數(shù)學教材梳理線性回歸方程

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學一、相關關系變量之間的常見關系：一類是確定性函數(shù)關系，變量之間的關系可以用函數(shù)表示。如正方形的邊長l與面積S之間就是確定性函數(shù)關系，可以用函數(shù)S=l2表示；一類是相關關系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來表達.如人的體重y與身高x有關.一般來說，身高越高,體重越重,但不能用一個函數(shù)來嚴格地表示身高與體重之間的關系.在現(xiàn)實生活中存在著大量的相關關系，如何判斷和描述相關關系，統(tǒng)計學發(fā)揮著非常重要的作用.變量之間的相關關系帶有不確定性，這需要通過收集大量的數(shù)據，對數(shù)據進行統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，才能作出科學的判斷.辨析比較函數(shù)關系與相關關系的區(qū)別與聯(lián)系相同點：兩者均是指兩個變量間的關系;不同點:①函數(shù)關系是一種確定性關系，自變量的任一取值，因變量都有唯一確定的值與之對應；相關關系是非確定性關系,因變量的取值具有一定的隨機性；②函數(shù)關系是因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系；③相關關系的分析方向及方法，由于相關關系的不確定性，在尋找變量間相關性的過程中，統(tǒng)計發(fā)揮著重要的作用，而函數(shù)關系則可以通過函數(shù)的性質來進行研究。二、線性回歸分析對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析.通俗地講,回歸分析就是尋找相關關系中非確定性關系的某種確定性。1.散點圖我們把表示具有相關關系的兩個變量x、y的一組數(shù)據（xn，yn）(n=1，2，3,…）對應的一些點（即樣本點)畫在坐標系內，得到的圖形叫做散點圖。如：某地農業(yè)技術指導站的技術員,經過在7塊并排大小相同的試驗田上進行施化肥量對水稻產量影響的試驗，得到如下表所示的一組數(shù)據：（單位：千克）施化肥量x15202530354045水稻產量y330345365405445450455觀察表中數(shù)據,大體上隨著施化肥量的增加，水稻的產量也在增加.只是表中兩者之間的關系表現(xiàn)得不是很確切，需要對數(shù)據進行分析。為此我們可以作統(tǒng)計圖表，以便對兩者有一個直觀的印象和判斷。除上述的統(tǒng)計圖表外，我們還可以用另一種統(tǒng)計圖——散點圖來分析。以x軸表示施肥量，y軸表示水稻產量，可得散點圖如圖2-4-1:圖2-4-1從散點圖可以看出兩變量的確存在一定關系，大體上隨著施化肥量的增加,水稻的產量也在增加.可見散點圖能直觀形象地反映各對數(shù)據的密切程度。注意：如果關于兩個變量統(tǒng)計數(shù)據的散點圖呈現(xiàn)如圖2-4-2的形狀,則這兩個變量之間不具有相關關系.如學生的身高與學生的數(shù)學成績就沒有相關關系。圖2-4-2可見利用散點圖可以判斷變量之間有無相關關系.所以在研究兩個變量之間是否存在某種關系時，必須從散點圖入手.學法一得畫出散點圖，可以作出如下判斷:①如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關系，即說明變量之間具有函數(shù)關系。②如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，則說明變量之間具有相關關系.③如果所有的樣本點都落在某一直線附近，則變量之間具有線性相關關系.2。最小二乘法一般地，設有n個觀察數(shù)據如下：xx1x2x3…xnyy1y2y3…yn設有一直線方程=bx+a，Q(a,b）是直線=bx+a與各散點在垂直方向（縱軸方向）上的距離的平方和，設法取a，b的值，使Q(a,b）達到最小值.這種方法叫做最小平方法(又稱最小二乘法）.其中點Q=（y1—bx1—a)2+(y2-bx2—a)2+…+（yn—bxn-a)2取得最小值時,就稱=bx+a為這n對數(shù)據的線性回歸方程，該方程所表示的直線稱為回歸直線。上述式子展開后，是一個關于a或b的二次函數(shù),應用配方法,可求出使Q為最小值時的a、b的值，即（＊）其中=，.求線性回歸方程的步驟：計算平均數(shù),；計算xi與yi的積,求∑xiyi；計算∑xi2；將結果代入公式求a;用b=-a求b；寫出回歸方程.深化升華求相關變量的回歸直線的意義:回歸直線方程在現(xiàn)實生活與生產中有廣泛的應用。應用回歸直線方程可以把非確定性問題轉化成確定性問題，把“無序”變?yōu)椤坝行颉?并對情況進行估測、補充。因此,學過回歸直線方程以后,應能積極應用回歸直線方程解決一些相關的實際問題，去進一步體會回歸直線的應用價值。三、相關系數(shù)與相關性檢驗進行回歸分析,通常先進行相關性檢驗。若能確定兩個變量具有線性相關性,則再去求其線性回歸方程,否則所求方程毫無意義。給定（xi，yi)（i=1，2，3，…，n)，只要x1，x2,x3,…,xn不全相等，就能求出一條回歸直線，可它有無意義就是一個大問題。由于根據散點圖看數(shù)據點是否大致在一直線附近主觀性太強，為此可以利用樣本相關系數(shù)量化的檢驗法。樣本相關系數(shù)：r=叫做變量y與x之間的樣本相關系數(shù)(簡稱相關系數(shù))，用它來衡量它們之間的線性相關程度.｜r｜≤1,且｜r|越接近于1,相關程度越大；|r|越接近于0，相關程度越小。統(tǒng)計學認為，相關變量的相關系數(shù)r∈［-1,-0。75]時，兩變量負相關很強；r∈［0。75，1］時，兩變量正相關很強；r∈（—0.75，—0.3]或［0.3,0.75）時,兩變量相關性一般;r∈[—0.25，0。25］時，兩變量相關很弱。學法一得在實際操作中常常利用計算器計算出相關系數(shù)和線性回歸方程。典題·熱題知識點一線性相關關系例1下列兩個變量之間的關系哪個不是函數(shù)關系（）A。角度和它的余弦值B。正方形邊長和面積C.正n邊形的邊數(shù)和它的內角和D.人的年齡和身高思路分析：函數(shù)關系是一種確定的關系，而相關關系是一種非確定性關系，即相關關系是非隨機變量與隨機變量之間的關系。答案：D方法歸納判斷相關關系與函數(shù)關系要看兩個相關變量是否有確定的關系式。知識點二求出回歸直線例2一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間。為此進行了10次試驗，測得數(shù)據如下：零件個數(shù)x（個）102030405060708090100加工時間y(分）626875818995102108115122請判斷y與x是否具有線性相關關系，如果y與x具有線性相關關系，求線性回歸方程.思路分析：根據求線性回歸的方法與步驟。解:在直角坐標系中畫出數(shù)據的散點圖，直觀判斷散點在一條直線附近，故具有線性相關關系.由測得的數(shù)據表可知:=55，=91。7,=38500，=87777，=55950，∴b=≈0.668.a=—b=91。7-0。668×55≈54。96，因此，所求線性回歸方程為=bx+a=0。668x+54。96.巧解提示先根據散點圖判斷兩個變量是否具有相關關系，然后計算出各項的值代入公式.例3某醫(yī)院用光電比色計檢驗尿汞時，得尿汞含量（mg/L)與消光系數(shù)如下表：尿汞含量x246810消光系數(shù)y64138205285360（1）用統(tǒng)計方法判斷尿汞含量x與消光系數(shù)y是否相關.(2）求出回歸直線方程.（3）能預測尿汞含量為5mg/L時的消光系數(shù)嗎？思路分析：據題意需作回歸分析,先畫出其散點圖，看其是否呈直線形.再借助現(xiàn)代技術手段，求出回歸直線方程。根據題意,對實際問題進行預測.解：（1）畫出其散點圖（如圖2-4-3），觀察散點圖,可以發(fā)現(xiàn)5個樣本點都落在一條直線附近,所以變量x、y屬于線性相關。圖2-4-3（2)由于尿汞含量x與消光系數(shù)y線性相關，所以可以利用公式求出回歸方程的系數(shù)。再利用計算器可求得回歸方程=36.95x—11。3。(3）當x=5時，=36。95×5—11.3≈173.可知尿汞含量為5mg/L時的消光系數(shù)約為173.方法歸納求線性回歸方程的步驟：（1）計算平均數(shù)、；(2)計算xi與yi的積,求∑xiyi；(3）計算∑xi2，∑yi2；（4）將上述有關結果代入公式，求b、a，寫出回歸直線方程.問題·探究思想方法探究問題用最小二乘法估計得到的直線與用兩點式求出的直線方程一致嗎？探究過程