數(shù)學(xué)教材梳理線性回歸方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、相關(guān)關(guān)系變量之間的常見關(guān)系：一類是確定性函數(shù)關(guān)系，變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)表示。如正方形的邊長(zhǎng)l與面積S之間就是確定性函數(shù)關(guān)系，可以用函數(shù)S=l2表示；一類是相關(guān)關(guān)系，變量之間有一定的聯(lián)系，但不能完全用函數(shù)來表達(dá).如人的體重y與身高x有關(guān).一般來說，身高越高,體重越重,但不能用一個(gè)函數(shù)來嚴(yán)格地表示身高與體重之間的關(guān)系.在現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系，如何判斷和描述相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)揮著非常重要的作用.變量之間的相關(guān)關(guān)系帶有不確定性，這需要通過收集大量的數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，才能作出科學(xué)的判斷.辨析比較函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系相同點(diǎn)：兩者均是指兩個(gè)變量間的關(guān)系;不同點(diǎn):①函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，自變量的任一取值，因變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)；相關(guān)關(guān)系是非確定性關(guān)系,因變量的取值具有一定的隨機(jī)性；②函數(shù)關(guān)系是因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系；③相關(guān)關(guān)系的分析方向及方法，由于相關(guān)關(guān)系的不確定性，在尋找變量間相關(guān)性的過程中，統(tǒng)計(jì)發(fā)揮著重要的作用，而函數(shù)關(guān)系則可以通過函數(shù)的性質(zhì)來進(jìn)行研究。二、線性回歸分析對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析.通俗地講,回歸分析就是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性。1.散點(diǎn)圖我們把表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x、y的一組數(shù)據(jù)（xn，yn）(n=1，2，3,…）對(duì)應(yīng)的一些點(diǎn)（即樣本點(diǎn))畫在坐標(biāo)系內(nèi)，得到的圖形叫做散點(diǎn)圖。如：某地農(nóng)業(yè)技術(shù)指導(dǎo)站的技術(shù)員,經(jīng)過在7塊并排大小相同的試驗(yàn)田上進(jìn)行施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)，得到如下表所示的一組數(shù)據(jù)：（單位：千克）施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455觀察表中數(shù)據(jù),大體上隨著施化肥量的增加，水稻的產(chǎn)量也在增加.只是表中兩者之間的關(guān)系表現(xiàn)得不是很確切，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。為此我們可以作統(tǒng)計(jì)圖表，以便對(duì)兩者有一個(gè)直觀的印象和判斷。除上述的統(tǒng)計(jì)圖表外，我們還可以用另一種統(tǒng)計(jì)圖——散點(diǎn)圖來分析。以x軸表示施肥量，y軸表示水稻產(chǎn)量，可得散點(diǎn)圖如圖2-4-1:圖2-4-1從散點(diǎn)圖可以看出兩變量的確存在一定關(guān)系，大體上隨著施化肥量的增加,水稻的產(chǎn)量也在增加.可見散點(diǎn)圖能直觀形象地反映各對(duì)數(shù)據(jù)的密切程度。注意：如果關(guān)于兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖呈現(xiàn)如圖2-4-2的形狀,則這兩個(gè)變量之間不具有相關(guān)關(guān)系.如學(xué)生的身高與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)就沒有相關(guān)關(guān)系。圖2-4-2可見利用散點(diǎn)圖可以判斷變量之間有無相關(guān)關(guān)系.所以在研究?jī)蓚€(gè)變量之間是否存在某種關(guān)系時(shí)，必須從散點(diǎn)圖入手.學(xué)法一得畫出散點(diǎn)圖，可以作出如下判斷:①如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即說明變量之間具有函數(shù)關(guān)系。②如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線附近，則說明變量之間具有相關(guān)關(guān)系.③如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，則變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系.2。最小二乘法一般地，設(shè)有n個(gè)觀察數(shù)據(jù)如下：xx1x2x3…xnyy1y2y3…yn設(shè)有一直線方程=bx+a，Q(a,b）是直線=bx+a與各散點(diǎn)在垂直方向（縱軸方向）上的距離的平方和，設(shè)法取a，b的值，使Q(a,b）達(dá)到最小值.這種方法叫做最小平方法(又稱最小二乘法）.其中點(diǎn)Q=（y1—bx1—a)2+(y2-bx2—a)2+…+（yn—bxn-a)2取得最小值時(shí),就稱=bx+a為這n對(duì)數(shù)據(jù)的線性回歸方程，該方程所表示的直線稱為回歸直線。上述式子展開后，是一個(gè)關(guān)于a或b的二次函數(shù),應(yīng)用配方法,可求出使Q為最小值時(shí)的a、b的值，即（＊）其中=，.求線性回歸方程的步驟：計(jì)算平均數(shù),；計(jì)算xi與yi的積,求∑xiyi；計(jì)算∑xi2；將結(jié)果代入公式求a;用b=-a求b；寫出回歸方程.深化升華求相關(guān)變量的回歸直線的意義:回歸直線方程在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用回歸直線方程可以把非確定性問題轉(zhuǎn)化成確定性問題，把“無序”變?yōu)椤坝行颉?并對(duì)情況進(jìn)行估測(cè)、補(bǔ)充。因此,學(xué)過回歸直線方程以后,應(yīng)能積極應(yīng)用回歸直線方程解決一些相關(guān)的實(shí)際問題，去進(jìn)一步體會(huì)回歸直線的應(yīng)用價(jià)值。三、相關(guān)系數(shù)與相關(guān)性檢驗(yàn)進(jìn)行回歸分析,通常先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)。若能確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)性,則再去求其線性回歸方程,否則所求方程毫無意義。給定（xi，yi)（i=1，2，3，…，n)，只要x1，x2,x3,…,xn不全相等，就能求出一條回歸直線，可它有無意義就是一個(gè)大問題。由于根據(jù)散點(diǎn)圖看數(shù)據(jù)點(diǎn)是否大致在一直線附近主觀性太強(qiáng)，為此可以利用樣本相關(guān)系數(shù)量化的檢驗(yàn)法。樣本相關(guān)系數(shù)：r=叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)(簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù))，用它來衡量它們之間的線性相關(guān)程度.｜r｜≤1,且｜r|越接近于1,相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小。統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，相關(guān)變量的相關(guān)系數(shù)r∈［-1,-0。75]時(shí)，兩變量負(fù)相關(guān)很強(qiáng)；r∈［0。75，1］時(shí)，兩變量正相關(guān)很強(qiáng)；r∈（—0.75，—0.3]或［0.3,0.75）時(shí),兩變量相關(guān)性一般;r∈[—0.25，0。25］時(shí)，兩變量相關(guān)很弱。學(xué)法一得在實(shí)際操作中常常利用計(jì)算器計(jì)算出相關(guān)系數(shù)和線性回歸方程。典題·熱題知識(shí)點(diǎn)一線性相關(guān)關(guān)系例1下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系（）A。角度和它的余弦值B。正方形邊長(zhǎng)和面積C.正n邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和D.人的年齡和身高思路分析：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系。答案：D方法歸納判斷相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系要看兩個(gè)相關(guān)變量是否有確定的關(guān)系式。知識(shí)點(diǎn)二求出回歸直線例2一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間。為此進(jìn)行了10次試驗(yàn)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：零件個(gè)數(shù)x（個(gè)）102030405060708090100加工時(shí)間y(分）626875818995102108115122請(qǐng)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程.思路分析：根據(jù)求線性回歸的方法與步驟。解:在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系.由測(cè)得的數(shù)據(jù)表可知:=55，=91。7,=38500，=87777，=55950，∴b=≈0.668.a=—b=91。7-0。668×55≈54。96，因此，所求線性回歸方程為=bx+a=0。668x+54。96.巧解提示先根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量是否具有相關(guān)關(guān)系，然后計(jì)算出各項(xiàng)的值代入公式.例3某醫(yī)院用光電比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí)，得尿汞含量（mg/L)與消光系數(shù)如下表：尿汞含量x246810消光系數(shù)y64138205285360（1）用統(tǒng)計(jì)方法判斷尿汞含量x與消光系數(shù)y是否相關(guān).(2）求出回歸直線方程.（3）能預(yù)測(cè)尿汞含量為5mg/L時(shí)的消光系數(shù)嗎？思路分析：據(jù)題意需作回歸分析,先畫出其散點(diǎn)圖，看其是否呈直線形.再借助現(xiàn)代技術(shù)手段，求出回歸直線方程。根據(jù)題意,對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行預(yù)測(cè).解：（1）畫出其散點(diǎn)圖（如圖2-4-3），觀察散點(diǎn)圖,可以發(fā)現(xiàn)5個(gè)樣本點(diǎn)都落在一條直線附近,所以變量x、y屬于線性相關(guān)。圖2-4-3（2)由于尿汞含量x與消光系數(shù)y線性相關(guān)，所以可以利用公式求出回歸方程的系數(shù)。再利用計(jì)算器可求得回歸方程=36.95x—11。3。(3）當(dāng)x=5時(shí)，=36。95×5—11.3≈173.可知尿汞含量為5mg/L時(shí)的消光系數(shù)約為173.方法歸納求線性回歸方程的步驟：（1）計(jì)算平均數(shù)、；(2)計(jì)算xi與yi的積,求∑xiyi；(3）計(jì)算∑xi2，∑yi2；（4）將上述有關(guān)結(jié)果代入公式，求b、a，寫出回歸直線方程.問題·探究思想方法探究問題用最小二乘法估計(jì)得到的直線與用兩點(diǎn)式求出的直線方程一致嗎？探究過程