高中數(shù)學(xué)北師大版必修2學(xué)案立體幾何初步1-5平行關(guān)系含答案2

第1課時(shí)平行關(guān)系的判定

預(yù)

習(xí)

核心必知——自讀教材找關(guān)鍵

導(dǎo)

引

區(qū)問(wèn)題思考——辨析問(wèn)題解疑感

自主學(xué)習(xí)板理主干fkuiickujait

［核心必知］

L直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

L__Ja

直線在平面內(nèi)在a

直線與平面相交rV7?na=力

a

直線與平面平行LJalla

2.直線與平面平行的判定

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

-1

若平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線工［

aa

平行，則該直線與此平面平行Lb/l//b\

3.平面與平面平行的判定

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直a-a、

豆

線都平行于另一個(gè)平面,則兩

aflQA

平面平行"3"3

［問(wèn)題思考］

1.若直線a平行于平面。內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則直線a平行于平面。嗎？

提示：不一定，因?yàn)橹本€a在平面a內(nèi)時(shí)，與a平行的直線也有無(wú)數(shù)條.

2.對(duì)于平面與平面平行的判定定理中，若把“相交”去掉，這兩個(gè)平面是否一定平行，為什么?

提示：不一定.如圖中，平面”內(nèi)的兩條直線a,6均平行于￡,而。與￡卻相交.

課

堂

一能力提升

互

II動(dòng)

重點(diǎn)知識(shí)拔高知識(shí)

步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分區(qū)

知識(shí)點(diǎn)1線面平行的判定K重點(diǎn)知識(shí)?講迂練金X

講一講

1.如圖，在四棱錐P/四中，底面力四是矩形，E,〃分別是%%的中點(diǎn).證明：EF〃平面PAD.

［嘗試解答］證明：在△咖中，E,尸分別是陽(yáng)，小的中點(diǎn),

:.EF//BC.又BC//AD,:.EF//AD.

又,；〃至平面依〃,"工平面山〃,

〃平面PAD.

美題-通曉

1.判斷或證明線面平行的方法

⑴定義法：證明直線與平面無(wú)公共點(diǎn)（不易操作）;

⑵判定定理法：a工o,a,a/itf>a//a；

⑶排除法：證明直線與平面不相交，直線也不在平面內(nèi).

2.證明線線平行的方法

⑴利用三角形、梯形中位線的性質(zhì);

⑵利川平行四邊形的性質(zhì):

⑶利用平行線分線段成比例定理.

練一練

1.如圖，〃是平行四邊形力靦所在平面外一點(diǎn)，0是用的中點(diǎn)，求證：PC"平面BDQ.

證明：連接作交放于0,連接0Q

V四邊形力頗是平行四邊形,

02/23

???0為然的中點(diǎn).

又0為PA的中點(diǎn)，

：.Q0//PC.

顯然④區(qū)平面用他PCU平面BDQ,

二〃?！ㄆ矫鍮DQ.

知識(shí)點(diǎn)2平面與平面平行的判定一1【重點(diǎn)知識(shí)?講選練會(huì)X

講一講

2.如圖所示，正方體4MA48c〃中，MME,少分別是棱力山，40,笈G,G〃的中點(diǎn).求證：平

面力曲V〃平面EFDB.

［嘗試解答］證明：如圖所示，連接」隊(duì)

'：M,/分別是力心，G"的中點(diǎn)，且四邊形45G〃為正方形,

;廝〃4。且加=44.

又?：小隊(duì)=加且AD〃小

:?MF=AD且MF//AD.

：.四邊形4也叨是平行四邊形.

：.AM//DF.

又D后平面EFDB,加工平面加出,

,"必〃平面EFDB.

同理可證，4V〃平面EFDB.

又AN,力加裝平面4珈；AMC\AN=A,

；,平面相加〃平面EFDB.

美題-通縷

平面平行的判定方法：

⑴利用定義，證面面無(wú)公共點(diǎn).

⑵利用平面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面平行，即證明一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個(gè)

平面，如本題.

⑶若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，則兩個(gè)平面平行.

練一練

2.如圖所示，三棱柱/皮〃是形上一點(diǎn)，且48〃平面力G9,A是8G的中點(diǎn).

求證：平面484〃平面

證明：連接4。交力G于點(diǎn)反

四邊形44笫是平行四邊形，

；?￡是力C的中點(diǎn).連接即，

旗是△486'的中位線，

:、ED"A\B.

'.?以金平面AM,AiB呈平面AM,

二切〃平面AM.

IC\DdkBD,

二四邊形物G〃是平行四邊形，

：.C\D〃B隊(duì).

'.?GC1平面4薇，能享平面49，

〃平面4能.

'：C\DCED=D,

，平面4初〃平面力

知識(shí)點(diǎn)3線面平行、面面平行判定定理的綜合應(yīng)用?-----K拔高知識(shí)?拓寬提熊】I

講一講

3.如圖所示，8為△力5所在平面外一點(diǎn)，且BA=BC=BD,M,MG分別為△48a2ABD,△犯9的重

心.

04/23

B.

八、N

%;

U)求證：平面柳VG〃平面IS

(2)求:SNADC.

[嘗試解答](1)證明：如圖連接4%BN,%并延長(zhǎng)交〃；加,CD于P,F,H.

R

':此N,G分別為△/%,2ABD,△869的重心，

BNBG,…

口J有訴=左=五>=2,連接用FH,PH,

MlrirUn

有肺〃陽(yáng)又〃些平面“Z?,亞V1平面力微???腑〃平面力5，

同理MG//平面ACD,MGC2.?/,

;平面柳VG〃平面ACD.

ur*nn

(2)由(1)可知：—=TL=Q?**?時(shí)G=?PH.

rriDtioS

又PH=[AD,:.MG=[AD.

4J

同理陽(yáng)楸'=;微

<3<5

???△,MVGs△力微其相似比為1：3,故S△“：8松=1：9.

類(lèi)題-通縷

證明面面平行，轉(zhuǎn)化為證明線面平行，而要證線面平行，轉(zhuǎn)化為證明線線平行.在立體幾何中，通過(guò)

線線、線面、面面間的位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題順利得到解決.熟練掌握這種轉(zhuǎn)化的思想方法，就能找

到解題的突破口.這是高考重點(diǎn)考查證明平行的方法，應(yīng)引起重視.

練一練

3.如圖，在正方體力比。力出G〃中，0為底面力靦的中心，尸是川的中點(diǎn)，0是CG的中點(diǎn)，判斷

并證明平面〃制與平面處。的位置關(guān)系.

解：平面〃出0〃平面處〃下面給出證明.

'??。為制的中點(diǎn)，尸為弧的中點(diǎn)，，啰〃為.

;啰工平面應(yīng)“月裝平面處。，???〃〃平面四〃

'"，。分別為〃〃，的的中點(diǎn)，:?"B"P0.

'：OB工平面PAO,P0裝平面為0,，〃8〃平面PA0.

又隊(duì)BCQB=B,，平面〃80〃平面為〃

|解題高手［多解題不一樣的旅程?不一樣的風(fēng)景.挨個(gè)思維開(kāi)拓視野!

如右圖，在正方體仍歸G〃中，好力加

NGBD,且隊(duì)M=DN,求證：楙'〃平面

［證明］法一：連4N并延長(zhǎng)交優(yōu)于“連接〃、￡

.ANBNAEBD

?AB"CD’..錯(cuò)和市麗

'：BD=AhaDJHDN,

,AE_Aa

二律礪

在△力中，」邠〃〃區(qū)

又MTU平面CCM"E些平面CGaD,

；.』邠〃平面CG仄D.

［嘗試用另外一種方法解題］

法二：過(guò)點(diǎn)時(shí)作物力力〃，交利于巴

過(guò)點(diǎn)不作陶〃/〃交如于點(diǎn)0,連接m

nyMP//NQ,

竺=馴

在中

'：NQ//AD.AD〃BC,

：.NQ//BC.

06/23

NQDN

在△戚中，獷訪

':仄M=DN,M=DB.AD=BCt：.NQ=MP.

A四邊形網(wǎng)夕尸為平行四邊形，貝IJ樹(shù)〃&

而MNn平面CC\隊(duì)D,PQ些平面CC3D,

,"娜〃平面CCDD.

訓(xùn)

一能力練練

II提

學(xué)業(yè)水平小測(cè)，讓學(xué)課下能力提升，提速能

生赴熱打鐵消化所學(xué),提能,每課一檢測(cè)，步區(qū)

既練速度又練準(zhǔn)度步為營(yíng)步步羸

、學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.在以下說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①平面。內(nèi)有兩條直線和平面尸平行，那么這兩個(gè)平面平行；②平面。內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線和平面￡

平行，則。與/?平行；③平面a內(nèi)△力比的三個(gè)頂點(diǎn)到平面B的距離相等，則。與￡平行.

A.0B.1C.2D.3

解析：選A對(duì)①，當(dāng)。內(nèi)的兩直線平行時(shí)，。與￡也可能相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)②，當(dāng)。內(nèi)有無(wú)

數(shù)條直線和B平行時(shí)，。與￡也可能相交，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，若4B,C三點(diǎn)在B兩側(cè)時(shí)，。與￡相

交，故③錯(cuò)誤.

2.能保證直線a與平面。平行的條件是（）

A.ata//b

B.異a,c//a,a//b,a//c

C.異a,AyBSa,C,DSb,且力。=劭

D.a工a,ba,a//b

解析：選DA項(xiàng)和B項(xiàng)中a有可能在“內(nèi)，C項(xiàng)中，a可能在a內(nèi)，也可能與a相交，D項(xiàng)中，a

〃a.

3.若M"分別是△』比邊48,4C的中點(diǎn)，助V與過(guò)直線式的平面￡的位置關(guān)系是（）

A.JW〃B

B.」機(jī),與￡相交或.加呈￡

C.MN//￡或肺￡￡

D.B或與B相交或MNSB

解析：選C當(dāng)平面￡與平面力比重合時(shí)，有助V軍￡；

當(dāng)平面B與平面力比'不重合時(shí)，

則6n平面/比三交

，從N分別為力8,4C的中點(diǎn)，

又.拗BCB,:.MN〃B.

綜上有B或.帆'SB.

J六棱柱的表面中,互相平行的面最多有_______對(duì).

解析：如圖，當(dāng)六棱柱的底面為正六邊形時(shí)，互相平行的平面最多有4對(duì)，每組對(duì)邊所在的平面平行,

且上下底面平行.

答案：4

5.若直線afl直線6=兒a〃平面a,則6與a的位置關(guān)系是—

解析：??飛〃。，???a與平面。沒(méi)有公共點(diǎn)，

若力裝」,則力七叫又/￡小此種情況不可能.

：.b//?；蛐∨ca相交.

答案：6〃?；?與。相交

6.如圖￡,尸，G,〃分別是正方體由G〃的棱8C,CC\,G〃，力4的中點(diǎn)，求證:

(1)必〃平面做

⑵平面皮圻〃平面區(qū)?！?/p>

證明：(1)取笈〃中點(diǎn)。，連接GO,QB,

易證OG//RG,

且g=：8G,BE〃氏C、,

且做="凡

乙

,?.而”旗且如二龐；四邊形圓笛為平行四邊形，：,OB〃GE.

'：OB些平面BBRD,

GEH平面BBDD.

08/23

:?GE”平面BBJKD.

（2）由正方體性質(zhì)得&仄〃BD,

'：R6工平面BDF,BD些平面劭E

:.RD〃平面8DF,連接版〃區(qū)

易證/如％是平行四邊形，得做〃成

'：映工平面8M,BF9平面應(yīng)次

:?曲//平面BDF,

俄=4,

二平面BDF〃平面B\隊(duì)H.

，課下能力提升（七）

一、選擇題

1.已知人是平面。外的一條直線，下列條件中，可得出b//a的是（）

A.b與a內(nèi)的一條直線不相交

B.。與a內(nèi)的兩條直線不相交

C.b與a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不相交

D.6與。內(nèi)的所有直線不相交

解析：選D若方與。內(nèi)的所有直線不相交，即b與。無(wú)公共點(diǎn)，故b〃a.

2.空間四邊形仍切中，E,尸分別是血和眩上的點(diǎn)，若AE：EB=CF：FB=l：3,則對(duì)角線〃'和平

面。即的關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.在平面內(nèi)D.平行或相交

解析：選A如圖所示，

在平面。內(nèi)，

因?yàn)樗模篍B=CF：FB=\：3,

所以AC〃ER

又因?yàn)锳C工平面DEF,EF些平面DEF,

所以力加平面協(xié)：

3.如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中，下列判斷正確的是（）

A.平面加仞/平面

B.AF//CN

C.RM〃平面EFD

D.跖與4V相交

解析：選A作出如圖所示的正方體.易知AN"BM,AC"E禮且4TTU占4所以平面力GV〃平面班次

4.已知勿，〃表示兩條直線，a,￡,/表示平面，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①若any=m,Bny=n,m//n,則a〃￡；②若m,〃相交且都在a,￡外，且m//a,勿〃￡,

n//a,〃〃尸，貝lj?！ǔ觫廴舸颉╝,m"B,則aHB?、④若加〃a,n!lB、旦m〃n,則a〃萬(wàn)

A.1B.2

C.3D.4

解析：選A①僅滿足〃齒a,/是￡,m"n,不能得出aHB,不正確；②設(shè)m,〃確定平面為丫,

則有a〃y,￡〃y,從而?！ā?正確；③④均不滿足兩個(gè)平面平行的條件，故③④均不正確.

5.在正方體力岫4氏G〃中，〃是棱4〃上的動(dòng)點(diǎn)，則直線極?與平面447G的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.在平面內(nèi)D.相交或平行

解析：選D當(dāng)加與〃重合時(shí)，???加〃44㈤工面/I4GC,A4合面/14GC,

."跖〃面力4GC當(dāng)"不與4重合時(shí)，例/與朋|相交，也即〃必與面力4G。相交.

二、填空題

6.點(diǎn)￡F,G,〃分別是空間四邊形力靦的邊/反BC,CD,處的中點(diǎn)，則空間四邊形的六條棱中與

平面防陽(yáng)平行的條數(shù)是________.

解析：由線面平行的判定定理知：BD〃平函EFGH,AC”平面EFGH.

答案：2

7.三棱錐伊48c中，。為△力8。的重心，￡在棱力上，且AE=2ES,則比與平面皈的關(guān)系為_(kāi)_____.

解析：如圖，取形中點(diǎn)凡連跖

為△力比的重心，

：.A,G,尸共線且/R=2G汽

10/23

又?：AE=2ES,：,EG//SF.

又貨裝平面四G/M平面S%,

；?￡6〃平面SBC.

答案：龍〃平面施

8.如圖，在正方體力切下48￡〃中，E、F,G,〃分別是棱制，隊(duì)D,⑦的中點(diǎn)，N是8c的中

點(diǎn)，點(diǎn)J/在四邊形班加及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則必滿足時(shí)，有JW〃平面8被及

解析：YHN"BD,HF"DIMHNCHF=H,BDCD5=D,

二平面NHF〃平面B\BDX,故線段月/上任意點(diǎn)V與N連接，

有劭V〃平面B\BD仄.

答案：材￡線段加

三、解答題

9.已知：△4比中，N/1沖=90°,D,E分別為力。，47的中點(diǎn)，沿，'將△｛龍折起，使力到"的

位置，"是H8的中點(diǎn)，求證：物〃平面4CD.

證明：如圖所示，取不。的中點(diǎn)6,連接機(jī)；，GD,

':他G分別是4B,A'C的中點(diǎn)，."的/a%,

同理以若比；:.MGJLDE,

二.四邊形DEMG是平行四邊形，

：.ME//DG.

又ME1平面A1CD,加裝平面A1CD,

；?1傷〃平面/'CD.

10.如圖，在正方體48OA44G〃中，S是劣〃的中點(diǎn)，E,F,G分就是BC、優(yōu)和SC的中點(diǎn).求證:

⑴比〃平面加〃困

⑵平面〃平面BDIH.

證明：（1）如圖所示，連接的

'：E,61分別是闈SC的中點(diǎn),

:.EGaSB.

又?：SB裝平面BDM&,E任平面BD%8,:.EG〃平面BDDxB、.

⑵;代“分別是密的的中點(diǎn)，:、FE〃BD.

又,：BD英平面BDD^,在M平面BDDB,

，歷7平面BDDxBx.

又比〃平面⑸加凡且用季平面雨7,EF呈平面EFG,EFCEG=E,）平面打G〃平面⑸陽(yáng)尻

第2課時(shí)平行關(guān)系的性質(zhì)

預(yù)

習(xí)

核心必知——自讀教材找關(guān)鍵

導(dǎo)

I引

問(wèn)題思考——辨析問(wèn)題解疑惑區(qū)

gitiu^uciis6u（iz6u＜）an自主學(xué)習(xí)板理主干

［核心必知］

1.直線與平面平行的性質(zhì)

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)該直l//a]

豆Q

線的任意一個(gè)平面與已知平面的交線與該

直線平行小片〃，l//b

2.平面與平面平行的性質(zhì)

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

a"B'

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面yC\a=a

相交，那么它們的交線平行-nB=b.

b

12/23

［問(wèn)題思考］

1.若直線/與平面。平行，可否認(rèn)為/與平面。內(nèi)的任意一條直線都平行？

提示，不可.根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，/與過(guò)直線，的平面與。的交線平行.

2.若平面yC6=a,/Aa=b,則a、b的位置關(guān)系是什么？

提示：平行或相交：當(dāng)尸〃。時(shí)，由面面平行的性質(zhì)定理知a〃左當(dāng)。與￡相交時(shí)，a與％相交

或平行.

3.如果兩個(gè)平面平行，那么分別位于兩個(gè)平面內(nèi)的直線也互相平行，這句話對(duì)嗎？為什么？

提示：不對(duì)，因?yàn)檫@兩個(gè)平面平行，那么位于兩個(gè)平面內(nèi)的直線沒(méi)有公共點(diǎn)，它們平行或異面.

課

堂

知識(shí)突破一能力提升

互

動(dòng)II

重點(diǎn)知識(shí)拔高知識(shí)

區(qū)

步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分

師生共研突破空難加tupozfiongnan

知識(shí)點(diǎn)1線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用?------1【重點(diǎn)知識(shí)?講選練會(huì)X

講一講

1.ABCD是平行四邊形，點(diǎn)〃是平面力仇刀外一點(diǎn)，加是尸。的中點(diǎn)，在〃V上取一點(diǎn)G,過(guò)。和4P作平

面交平面應(yīng)時(shí)于該求證：AP//GIL

［嘗試解答］證明：連接NC交劭于0,

,?3比刀是平行四邊形，???0是力。中點(diǎn).

又必是尸C的中點(diǎn)，，加

根據(jù)直線和平面平行的判定定理，

則有刈〃平面BMD.

,：平面PAHGC平面BMD=GH,

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，

：.AP//GIi.

美題-通生

線面平行的性質(zhì)定理是證明空間兩直線平行的重要依據(jù)，解題時(shí)要注意把握.當(dāng)證明了直線平行于平

面后，再過(guò)該直線作平面與已知平面相交，得交線與已知直線平行.具體方法如下：線線平行

線面平行的判定鐘而近左線面平行的性質(zhì)站處配廣

----*線面平仃-----"線線平仃.

練一練

1.已知：a//b,aSa,異B,。0尸=).求證：a//b//1.

證明：如圖所示，Ta〃4bB,

；?a〃￡,

又&a,aCB=1,

:.allL

又a//b,

：.a//b//1.

知識(shí)點(diǎn)2面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用I【重點(diǎn)知識(shí)?講選練會(huì)X

講一講

2.如圖，已知平面?！ā?巴a且巴8,過(guò)點(diǎn)〃的直線位與a、￡分別交于力、C,過(guò)點(diǎn)尸的直線

〃與。、方分別交于氏D,且川=6,4c=9,PD=8,求切的長(zhǎng).

［嘗試解答］因?yàn)锳CCBD=P,

所以經(jīng)過(guò)直線〃?與即可確定平面PCD,

因?yàn)閍〃尸，aC平面PCg4B,￡G平面故H6Z4所以相〃磔

PAPB8—BD

所以t高9幅=

BD'

所以即=三

o

美題-通縷

由面面平行得到線線平行，進(jìn)而由成比例線段得解，體現(xiàn)了立體幾何與平面幾何間的轉(zhuǎn)化關(guān)系.另外，

面面平行還有許多性質(zhì)，如要證明線面平行，可先證面面平行，再由性質(zhì)證得.

練一練

2.如圖所示，設(shè)腦,切為夾在兩個(gè)平行平面a,￡之間的線段，且直線力8,⑦為異面直線，MP

分別為⑦的中點(diǎn).求證：直線.郎〃平面萬(wàn).

14/23

證明：過(guò)點(diǎn)力作力￡〃勿交平面?于其連接質(zhì)BE,

BE

'：AE//CD,：.AE.切確定一個(gè)平面，設(shè)為y,

則any=AC,￡Dy=DE.

由于?！?,?4(面面平行的性質(zhì)定理)

取熊中點(diǎn)M連接便，豌

':取戶分別為48、5的中點(diǎn)，

：.NP//DE,MN//BE.

又NP鼻B,DE$B,MN工S,BE$B,：.NP//fi,MN//

又NPC楸'=M:.平面MNP“￡.

二”裝平面拗，R:.MP〃8.

線面平行、面面平行性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用?-----1【拔高知識(shí)?拓寬掘版】I

講一講

3.如圖所示，已知夕是?力靦所在平面外一點(diǎn)，MN分別是%的中點(diǎn)，平面目〃n平面如C=

MB

(1)求證：1//BC；

(2)1介與平面巧切是否平行？試證明你的結(jié)論.

［嘗試解答］(1)證明：因?yàn)榱Αāū?，〃工平面?,8壇平面PBC

所以?!〃〃平面PBC.

又因?yàn)槠矫嫘豱平面PAD=h

所以T〃AD"BC.

⑵平行.證明如下：設(shè)0是5的中點(diǎn)，連接AQ,闋

因?yàn)镸N分別是力反尸C的中點(diǎn)，

所以MQ//AD,NQ//PD.

而.，圖nAg0,ADCPD=D,所以平面楸?！ㄆ矫嬉浴?/p>

因?yàn)镸V段平面肺Q,所以M￥//平面PAD.

類(lèi)題-通城

在空間平行的判斷與證明時(shí)要注意線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化過(guò)程:

平面與平面平行的我定

交「與平面平面與平面v

直鼓與左行?的判定一直錢(qián)與平平行的劌定一平面與

/線平行L交線與三「面平行-*的與人士,平面平行

A平行的俄質(zhì)平行的性質(zhì)I

及面與平面*行的性質(zhì)

練一練

3.在長(zhǎng)方體仍必一力由G〃中，AB=BC=l,力4=2,點(diǎn)也是寬的中點(diǎn)，點(diǎn)*是44的中點(diǎn).

1J

BM

求證：楸〃平面4必

證明：設(shè)點(diǎn)尸為力〃的中點(diǎn)，連接MP,NP.

E1

BM

?點(diǎn)"是比的中點(diǎn)，

CD.

,：CD裝平面A^CD,MP1平面A@,

,二如〃平面AyCD.

,點(diǎn)4是14的中點(diǎn)，

：.NP//M,

,：M季平面A\CD,NP二平面A,CD,

；?/VP〃平面AyCD.

16/23

，：MPCNP=P,MP緊平面MNP,便E平面拗H

:.平面MNP”平面A,CD.

'：MN裝平面MNP,

???1W〃平面AxCD.

|解題高手］多解題不一樣的旅程?不一嬋的風(fēng)景?一個(gè)思維開(kāi)拓視野!

已知點(diǎn)S是正三角形力比?所在平面外的一點(diǎn)，目SA=SB=SC,SG為△弘8上的高，D,E,尸分別是力G

BC,SC的中點(diǎn)，試判斷SG與平面戚的位置關(guān)系，并給予證明.

［解］SG〃平面頒證明如下：

法一：連接"交"于〃，

B

是△［用的中位線，

：.DE//AB.

在△4》中，〃是〃1的中點(diǎn)，

且DH//AG,

”為華的中點(diǎn)，

:?FH為ASCG的中位線,

：.FH//SG.

又SCU平面班冗FH隆平面DEF,

；?SG〃平面DEF.

［嘗試用另外一種方法解題］

法二：???成為△眥的中位線，

:、EF"SB、

,：EF工平面SAB,SB呈平面SAB,

平面SAB.

同理：ZF〃平面以氏

又EFCDF=F,EF緊平面DEF,M裝平面班尸,

；.平面分8〃平面DEF.

又SG裝平面SAB,

：?SG〃平面DEF.

訓(xùn)

一能力練練

II提

學(xué)業(yè)水平小測(cè)，讓學(xué)課下能力提升,提速能

生趁熱打鐵消化所學(xué),提能，每課一檢測(cè)，步區(qū)

既練速度又練準(zhǔn)度步為營(yíng)步步羸

、學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)

1.直線a〃平面叫。內(nèi)有〃條直線交于一點(diǎn)，那么這〃條直線中與直線a平行的（）

A.至少有一條B.至多有一條

C.有且只有一條D.沒(méi)有

解析：選B設(shè)。內(nèi)〃條直線的交點(diǎn)為小則過(guò)力有且僅有一條直線）與a平行，當(dāng)/在這〃條直線

中時(shí)，有一條與日平行，而當(dāng)/不在這，條直線中時(shí)，〃條相交于力的直線都不與a平行.

???〃條相交直線中有0條或1條直線與&平行.

2.若平面。〃平面￡,直線aa,點(diǎn)BW￡,則在尸內(nèi)過(guò)點(diǎn)5的所有直線中（）

A.不一定存在與a平行的直線

B.只有兩條與a平行的直線

C.存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線

D.存在唯一一條與a平行的直線

解析：選D直線a與點(diǎn)笈確定一個(gè)平面.這個(gè)平面與￡有公共點(diǎn)6,則這兩個(gè)平面就有一條通過(guò)8

點(diǎn)的直線/,而由兩平面平行的性質(zhì)定理得/〃a.

3.設(shè)制〃為兩條不同的直線，a,7為三個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題中為真命題的是（）

A.若勿〃。，n//a,貝!J加〃〃

B.若卬〃。，￡,則a"B

C.若立〃。，〃〃a/〃〃〃，則

D.若?！?，aAy=m,￡C/=〃，則加〃〃

解析：選DA中卬與〃與同一平面平行，m,〃還可能相交或異面；B中a與￡可能相交；C中。

與力可能相交，只有D正確.

4.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，MQAB,4是4〃的中點(diǎn)，若楸〃平面BDC,則AM：MB=.

解析：??,.，"〃平面皮匕JW呈平面的9,

平面ABDC平面BDC=BD,：.MN//BD.

又LV是力〃的中點(diǎn)，

；?』,是4?的中點(diǎn)，故有4獷：%=1：1.

18/23

答案：1:1

5.設(shè)勿、〃是平面a外的兩條直線，給出三個(gè)論斷：

①而〃/?；②卬〃③/?〃a.以其中的兩個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，構(gòu)成三個(gè)命題，寫(xiě)出你認(rèn)為

正確的一個(gè)命題：.（用序號(hào)表示）

解析：①②?③

設(shè)過(guò)0的平面6與a交于1.

'??加〃a,：.m//L

'??勿〃〃，???〃〃/,U,1a,：,n//a.

答案：①②?③（或①③?②）

6.如圖，直四棱柱力山＞4笈G”的底面是梯形，AB//CD,AD上DC,CD=2,DDl=AB=\tP,0分別是

CCx.G"的中點(diǎn).求證：力勿平面回

證明：連接沖，AD,

0分別是CG,G4的中點(diǎn)，

：.PQ//緲，且緲金平面BPQ,

:.C隊(duì)〃平面BPQ.

又〃0=48=1,M//AB,

???四邊形ARQIK是平行四邊形，

:.A0〃BQ,

又,:力〃工平面BPQ,J〃平面外Q

又44n勿=〃.，平面力磔〃平面￡&

；力。享平面力四，:.AC"平面BPQ.

、課下能力提升（八）

一、選擇題

1.設(shè)a,b是兩條直線，明￡是兩個(gè)平面，若a〃*aB,aCB=b,則。內(nèi)與。相交的直

線與a的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.平行或異面

解析：選Ca"a,a與a內(nèi)的直線沒(méi)有公共點(diǎn)，所以，a與。內(nèi)的直線的位置關(guān)系是異面或平行,

a內(nèi)與6平行的直線與a平行，a內(nèi)與6相交的直線與a異面.

2.平面平面￡=a,平面萬(wàn)A平面y=b,平面/0平面a=c,若a〃力，貝ljc與a,力的位置

關(guān)系是（）

A.。與a,〃都異面

B.。與a,b都相交

C.c至少與a,6中的一條相交

D.。與&,。都平行

解析：選D如圖：且b丫，：.a"丫,

*.*a且aCy=c,:.a"c,??b//c.

3.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

①兩平面平行，夾在兩平面間的平行線段相等；②兩平面平行，夾在兩平面間的相等的線段平行；③

如果一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平行，那么它和另一個(gè)平面也平行；④兩平行直線被兩平行平面截

得的線段相等.

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B易知①④正確，②不正確；③若a"B、a￡,則&與。平行，故③不正確.

4.如圖，。是△49C所在平面外一點(diǎn)，平面?！ㄆ矫?%,。分別交線段川，PB,PC于N,夕，

1,若為'：AA'=2：3,則△/!'C與△力比面積的比為（）

A.2：5B.3：8

C.4：9D.4：25