2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（湘教版2019必修第一冊(cè)第1-3章集合與邏輯 不等式 函數(shù)）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：湘教版必修第一冊(cè)第1章集合與邏輯+第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式+第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)。5．難度系數(shù)：0.72。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)全集，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，，而，所以.故選：D2．設(shè)，則=（

）A．3 B．5 C．-1 D．1【答案】A【解析】，則.故選：A3．下列函數(shù)中在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A．y＝x＋1 B．y＝－x2 C．y＝x3 D．【答案】C【解析】y＝x＋1是非奇非偶函數(shù)，y＝－x2是偶函數(shù)，y＝x3由冪函數(shù)的性質(zhì)，是定義在R上的奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增，在定義域上為奇函數(shù)，不是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，故選：C4．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)椋允堑恼孀蛹?，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B．5．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，解得或，故函?shù)的定義域?yàn)?，故選：A.6．已知，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，即成立，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：C7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞減，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的判定方法，則滿足且，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.8．設(shè)函數(shù)，，若對(duì)任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得函數(shù)的值域?yàn)楹瘮?shù)的值域的子集，當(dāng)時(shí)，，即的值域?yàn)?，若，則，即的值域?yàn)?，而，符合要求；若，則由一次函數(shù)的性質(zhì)可得，則有，解得，又，故；若，則由一次函數(shù)的性質(zhì)可得，則有，解得，又，故；綜上所述，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知集合，則下列關(guān)系式表示正確的有（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】，對(duì)選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，正確；故選：CD10．已知正數(shù)，滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是1C．的最小值是4 D．的最大值是【答案】AD【解析】A.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)A正確.B.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.C.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.D.因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)D正確.故選：AD11．已知函數(shù)，的定義域均為，且，．若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．g2+x=g2?x B．圖像關(guān)于點(diǎn)C． D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)閥=gx的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以對(duì)于B，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?lián)立得，所以y=gx對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，代入得，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B選項(xiàng)可知，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，，所以，故D正確.故選：ABD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．命題“，”的否定是．【答案】，【解析】命題“，”的否定是，，，故答案為：，．13．已知，設(shè)，則函數(shù)的最大值是．【答案】1【解析】令，解得；令，解得或；所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，所以；綜上所述：函數(shù)的最大值為1.故答案為：1.14．奇函數(shù)滿足：對(duì)任意，，都有且，則不等式的解集為【答案】【解析】對(duì)任意，，都有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，而，則，不等式化為，即，所以，有或，解得或，所以不等式解集為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）設(shè)全集，集合，.(1)若集合恰有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，，求.【解析】（1）∵集合恰有一個(gè)元素，，解得：；............................................................4分（2），；............................................................7分又，；............................................................10分即，............................................................13分16．（15分）已知集合．(1)求．(2)已知集合，若滿足______，求實(shí)數(shù)的取值范圍．請(qǐng)從①，②，③“”是“”的充分不必要條件中選一個(gè)填入（2）中橫線處進(jìn)行解答．【解析】（1）因?yàn)?，?...................4分所以，所以或........................................................7分（2）選①，因?yàn)?，所以，若，則，解得；............................................................10分若，則，解得，綜上，，即的取值范圍為.............................................................15分選②，因?yàn)?，所以，若，則，解得；若，則，解得，綜上，，即的取值范圍為.............................................................15分選③，“”是“”的充分不必要條件，所以，若，則，解得；若，則且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，綜上，，即的取值范圍為.............................................................15分17．（15分）已知函數(shù).(1)求關(guān)于的不等式的解集；(2)若，求函數(shù)在上的最小值.【解析】（1）由，得，即，當(dāng)時(shí)，不等式，解得，不等式的解集為；當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)即時(shí)，不等式的解集為或；.....................................................6分綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.............................................................7分（2）由，得，解得，所以.............................................................9分因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最小值為.....................15分18．（17分）杭州亞運(yùn)會(huì)田徑比賽于2023年10月5日收官．在最后兩個(gè)競(jìng)技項(xiàng)目男女馬拉松比賽中，中國(guó)選手何杰以2小時(shí)13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國(guó)隊(duì)亞運(yùn)史上首枚男子馬拉松金牌．人類長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)一般分為兩個(gè)階段，第一階段為前1小時(shí)的穩(wěn)定階段，第二階段為疲勞階段．現(xiàn)一60kg的馬拉松運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行4小時(shí)長(zhǎng)跑訓(xùn)練，假設(shè)其穩(wěn)定階段作速度為的勻速運(yùn)動(dòng)，該階段每千克體重消耗體力（表示該階段所用時(shí)間）．疲勞階段由于體力消耗過(guò)大變?yōu)榈臏p速運(yùn)動(dòng)（表示該階段所用時(shí)間），疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復(fù)，該階段每千克體重消耗體力．已知該運(yùn)動(dòng)員初始體力為，不考慮其他因素，所用時(shí)間為（單位：h），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)請(qǐng)寫(xiě)出該運(yùn)動(dòng)員剩余體力關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；(2)該運(yùn)動(dòng)員在4小時(shí)內(nèi)何時(shí)體力達(dá)到最低值，最低值為多少？【解析】（1）由題可先寫(xiě)出速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，..................................3分代入與公式可得解得；............................................................8分（2）①穩(wěn)定階段中單調(diào)遞減，此過(guò)程中最小值；.....................11分②疲勞階段，則有當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立，所以疲勞階段中體力最低值為5200kJ，............................................................15分由于，因此，在時(shí)，運(yùn)動(dòng)員體力有最小值5200kJ．.............................17分19．（17分）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，都有．當(dāng)時(shí)，，且．(1)求的值，并證明：當(dāng)時(shí)，；(2)判斷的單調(diào)性，并證明；(3)若，求不等式的解集．【解析】（1）令，則，又，所以．............................................................2分證明：當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以，所以；............................................................5分（2）在R上單調(diào)遞減．證明：設(shè)，則，又，所以，所