直線可以相交√√CD

[A中，直線a也可能與平面α相交，故A是假命題；B中，直線l與平面α相交時(shí)，l上也有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi)，故B是假命題；C中，l∥α?xí)r，l與α沒(méi)有公共點(diǎn)，所以l與α內(nèi)任何一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)，故C是真命題；D中，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，A1C1與B1D1都與平面ABCD平行，且A1C1與B1D1相交，故D是真命題．]類(lèi)型3平面與平面的位置關(guān)系【例3】

(多選)以下四個(gè)命題中，正確的有(

)A．在平面α內(nèi)有兩條直線和平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行B．在平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平面β平行，那么這兩個(gè)平面平行C．平面α內(nèi)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在平面β的同一側(cè)且到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個(gè)平面平行D．平面α內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個(gè)平面平行或相交√√CD

[當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于它們的交線，即平行另一個(gè)平面，所以AB錯(cuò)誤．]反思領(lǐng)悟

判定兩個(gè)平面相交，只需找到兩個(gè)平面的一個(gè)公共點(diǎn)，就可根據(jù)基本事實(shí)3知，兩個(gè)不重合的平面是相交的．判定兩個(gè)平面平行，可根據(jù)定義判定兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，也可以排除兩個(gè)平面相交和重合，從而判定兩平面平行．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是(

)A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定C

逆向考慮畫(huà)兩平行面，看是否能在此兩面內(nèi)畫(huà)兩條平行線．同樣畫(huà)兩相交面，看是否能在此兩面內(nèi)畫(huà)兩條平行線，再作出選擇(如圖所示)．√(2)長(zhǎng)方體各面所在平面將空間分成____部分．27

分上、中、下三個(gè)部分，每個(gè)部分分空間為9個(gè)部分，共27部分．27學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)0312341．不平行的兩條直線的位置關(guān)系是(

)A．相交 B．異面C．平行 D．相交或異面√D

[由于空間兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、異面，則不平行的兩條直線的位置關(guān)系是相交或異面．]2．在三棱錐S-ABC中，與SA是異面直線的是(

)A．SB

B．SC

C．BC

D．AB1234√C

[由題圖知SB，SC，AB，AC與SA均是相交直線，BC與SA既不相交，又不平行，是異面直線．]3．若點(diǎn)A∈α，B?α，C?α，則平面ABC與平面α的位置關(guān)系是______．1234相交[∵點(diǎn)A∈α，B?α，C?α，∴平面ABC與平面α有公共點(diǎn)，且不重合，∴平面ABC與平面α的位置關(guān)系是相交．]相交4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AA1異面的棱有______條，正方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)表面與六個(gè)對(duì)角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，與棱AA1平行的平面有______個(gè)．12344

3

[與AA1異面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4條；與AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3個(gè)．]43回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．空間中兩直線的位置關(guān)系有哪幾種？如何判斷它們的位置關(guān)系？[提示]

空間兩條直線有相交、平行、異面三種位置關(guān)系．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法．2．空間中直線與平