2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（江蘇專用蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)第1-3章）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（江蘇專用）（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)第1章~第3章。5．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則的值為（

）A．-2 B．1 C．3 D．4【答案】B【解析】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率為，又直線的傾斜角為，所以，解得.故選：B.2．求過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為C（2b+2，b），由圓過(guò)兩點(diǎn)A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，即，解得，可得圓心為（4，1），半徑為5，則所求圓的方程為．故選：D．3．已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】橢圓焦點(diǎn)為，雙曲線焦點(diǎn)為，且，將代入雙曲線，得，又，解得，，故雙曲線的方程為，故選：D.4．設(shè)，方程所表示的曲線是（

）A．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線【答案】C【解析】若，則，曲線,即，，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓．故選：5．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且在第一象限，若直線的傾斜角為，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】如圖所示，拋物線及準(zhǔn)線如圖所示，過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)，由題意可知，根據(jù)拋物線的定義在中，，又，所以，解得.故選：C.6．已知直線：與雙曲線：交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：設(shè)，可得，，兩式相減可得，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，且直線：，可得，，，即有，即，雙曲線的漸近線方程為．經(jīng)驗(yàn)證此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：B．7．已知函數(shù)，且點(diǎn)滿足，，若記點(diǎn)P構(gòu)成的圖形為，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將函數(shù)表達(dá)式代入條件可得，即.所以區(qū)域即為圓的內(nèi)部位于軸上方的部分，即該圓的去掉一個(gè)底為，高為的三角形，故所求面積為.故選：A.8．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P，Q是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)．則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由對(duì)稱性和橢圓定義可知，其中，故，不妨設(shè)，，，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為4，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為64，故，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為51，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，故的取值范圍是.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知直線，下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，關(guān)于軸的對(duì)稱直線為C．直線一定經(jīng)過(guò)第四象限D(zhuǎn)．點(diǎn)到直線的最大距離為【答案】BD【解析】對(duì)于A，直線，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B.當(dāng)時(shí)，直線方程為，關(guān)于軸的對(duì)稱直線為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線方程為，直線不經(jīng)過(guò)第四象限，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖所示：設(shè)，由圖象知：，點(diǎn)到直線的最大距離為，故D正確；故選：BD10．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，AB是經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的弦，M是線段AB的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，M作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線AC，BD，MN，垂足分別是C，D，N，其中MN交拋物線于點(diǎn)Q，連接QF，NF，NB，NA，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．Q是線段的一個(gè)三等分點(diǎn) D．【答案】ABD【解析】如圖，由拋物線的定義，

對(duì)于A，得，，又，則，A正確；對(duì)于B，由，，得，所以.而，所以，所以，可知，所以，B正確；對(duì)于D，在中，，可知，所以，D正確；對(duì)于C，由，可知，所以，即Q是的中點(diǎn)，C不正確.故選：ABD.11．直線y=kx與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，則（

）A．若，則B．若，則的面積為4C．D．的最小值為4【答案】AD【解析】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，由題意可知，四邊形為平行四邊形，由雙曲線可知：，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形，所以，故A正確；對(duì)于B，據(jù)雙曲線定義可知：，若，則四邊形為矩形，則，所以，即所以，所以，所以，故B不正確；對(duì)于C，由雙曲線的方程可知，在中，，又因?yàn)殡p曲線漸近線方程為：，所以，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值為4，故D正確．故選：AD．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若與平行，則兩直線之間的距離為.【答案】【解析】∵直線與平行，∴，解得，∴直線，直線，∴直線與之間的距離，故答案為：.13．已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)M滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由題意可知：圓的圓心，半徑，則，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得，則，所以M的軌跡是以O(shè)為圓心，r=3的圓，由題意可知：圓與圓有公共點(diǎn)，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓，圓心是拋物線上一點(diǎn)，直線，圓與線段相交于點(diǎn)，與直線交于，兩點(diǎn)，且，若，則拋物線方程為.【答案】【解析】

如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則,由圖知①，由可得，②，又點(diǎn)在拋物線上，可得，，即③，把①式代入②式，，解得，，回代入①可得，，代入③式整理得，，解得，或（舍去），故拋物線方程為：.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．（13分）已知直線：，：，其中為實(shí)數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求直線，之間的距離；(2)當(dāng)時(shí)，求過(guò)直線，的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程.【解析】（1）由得，解得， 2分此時(shí)直線：，：，不重合， 4分則直線，之間的距離為； 6分（2）當(dāng)時(shí)，：，聯(lián)立，解得， 9分又直線斜率為， 10分故過(guò)直線，的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為， 12分即. 13分16．（15分）已知圓C過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心C在直線上.(1)求圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，求切線方程.【解析】（1）根據(jù)題意，因?yàn)閳A過(guò)兩點(diǎn)，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)椋缘闹写咕€方程為，即又因?yàn)閳A心在直線上，聯(lián)立，解得， 3分所以圓心，半徑，故圓的方程為； 5分（2）圓的圓心為，半徑， 6分當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線與圓C相切； 8分當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線斜率k存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即（*）， 9分由圓心C到切線的距離，即，可得， 12分將代入（*），得切線方程為，即， 14分綜上，所求切線方程為或. 15分17．（15分）2024年4月30日17時(shí)46分，神舟十七號(hào)返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙．返回艙的軸截面可近似看作是由半個(gè)橢圓和一段圓弧組成的“果圓”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，某“果圓”中圓弧經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與．(1)寫(xiě)出圖中“果圓”的方程；(2)直線交該“果圓”于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)度（精確到0.01）．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與.可得，即，所以半個(gè)橢圓的方程為； 2分圓弧經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與，設(shè)圓弧方程為， 4分利用，解得，所以，得. 6分所以果圓方程為，. 7分（2）由，解得，得， 10分由，解得，得， 13分所以. 15分18．（17分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且的最小值為1.(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且，不重合，判斷直線是否過(guò)定點(diǎn).若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由題意可設(shè)，則 1分所以則的最小值為，則，得. 4分所以的方程為. 6分（2）因?yàn)锳，C不重合，所以直線，，的斜率必然存在.設(shè)，，.直線的斜率，得. 9分直線的斜率.得.由，可得. 12分直線的斜率.所以直線的方程. 15分故直線過(guò)定點(diǎn). 17分19．（17分）已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過(guò)的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程．(2)若，試問(wèn)：是否存在直線l，使得點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上？若存在出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．(3)點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．【解析】（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，