2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（上海專用測試范圍：滬教版2020必修第三冊第十-十一章）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：滬教版2020必修第三冊第十~十一章。5．難度系數(shù)：0.65。一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．“點(diǎn)A在直線上”用符號語言可以表示為.【答案】【解析】A在直線上，即故答案為：2．在正方體中，，則直線到平面的距離為．【答案】2【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，.又平面，平面，所以，平面.所以，點(diǎn)A到平面的距離，即等于直線到平面的距離.又平面，所以點(diǎn)A到平面的距離即為.所以，直線到平面的距離為2.

故答案為：2.3．已知圓柱的底面半徑為2，高為2，則該圓柱的側(cè)面積是．【答案】【解析】圓柱的側(cè)面展開為矩形，其中矩形的一條邊長為圓柱底面周長，即，另一邊長為2，故圓柱的側(cè)面面積為.故答案為：4．如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為．【答案】【解析】在正方體中，連接，正方體的對角面是矩形，則，因此是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，而，即是正三角形，則，所以異面直線與所成的角為.故答案為：5．圓錐的母線長為2，母線所在直線與圓錐的軸所成角為，則該圓錐的高為．【答案】3【解析】由已知得該圓錐的高為.故答案為：3.6．一個(gè)梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且，則原梯形的面積為

.【答案】8【解析】在坐標(biāo)系中作出直觀圖對應(yīng)的原圖形，它是直角梯形，如圖.易得，，，故原梯形的面積為：，故答案為：8.7．已知斜線段的長度是斜線段在這個(gè)平面內(nèi)射影的長的倍，則這條斜線和這個(gè)平面所成的角的大小為.【答案】/【解析】設(shè)斜線和平面所成角為，則，.故答案為：.8．已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為，且兩個(gè)截面之間的距離是，則球的表面積為．【答案】【解析】由球的截面為圓，設(shè)兩個(gè)平行的截面圓的半徑分別為，，球的半徑為，因?yàn)?，所以，又，所以，?dāng)兩截面在球心的同側(cè)時(shí)，，解得，球的表面積為；當(dāng)兩截面在球心的同側(cè)時(shí)，，無解；綜上，所求球的表面積為.故答案為：.9．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA＝1，則側(cè)面PCD與底面ABCD所成的二面角的大小是．

【答案】45°【解析】因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形，所以AD⊥CD，又因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，所以PA⊥CD，因?yàn)镻A∩AD＝A，PA、AD在面PAD內(nèi)，所以CD⊥平面PAD，又因?yàn)镻D?平面PAD，所以CD⊥PD，于是∠PDA為側(cè)面PCD與底面ABCD所成的二面角的平面角，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，PA⊥AD，又因?yàn)镻A＝1，AD＝1，所以∠PDA＝45°，于是側(cè)面PCD與底面ABCD所成的二面角的大小為45°．故答案為：45°．10．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列說法中，正確的序號是.（1）直線與直線相交；（2）直線與直線平行；（3）直線與直線是異面直線；（4）直線與直線成角.【答案】（3）（4）/(4)(3)【解析】解：由正方體的平面展開圖可得正方體，可得與為異面直線，故（1）錯(cuò)誤；與為異面直線，故（2）錯(cuò)誤；直線與直線是異面直線，故（3）正確；連接，，由正方體的性質(zhì)可得，所以為異面直線與直線所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切危?，即直線與直線所成角為，故（4）正確；故答案為：（3）（4）．11．設(shè)和都是平面的垂線，其垂足分別為.已知，那么線段.【答案】或【解析】如圖所示，因?yàn)楹投际瞧矫娴拇咕€，其垂足分別為，可得，且，如圖（1）所示，當(dāng)點(diǎn)在平面的同側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為，則，又因?yàn)?，可得，在直角中，可?如圖（2）所示，當(dāng)點(diǎn)在平面的兩側(cè)時(shí)，過點(diǎn)作的延長線的垂線，設(shè)，垂足為，則，又因?yàn)?，可得，在直角中，可?故答案為：或.12．如圖，平面平面，，，．平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，記直線OP與平面OAB所成角為，則的最大值是．【答案】【解析】如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)作，垂足為，平面平面，且平面平面，平面，，，平面，在平面上的射影就是直線，故就是直線與平面所成的角，即，，，又，，，平面，平面，平面，，故點(diǎn)的軌跡就是平面內(nèi)以線段為直徑的圓點(diǎn)除外，，且，，設(shè)，則，從而，，如圖，當(dāng)且僅當(dāng)，即是圓的切線時(shí)，角有最大值，有最大值，取得最大值為：．故答案為：.二、選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))13．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．一個(gè)棱柱至少有5個(gè)面 B．斜棱柱的側(cè)面中沒有矩形C．圓柱的母線平行于軸 D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形【答案】B【解析】由棱柱的性質(zhì)可知A正確，B錯(cuò)誤；由圓柱的性質(zhì)可知C正確；由正棱錐的性質(zhì)可知D正確.故選：B14．已知是直線，是兩個(gè)不同平面，下列命題中的真命題是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】若，則有，故可判斷A錯(cuò)誤.若，則或，故B錯(cuò)誤.若，則存在直線與平行，所以，故C正確.若，則或，故D錯(cuò)誤.故選：C.15．《九章算術(shù)》中所述“羨除”，是指如圖所示五面體，其中，“羨除”形似“楔體”．“廣”是指“羨除”的三條平行側(cè)棱之長、、，“深”是指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離、“袤”是指這兩條側(cè)棱所在平行直線之間的距離（如圖）．羨除的體積公式為，過線段，的中點(diǎn)，及直線作該羨除的一個(gè)截面，已知?jiǎng)偤脤⒘w除分成體積比為的兩部分．若、，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】因?yàn)椤?、，，為線段，的中點(diǎn)，所以且，所以，，即，，因?yàn)?，即，解?故選：B16．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則以下命題正確的序號為（

）

①直線平面②平面與平面的夾角大小為③三棱錐的體積為定值④異面直線與所成角的取值范圍是A．①② B．①③ C．①③④ D．①④【答案】B【解析】如圖，連接，正方形中，，正方體的棱平面，平面，，，平面，所以平面，又平面，所以，同理．，平面，所以平面，①正確；因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面平面，，平面，平面，則是平面與平面的夾角，顯然三角形為等腰直角三角形，則該角大小為，②錯(cuò)；因?yàn)?，，，所以，所以四邊形為平行四邊形，因此有，又平面，平面，所以平面，，因此到平面的距離為定值，三棱錐的體積為定值，③正確；由于，因此異面直線與所成角就是與所夾的角，即圖中或，設(shè)正方體棱長為1，易知，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，因?yàn)槭堑冗吶切?，在線段，因此或中較小的角的范圍是，④錯(cuò)誤．故選：B．

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)17．如圖，已知分別是正方體的棱的中點(diǎn)，且與相交于點(diǎn)．(1)求證：點(diǎn)Q在直線DC上；(2)求異面直線與所成角的大?。窘馕觥浚?）平面平面，由于平面，平面，所以，也即點(diǎn)Q在直線DC上.（6分）（2）根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以異面直線與所成角為，（8分）由于分別是的中點(diǎn)，所以，所以異面直線與所成角的大小為.（14分）18．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，O是AC與BD的交點(diǎn)，，，平面ABCD，，M是PD的中點(diǎn)．(1)證明：平面ACM(2)求直線AM與平面ABCD所成角的大?。窘馕觥浚?）連接，在平行四邊形中，因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，（2分）又為的中點(diǎn),所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（6分）（2）取中點(diǎn),連接,，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,且,由平面，得平面，所以是直線與平面所成的角.（8分）因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅危?，，所以，則，在Rt中,,所以,從而，因?yàn)槠矫?平面,，所以在Rt中，，，所以直線與平面所成角大小為.（14分）19．某種“籠具”由上、下兩層組成，上層和下層分別是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱，其中圓柱與圓錐的底面半徑相等，如圖所示：圓錐無底面，圓柱無上底面有下底面，內(nèi)部鏤空，已知圓錐的母線長為20cm，圓柱高為30cm，底面的周長為.(1)求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到）；(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作這樣“籠具”的保護(hù)罩（包括底面）50個(gè)，該保護(hù)罩緊貼包裹“籠具”，紗網(wǎng)材料（按實(shí)測面積計(jì)算）的造價(jià)為每平方米8元，共需多少元？（結(jié)果精確到0.1元）【解析】（1）設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，高為，圓柱高為，則由題意有，得，圓錐高，所以“籠具”的體積.（6分）（2）圓柱的側(cè)面積，圓柱的底面積，圓錐的側(cè)面積，所以“籠具”的側(cè)面積.（12分）故造50個(gè)“籠具”的最低總造價(jià)為元.（14分）答：這種“籠具”的體積約為；生產(chǎn)50個(gè)籠具需要138.7元.20．如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，．

(1)證明：與平面不垂直；(2)證明：平面平面；(3)如果，二面角等于，求二面角的大?。窘馕觥浚?）若平面，則，由已知，得，（2分）這與矛盾，所以與平面不垂直．（4分）（2）取、的中點(diǎn)、，連接、、，由，，得，，為直角梯形的中位線，（6分），又，∴CD⊥平面PEF，（8分）由平面，得，又且梯形兩腰、必交，平面,又平面，平面平面,（10分）（3）由（2）及二面角的定義知為二面角的平面角,作于，連，由于平面,平面,故,,平面,故平面平面,所以故為二面角的平面角,（12分）即，由已知，得，又．，．，故二面角的大小為．（18分）

21．如圖，斜三棱柱中，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，平面⊥平面．(1)求證：直線平面；(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)，若三角形是等邊三角形且邊長為2，側(cè)棱，且異面直線與互相垂直，求異面直線與所成角；(3)若，在三棱柱內(nèi)放置兩個(gè)半徑相等的球，使這兩個(gè)球相切，且每個(gè)球都與三棱柱的三個(gè)側(cè)面及一個(gè)底面相切．求三棱柱的高．【解析】（1）斜三棱柱中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，（2分）因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?分）（2）因?yàn)锳C=BC，為的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，因?yàn)槠矫妗推矫?，交線為AB，CD平面ABC，所以CD⊥平面，故⊥平面，所以,又與互相垂直，,面故面,得.即為直角三角形，（6分）在中，為中點(diǎn)，，所以為的三等分點(diǎn)，設(shè)，由