高中數(shù)學 綜合測試題 新人教A版選修2-2

高中新課標數(shù)學選修（2-2）綜合測試題

一、選擇題（每題小題5分）

1.設y=--x,則xw［O,l］上的最大值是（）

2.若質(zhì)點P的運動方程為S（t）=2t?+t（S的單位為米，t的單位為秒），則當t=l時的瞬時速

度為（）

A2米/秒B3米/秒C4米/秒D5米/秒

3.曲線y=一』X，—2在點（一1,

處切線的傾斜角為（）

33

A30°B45°C135°D150°

4.函數(shù)y=-2x+/的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

,V6、,V6V6、.V6、11/V6、/V6、

A（—8,—----）B（-----,——）C（-8,-----）U（---,+8）D（----,+0°）

333333

5.過曲線y=r+1上一點（-1,0）,且與曲線在該點處的切線垂直的直線方程是（）

xXI

Ay=3x+3By=-+3Cy=-一一Dy=-3x-3

333

6.曲線y=-1在點（i,1）處的切線與直線x+y-3=0的夾角為

33

A30°B45°C60°D90°

7.已知函數(shù)f（x）=d+ax2+b的圖象在點p（1,0）處的切線與直線3x+y=0平行.則a、b的

值分別為（）.

A-3,2B-3,0C3,2D3,~4

8.已知f（x）=ax3+3x2+2,若/（-1）=4,則a的值等于（）

1910「1613

A—BD—C—nD—

3333

9.函數(shù)y=/一12%+16在［—3,3］上的最大值、最小值分別是（）

A6,0B32,0C25,6D32,16

10.已知a>0,函數(shù)y=/-ax在［1,+8）上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值為（）

A0B1C2D3

11.已知/（幻二2/一6/+111（m為常數(shù)），在［-2,2］上有最大值3,則此函數(shù)在［-2,2］上的

最小值為（）

A-37B-29C-5D-11

12.已知f(x)=》+/,且Xi+X2<0,X2+X3<0,X3+Xi<0則()

Af(Xi)+f(x2)+f(X3)>0Bf(Xi)+f(x2)+f(x3)<0Cf(Xi)+f(x2)+f(xa)=0D

f(Xl)+f(X2)+f(x3)符號不能確定.

二、填空題(每小題4分)

13.過拋物線y=/(x)上一點A(1,0)的切線的傾斜角為45。則/⑴=.

14.函數(shù)/*)=1—3工的遞減區(qū)間是—

15.過點P(—1,2)且與曲線y=3—-4X+2在點M(l,1)處的切線平行的直線方程是

16.函數(shù)f(x)=x(1—/)在［o,1］上的最大值為.

三、解答題

17.已知函數(shù)/(x)=a/+bx2+c的圖像經(jīng)過點(0,1),且在x=l處的切線方程是y=x—2.

求f(x)的解析式；12分

18.證明：過拋物線y=a(x—x】)(x-X2)(a#0,x)<X2)上兩點A(xi,0),B(X2,0)的切線與x軸

所成的銳角相等。12分

19.已知/(x)=ax3+b/+cx(aWO)在乂=±1時取得極值且f(1)=T

試求常數(shù)a、b、c的值并求極值。12分

20.已知函數(shù)/(x):_ax2+x+i.

(1)若/(x)在(-8,+oo)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.

(2)若/(幻在x=xi及x=X2(xi,〉：2>0)處有極值，且k%<5,求a的取值范圍。12分

21.已知函數(shù)/(X)=ax：'+cx+d(aWO)在R上滿足f(-x)=~f(x),

當x=l時/(x)取得極值-2.

(1)求于(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；

(2)證明：對任意刈“2￡(—1,1),不等式|/(x,)-/(x2)I<4恒成立.14分

22.如圖在邊長為4的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，在把它的邊沿虛線折起，做成

一個無蓋的方底盒子.

(1)問切去的小正方形邊長為多少時，盒子容積最大？最大容積匕是多少？

(2)上述做法，材料有所浪費，如果可以對材料進行切割、焊接，請你重新設計一個方案,

使材料浪費最少，且所得無蓋的盒子的容積匕＞匕14分

答案：1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.BIO.Dll.A12B13.114.[-1,1]15.2x-y+4=016.

273

—

提示：l.Af(l)=f(0)=0最大

2.D???S'=4t+l.??當t=l時的瞬時速度為5米/秒

3.選C???『(x)=-X2???『(-1)=-1即tana=-1/.a=135°

4.iiBVy,=-2+3x2<0,：.--<x<—

33

5.C???y=3x2???該點處的切線斜率為3,???所求直線方程為y=-g(x+1)即C答案

6.選D???y，:/,y，|，切線斜率為1,又直線斜率為一1.?，兩直線垂直.??夾角為

90°

7.AVff(x)=3x2+2ax,切線的斜率k=3+2a,3+2a=-3Aa=-3XVf(1)=a+b+l=0:.

b=2,故選A

8.選BY//(x)=3ax2+6x/.//(-l)=3a-6.\a=y

9.選BV/=3X2-12,由了=0得工=±2當4=±2,x=±3時求得最大值32,最小值0

z2

10.DV/a)=3x-a,???若/")為增函數(shù)，則/。)>0即a<3,要使a<31,XG[1,+

8),上恒成立，???aW3故選D

11.A令f'(x)=0得x=0或x=2,而f(0)=m,f(2)=-8+m,f(—2)=—40+m顯然

f(0)>f(2)>f(-2)???m=3

最小值為f(-2)=-37故選A

12.B???r(x)=3/+i,.,?尸(幻>0???/(幻在上是增函數(shù)，且是奇函數(shù)，

:.f(X|)<f(―X2),f(X2)<f(—X3),f(X3)<f(-Xl).'.f(Xl)+f(x2)+f(X3)<—[f(Xl)+f(X2)+f(X3)]

即f(Xi)+f(X2)+f(X3)<0故選B

13.由題意可知切線斜率為1,由導數(shù)定義知/⑴=1

14.,?,/(幻=3——3???令3—-3忘0解得一1?1忘1

15.???y'=6x-4???k=y'|口=2二直線方程為y—2=2(x+l)即2x-y+4=0

16.???/(x)=x——???/")=1_3/=0得1=乎可知當％=*時函數(shù)值為最大值，最

大值是竽

17.解：由題意可知f(0)=1,f(l)=-l,....................6分

.c=1

c=1

???，4〃+28=1解之得=3...................11分

2

4+/?+C=-1Q

b=--

2

59

f(x)=一x4—x~+1..................12分

22

18.證明：Vy=a(x—Xi)(x—X2)=ax2—a(xi+X2)x+aXiX2................3分

:.y'=2ax—a(xi+x2).................6分

z

Aki=y'|X=xi=a(xi—X2)k2=y|X=x2=a(x2-xi)......................9分

設兩切線與x軸所成銳角為。?和％

則tan0i=|a(xi—X2)I=Ia|(xs—Xi)>0,tan02=Ia(x2—xj|=|a|(x2—Xi)>0.............11

分

tan6i=tan02..................12分

19.解：/z(x)=3ax2+2bx+c,..............3分

,**f(x)在x=±l時取得極值；.x=±1是f(x)=0即3ax2+2bx+c=0的兩根.....6分

3a+2^+c=0(l)

Vf(1)=-1:.a+b+c=-l(3)

3a-2b+c=0(2)

由(1),(2),(3)得2=‘，b=0,c=--............9分

22

i33

??/(冗)=5%'-----X，f!W=—(X-1)(x+1)

當x〈T或X>1時，f\x)>0,當-1<X<1時，f'(x)<0

???/(%)在(-8,-1)及(1,+8)上是增函數(shù)，在(-1,1)是減函數(shù).....11分

，當x二T時函數(shù)取得極大值f(-1)=1

當x=l時函數(shù)取得極小值f(1)=-1...........12分

20.解：(l)V/,(^)=ax2-2ax+l..................................................….1分

???當a=0時，，/故結(jié)論成立........................2分

當a〉0時，［/(⑴=1-a20,???aWl即0<aWl...................4分

當a<0時，/'*)在(0,+8)上不恒大于或等于0,故舍去..........5分

綜上得a的取值范圍是OWaWL

(2)令/(x)=ax?—2ax+l=0,由題知其二根為x1，X2且x1+x2=2,xix2=—..................7分

Vl<—<5/.X><2-X2<5X1..................9分

x23

.*.X|(2—X2)=——(X1—1)2+1..................11分

aa

510

???一W-<l???l<aW-................12分

9a5

21.解：(1)由f(-x)=—/(x)(xWR)得.d=0；.f(x)=ax'cx,f*(x)=ax2+c.................2

分

a+c=0

由題設f⑴=—2為/(x)的極值，必有了'⑴=0?Y一解得a=l,c=-3

3。+c=0

*'?f\x)=3x2—3=3(x—1)(x+1)從而r(l)=f(一1)=0...............4分

當X￡(—8,—1)時，尸(幻》0則〃%)在上是增函數(shù);.......5分

在X￡(—1,1)時，f\x)<0則f(x)在(一1,D上是減函數(shù).......6分

當xW(1,+8)時，f\x)>0則/(力在(1,+8)上是增函數(shù).......7分

???/(-1)=2為極大值........9分

⑵由⑴知，/。)=/-3方在［—1,1］上是減函數(shù)，且/(方在［—1,1］上的最大值

M=f(-1)=2,在

［—1,1］上的最小值m=f(2)=-2.........12分

_

對任意的xi,X2W(―1,1),恒有If{xx)—f(x2)I<Mm=2—(―2)=4........14分.

22.解：(1)設切去的正方形邊長為x,則焊接成的盒子的底面邊長為4-2工，高為X.所

以

V,=(4-2x)2*A:=4(X3-4X2+4X),(0<X<2)......5分

/.V；=4(3X2-8X+4).......6分

令匕=0得X產(chǎn)士2，X2=2(舍去)而匕=12(x—9W)(x—2)又當工0時，匕>0,

333

7910R

當時，匕<0.??當X二士時盒子容積最大，最大容積匕是匕.....9分

33127

方案：如下圖a,在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖b,將切下的

小正方形焊接成長方形再焊在原正方形一邊；如圖c再焊成盒子

新焊成的盒子的容積匕為：3X2X1=6,顯然匕>匕故此方案符合要求。.....14分

高中新課標數(shù)學選修(2-2)綜合測試題

一、選擇題

1、函數(shù)y=/在區(qū)間［1,2］上的平均變化率為()

(A)2(B)3(B)4(D)5

答案：(B)

2曲線y=/在點(口)處的切線與x軸、直線1=2所圍成的三角形的面積為()

(A)-(B)-(C)-(D)-

3333

答案：(A)；

3、已知直線y=是y=lnx的切線，則女的值為()

(A)-(B)--(C)-(D)--

eeee

答案：(A)

4、設1,〃+初,b+山是一等比數(shù)列的連續(xù)三項，則〃力的值分別為()

C1iG

(A)a=±-,b=±-(B)a=——,Z?=—

2222

(C)"吟吟(D)a=一■L,b=

22

.V3

a2-b2=ba=±——

答案：(C)；由S+ai)2=a+bin?=>2

2ab=a

b=-

2

5、方程/+(4+i)x+4+〃i=0(?！闞)有實根Z?,Rz=a+bi,則z)

(A)2-2/(B)2+2i(C)-2+2/(D)-2-2/

/?2+4Z?+4=0b=-2

答案：(A)；由《則z=2—2i

力+a=0a=2

6、已知三角形的三邊分別為00,c,內(nèi)切圓的半徑為，則三角形的面積為

2

+b+c)r；四面體的四個面的面積分別為舟,”,邑燈“內(nèi)切球的半徑為R。類比三角形的

面積可得四面體的體積為()

(A)V=—(5|+“+$3+$4)R(B)丫=+$2+邑+$4次

(C)V=w(S[+52+53+$4)R(D)V=(S[+s2+*+&)R

答案：(B)

7、數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的第50項是()

(A)8(B)9(C)10(D)11

答案：(C)

8、在證明/(x)=2x+l為增函數(shù)的過程中，有下列四個命題：①增函數(shù)的定義是大前

提；②增函數(shù)的定義是小前提；③函數(shù)/(x)=2x+l滿足增函數(shù)的定義是小前提；④函數(shù)

/(x)=2x+l滿足增函數(shù)的定義是大前提；其中正確的命題是()

(A)①②(B)??(C)??(D)@?

答案：(C)

9、若a,bwR,則復數(shù)(。2-4。+5)+(-〃+2匕-6)，表示的點在()

(A)在第一象限(B)在第二象限

(C)在第三象限(D)在第四象限

答案：(D)；由。2-4。+5=(。-2)2+1>0,—82+2匕一6二—S—1)2—5<0,知

在第四象限；

10、用數(shù)學歸納法證明不等式“一!一+」一+…時的過程中,

〃+1n+22n24

由〃=%到〃=%+1時，不等式的左邊()

(B)增加了兩項一!一十一!一

(A)增加了一項-------

2(2+1)2k+12(k+1)

(C)增加了兩項—一+-------又減少了

2k+\2優(yōu)+1)k+\

(D)增加了一項一!—,又減少了一項」一；

2(k+1)k+\

答案：(C)；

11、如圖是函數(shù)/(幻=/+"2+cx+d的大致

圖象，則等于()

答案：(C)；提示，由圖象過(0,0),(1,0),(2,0)知/*)=1*-1)。-2)經(jīng)比較可得

再+=2

b=-3,c=2,d=b,即/(幻=/-3/+2x,由f/(x)=3/-6)+2得<2

12、對于函數(shù)/*)=d-3/,給出下列四個命題:①/(%)是增函數(shù)，無極值;②/。)

是減函數(shù)，有極值；③/(%)在區(qū)間(一8,0］及［2,+8)上是增函數(shù)；④/1)有極大值為0,

極小值一4；其中正確命題的個數(shù)為()

(A)1(B)2(C)3(D)4

答案：（B）；其中命題③與命題④是正確的。

二、填空題

13、函數(shù)/。）=/-3上+1在閉區(qū)間[一3,0]上的最大值與最小值分別為：

答案：3-17；

14、若4=1-3"z2=6-8/,且,+-!■=-!-,則z的值為_________；

zZ|z2

422113

答案：z--+—/；提示，由4=1一3i,得L=」_+±i

551z,1010

1a411

又由z?=6—8i,得上二二+:"那么上=」_2+11/

z25050zz2450

15、用火柴棒按下圖的方法搭三角形:

按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)明與所搭三角形的個數(shù)〃之間的關(guān)系式可以

是?

答案：an=2n+l

16、物體A的運動速度u與時間f之間的關(guān)系為口=力一1（箕的單位是6/s,/的單位

是s）,物體B的運動速度u與時間，之間的關(guān)系為y=l+8f,兩個物體在相距為405m的

同一直線上同時相向運動。則它們相遇時，A物體的運動路程為：

tt

答案：72加；提示，設運動is時兩物體相遇，那么—力+J（1+8，W/=4O5

得/=9,由于—力=72,得相遇時A物體運動72A〃；

o

三、解答題

17、己知復數(shù)z”Z2滿足10z；+5z；=2Z1Z2,且Z[+2z2為純虛數(shù)，求證：3z「z?為

實數(shù)

證明:由10z；+5z；=2z邑，得10z；-2Z|Z2+5z；=0,

222

即(3Z]—Z2)2+(Z[+2z2)2=0,那么(3z,-z2)=-(Zj+2Z2)=[(Z,+2Z2)i]

由于，z+2z2為純虛數(shù)，可設4+2Z2=〃SwR且6。0）

所以（3Z]-Zz）2=Z?2,從而3Z[-Z2=±b

故3Z1-Z2為實數(shù)

18、求由y=sinx與直線y=2且所圍成圖形的面積

3TT_3打

y=sinxx=----

4千-7T4

解：由<r-或

2日=,V2o37rk二

y=-----

71y=----

24

34

X=——

“=°或.434

L,本題的圖形由兩部分構(gòu)成,首先計出［一把,0］上的面積，再計算出

y=0V24

y=T

3乃

［0,2一］上的面積，然后兩者相加卻可；于是

4

^2x20

cf2行x2匹x

S=(------sinx)ar+(sinx-3(-+COSX)+(-cosx-

t3萬i3%3乃3;r

-T

3網(wǎng)

41X1416+(8-3應乃)

3冗8

19、用總長14.8m的鋼條做一個長方體容器的框架.如果所做容器的低面的一邊長比另

以一邊長多0.56那么高是多少時容器的容積最大,并求出它的最大容積.

解：設該容器低面矩形邊長為工相，則另一邊長為(x+0.5)相，此容器的高為

—X—(x+0.5)=3.2—2x,

4

于是，此容器的容積為：V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x34-2.2x2+1.6x,其中

0<x<1.6

4

由V'(X)=-6/+4.4X+I.6=0,得M=1,X2=-—(舍去)

因為，V'(x)在(0,1.6)內(nèi)只有一個極值點，且X￡(0,l)時，Vz(x)>0,函數(shù)V(x)遞

增；X￡(1,1.6)時，Vz(x)<0,函數(shù)V(x)遞減;

所以，當x=l時,函數(shù)V(x)有最大值V(l)=lx(l+0.5)x(3.2—2xl)=1.8〃J

即當高為1.2m時，長方體容器的容積最大，最大容積為1.8米3.

20、已知函數(shù)/。)=(爐-2or)e".

(I)當x為何值時，f(x)取得最小值？證明你的結(jié)論;

(H)設/(外在上是單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍

解析：(1)略

(2)由f'(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=ex[x2+2(1-a)x-2a]

令f(x)=0，即/+2(1)x-2a=0，得.=。-,x2=a-14-

Jl+a?,其中再vx2

當“變化時，/(幻、/(X)的變化情況如下表：

X(YO,X|)xI(Xpx2)x2(x2,+oo)

r(%)+°-。+

/(x)Y極大值、極小值,

當aNO時、X]<-l,x220,/3)在(彳],工2)上單調(diào)遞減；

由此可得：/(x)在[TJ]上是單調(diào)函數(shù)的充要條件為9之1，l+Jl+a-之1，

解得。？巳3；

4

3

即所求。的取值范圍為匚,+00);

4

21、若西.>0(i=l,2,3,…/)，觀察下列不等式：

(演+x2)(--1---)24,(x,++x3X--1----1---)29,…，請你猜測

X,x2一%x2x3

(x,+x2+--+xj(—+—+???+—)將滿足的不等式，并用數(shù)學歸納法加以證明。

司七了〃

I11

解:將滿足的不等式為區(qū)+工2+3+與)(一+—+~+—)2〃0(〃22),證明如下：

1°當〃=2時，結(jié)論成立；

2°假設刀=左時,結(jié)論成立，即(2+8+…+占.)(」-+」-+…+」-)2&2

將x2天卜

那么，當〃=左+1時，(X[+X2+???+?￥(+Xk+i)(---1----F???H----1----)=

$X?Xkxi+1

11

/v1、/、1z11

(X]+x2+--+xk)(—+—+???+—)+(X]+x2+---+XJ----+xft+l(—+—+???

X|x2S司X2

4——)+122~+2|(X1+X,+…+X&)(-H---4-?—F)+1>k~+224-1=(女+1)~

XkV耳X2八

顯然，當〃=4+1時，結(jié)論成立。

由1°、2°知對于大于2的整數(shù)〃，(再+工2+…+X”)(---1---+…H---)之〃2成立。

高中新課標數(shù)學選修（2-2）綜合測試題

一、選擇題

1.函數(shù)y=Y在區(qū)間口,2］上的平均變化率為（）

A.2B.3C.4D.5

答案：B

2.已知直線丁=依是），=lnx的切線，貝也的值為（）

A.-B.--C.-D.--

eeee

答案：A

3.如果IN的力能拉長彈簧1cm,為了將彈簧拉長6cm（在彈性限度內(nèi)）所耗費的功為（）

A.0.18JB.0.26JC.0.12JD.0.28J

答案：A

4.方程/+（4+以+4+川=0（。€即有實根〃，且2=。+切，則2=（）

A.2-2ZB.2+2/C.-2+2ZD.-2-2/

答案：A

5.△ABC內(nèi)有任意三點不共線的2002個點，加上AB。三個頂點，共2005個點，把這

2005個點連線形成不重疊的小三角形，則一共可以形成小三角形的個數(shù)為（）

A.4005B.4002C.4007D.4000

答案：A

6.數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的第50項（）

A.8B.9C.10D.11

答案：C

7.在證明/（x）=2x+l為增函數(shù)的過程中，有下列四個命題：①增函數(shù)的定義是大前提；②

增函數(shù)的定義是小前提；③函數(shù)/（x）=2x+l滿足增函數(shù)的定義是大前提；④函數(shù)

f（x）=2x+l滿足增函數(shù)的定義是大前提.其中正確的命題是（）

A.①②B.C.??D.@@

答案：C

8.若a,beR,則復數(shù)(/-4〃+5)+(-/+助-6)i表示的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案：D

9.一圓的面積以lOitcnf/s速度增加，那么當圓半徑r=20cm時，其半徑r的增加速率”為

()

A.-cm/sB.-cm/sC.—cm/sD.-!■cm/s

2345

答案：C

10.用數(shù)學歸納法證明不等式“…+'->上(〃>2)”時的過程中，由〃=人到

/J+1〃十22n24

〃=k+l時，不等式的左邊()

A.增加了一項一!—

2(A+1)

1

B.增加了兩項+

2k+\2(&+1)

C.增加了兩項」—+1又減少了一項」一

2k+\2(&+1)k+1

D.增加了一項」―，又減少了一項一L

2(&+1)2+1

答案：C

11.在下列各函數(shù)中，值域不是［-"應］的函數(shù)共有()

(1)y=(sinx)r+(cosx)'

(2)y=(sinx/+cosx

(3)y=sinx+(cosx)'

(4)y=(sinx)'?(cosx)'

A.1個B.2個C.3個D.4個

答案：C

12.如圖是函數(shù)/(幻=1+法2+5+4的大致圖象，則丁+E等于

()

24s12

A.-B,-C.-D.

333

答案：c

二、填空題

13.函數(shù)/(x)=d一3x+1在閉區(qū)間[TO]上的最大值與最小值分別為

答案：3,-17

14.若4=1—3i,z2=6—8z,—?則z的值為________.

z馬z2

答案：一士+2，

55

15.用火柴棒按下圖的方法搭三角形：

按圖示的規(guī)律搭下去，則所用火柴棒數(shù)勺與所搭三角形的個數(shù)〃之間的關(guān)系式可以

是.

答案：an=2n+\

16.物體A的運動速度v與時間f之間的關(guān)系為口=力-1(v的單位是m/s,f的單位是s),

物體B的運動速度v與時間/之間的關(guān)系為v=l+8r,兩個物體在相距為405m的同一直線上

同時相向運動.則它們相遇時，4物體的運動路程為.

答案：72m

三、解答題

17.已知復數(shù)馬，z?滿足10z；+5z；=2z,，且4+2Z2為純虛數(shù)，求證：3劣一22為實數(shù).

證明：由10z：+5可=2卒2,得10z；-2卒2+5z；=0,

22222

即(3Z1-Z2)+(馬+2Z2)=0,那么(3Z,-Z2)=-(馬+2Z2)=[(z,+2z2W],

由于，Z1+2z2為純虛數(shù)，可設馬=24=Oi(beR,且,

所以(34-Z2)2=從,從而3Z1-Z2=±b,

故34-Z2為實數(shù).

18.用總長14.8的鋼條做一個長方體容器的框架，如果所做容器的底面的一邊長比另一邊

長多0.5m,那么高是多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積.

解：設該容器底面矩形的短邊長為xcm,則另一邊長為“+0.5)m,此容器的高為

148

y=—--x-(x+0.5)=3.2-2x,

于是，此容器的容積為：V(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2xy+2.2x2+1.6x,其中Ovxvl.6,

UPV*(x)=-6x2+4.4x+1.6=0,得X]=l,x,=—(舍去)，

因為，口@)在(0J.6)內(nèi)只有一個極值點，且xc(OJ)時，VV)>0,函數(shù)V(x)遞增；

xw(1,1.6)時，V'(x)<0,函數(shù)V。)遞減；

所以，當x=l時,函數(shù)丫⑴有最大值y(l)=lx(l+0.5)x(3.2-2xl)=L8m3,

即當高為1.2m時，長方體容器的空積最大，最大容積為1.8mL

19.如圖所示，已知直線a與人不共面，直線cf]a=M，直線。flc=N,又af]平面a=A,

平面a=B，cf]平面a=C，求證：ABC三點不共線.

證明：用反證法，假設兒RC三點共線于直線/,

VAB,Cea,；./ua.

??zn/=c，與/可確定一個平面

*,*cC\a=M>:.MwB.

又Ael,：,au0,同理bu4，

??.直線a,方共面，與a,。不共面矛盾.

所以AB,C三點不共線.

20.已知函數(shù)/(x)=a?+3/一x+1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍.

解：求函數(shù)/(x)的導數(shù)：ff(x)=3ax2+6x-l.

(1)當r(x)vO(xeR)時，/(%)是減函數(shù).

30r*+6x-l<0(x€R)<=>a<0MA=36+12a<0<=>a<-3.

所以，當av-3時，由尸(x)vO,知/(x)(xwR)是減函數(shù);

8

(2)當a=-3時，f(x)=-3x3+3x2-x+\=-3\x+—

9

由函數(shù)y=d在R上的單調(diào)性，可知當〃=—3時，/(x)(xwR)是減函數(shù);

(3)當〃>一3時，在R上存在使((彳)>0的區(qū)間，

所以，當。>-3時，函數(shù)/(x)(xwR)不是減函數(shù).

綜上，所求。的取值范圍是(-8,_3).

21.若%>0(i=123,…，〃)，觀察下列不等式：(用十七)±4,

(%+x,+Xj)—I-----F—129,I11

+—+???+----滿足的不

…，請你猜測(X1+x2+…+X”)

1%占x3)%x24

等式，并用數(shù)學歸納法加以證明.

解：滿足的不等式為(X+S+…+X.),+'+…+'修〃2(〃22),證明如下:

X

I芭x2J

1.當〃=2時，結(jié)論成立；

2

2.假設當〃二A:時，結(jié)論成立，SP(x,+A：2+--+^)|-+—+—|FC

1111

=(%+占+…+七)—+???4-----------F—+???+—

—++(耳+-V2H-----F)-------FX*+i

x?Xt+I

111

—+—+???+—

'女-+2I(X,+x2+???+xk)+1

2F+2A+1=(A+1)2.

顯然，當〃=&+1時，結(jié)論成立.

22.設曲線)，=加+云+c(a<0)過點(1,1).

(1)用a表示曲線與x軸所圍成的圖形面積S(a)；

(2)求S(a)的最小值.

解：(1)曲線過點(一1,1)及(1,1),故有1=。一人+。=。+人+。,

于是6=0且。=1一〃，令y=0,BPar2+(1-?)=0,得工=

記。二號卡,由曲線關(guān)于)，軸對稱,

2

有S(a)=2^[ax+(1-a)]dx=25+(1_血]

=2吃…件卜的尹

(2)S(a)=Y=^~，令/3)=^^3<0),

則ff(a)==33-1)2-3]=紇￡(2。+1).

a~a~

令r(a)=O,得〃=-■!■或a=l(舍去).

又〃《一8,一目時，yf(x)<0；

〃€(一：可時，f\x)>0.

所以，當。=-，時，/(a)有最小值幺，此時S(a)有最小值士，巨=26.

243V4

高中新課標數(shù)學選修(2-2)綜合測試題

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的)

1.函數(shù)y=x?cosx-sinx的導數(shù)為()

(A)xcosx(B)-xsinx(C)xsinx(D)-xcosx

2.下列說法正確的是()

(A)當/(%)=0時，/(%)為/(x)的極大值

(B)當/'(%)=0時,/(%)為f(x)的極小值

(C)當r(/)=o時，為的極值

⑺)當〃/)為/(%)的極值時，/vo)=o

3.如果Z是3+4,的共挽狂數(shù)，則Z對應的向量次的模是()

(A)1(B)/(C)V13(D)5

4.若函數(shù)y=a(x3-x)的遞減區(qū)間為(-則。的取值范圍是()

(A)(0,-H?)(B)(-1,0)(C)(1收)(D)(0,1)

5.下列四條曲線(直線)所圍成的區(qū)域的面積是)

冗冗

(1)y=sinx;(2)y=cosx：(3)1=一工；(4)x=—

(A)V2(B)2V2(C)0

6.由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,

叫()

(A)合情推理(B)演繹推理(C)類比推理(D)歸納推理

7.復數(shù)。-沆與c+力的積是實數(shù)的充要條件是()

(A)ad+bc=O(B)ac+bd=0(C)ad-bc=0(D)ac-bd=0

已知函數(shù)y=gsin2x+sinx,那么y'是()

8.

(A)僅有最小值的奇函數(shù)(B)既有最大值又有最小值的偶函數(shù)

(C)僅有最大值的偶函數(shù)(D)非奇非偶函數(shù)

9.用邊長為48厘米的正方形鐵皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等