人教版2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)21.1解一元二次方程(壓軸題專項(xiàng)講練)(學(xué)生版+解析)

專題21.1解一元二次方程思想方法思想方法換元法：是數(shù)學(xué)中的重要方法之一，它往往和消元的思想聯(lián)系在一起。換元的實(shí)質(zhì)就是“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換。換元的基本方法有：整體換元、局部換元、均值換元、三角換元等。換元法的一般步驟為：設(shè)元（或構(gòu)造元）、換元、求解、回代和檢驗(yàn)等。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、直接開平方法解一元二次方程根據(jù)平方根的意義直接開平方來解一元二次方程的方法，叫做直接開平方法.直接降次解一元二次方程的步驟：①將方程化為x2=p(p≥0)或②直接開平方化為兩個(gè)一元一次方程；③解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解.二、配方法解一元二次方程將一元二次方程配成(x+m)2用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2三、公式法解一元二次方程當(dāng)b2?4ac≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通過配方，其實(shí)數(shù)根可寫為一元二次方程的方法叫做公式法.四、因式分解法概念當(dāng)一個(gè)一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，就可以把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.典例分析典例分析【典例1】閱讀材料，并解答問題：數(shù)學(xué)運(yùn)算中有一種非常重要的思想—“換元法”．它的本質(zhì)是將一個(gè)冗長(zhǎng)的、前后具有相同形式的式子用一個(gè)字母來代替，將其化為我們所熟悉的形式．例如：為解方程x2?12?5x2?1+4=0，我們將x2?1看成一個(gè)整體，然后設(shè)x2?1=y，則原方程化為y2?5y+4=0，∴y?1y?4=0，解得y1=1，y2=4．當(dāng)請(qǐng)利用以上方法解下面方程：（1）x4（2）x2（3）3x?12x【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)x2=y，則y2?2y?8=0，解得y1（2）設(shè)x2+3=y，則y2?9y+20=0，解得：y1=4,y（3）設(shè)3x?12x=y，則y?4y=3，求解y1=4,【解題過程】（1）解：x4設(shè)x2y2y?4y+2y?4=0或y+2=0，解得：y1∵y=x∴y=4，∴x2解得：x1（2）解：x2設(shè)x2y2y?4y?5y?4=0或y?5=0，解得：y1當(dāng)y=4時(shí)，x2+3=4，解得：當(dāng)y=5時(shí)，x2+3=5，解得：綜上：x1（3）解：3x?12x設(shè)3x?12xy?4y2y?4y+1y?4=0或y+1=0，y1經(jīng)檢驗(yàn)，y1=4,y當(dāng)y=4時(shí)，3x?12x解得：x=?1經(jīng)檢驗(yàn)，x=?15是方程當(dāng)y=1時(shí)，3x?12x解得：x=1，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是方程3x?12x綜上：x1學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（2023上·山東菏澤·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解方程：（1）2t（2）3x?5（3）2x2．（2023上·四川成都·九年級(jí)華西中學(xué)校聯(lián)考期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）2（2）9（3）x（4）3x3．（2023上·遼寧鞍山·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）按要求解方程．（1）2x?3（2）2x4．（2023上·湖南衡陽·九年級(jí)階段練習(xí)）解方程（1）x?1x+2（3）2x?35．（2023上·黑龍江綏化·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?）x（2）x（3）x?2（4）2x+36．（2023上·甘肅天水·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?）x?32（2）x2（3）x2（4）x7．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用適當(dāng)方法解下列方程（1）x2（2）x2（3）xx?1（4）x2（5）4x+1（6）2x+128．（2023下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）解方程(x?2)(x+1)(x+4)(x+7)=19．9．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）解方程組：11+x10．（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）解下列方程：（1）2(（2）2x11．（2024·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）解方程x?2x12．（2023上·湖北宜昌·八年級(jí)?？计谀┙夥匠蘹213．（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）解方程：（1）x?2x+2（2）x+4214．（2023上·上海青浦·八年級(jí)?？计谀┙夥匠蹋海?）x+2?（2）2xx（3）215．（2023下·安徽六安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)要求解答下列問題（1）①方程x2-2x+1=0②方程x2-3x+2=0③方程x2-4x+3=0（2）根據(jù)以上方程特征及解的特征猜想：方程x2-9x+8=0（3）根據(jù)以上探究得出一般結(jié)論：關(guān)于x的方程x2-1+m16．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）讀材料：各類方程的解法求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式．求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解．各類方程的解法不盡相同，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如x3+x2?2x=0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為xx2（1）問題：方程x3+x2?2x=0的解是x1=0，x（2）拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程4x+5=x17．（2023上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考期末）閱讀下列材料：為解方程x4?x2?6=0可將方程變形為x22?x2?6=0然后設(shè)x2=y，則x22=y2，原方程化為y2上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題．利用以上學(xué)習(xí)到的方法解下列方程：（1）x2（2）3x18．（2023上·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解以下內(nèi)容，解決問題：解方程：x2解：∵x∴方程即為：|x|設(shè)x=t，原方程轉(zhuǎn)化為：解得，t1=1，當(dāng)t1=1時(shí)，即x=1，∴當(dāng)t2=?2時(shí)，即∴綜上所述，原方程的解是x1=1，以上解方程的過程中，將其中x作為一個(gè)整體設(shè)成一個(gè)新未知數(shù)t，從而將原方程化為關(guān)于t的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”（“元”即未知數(shù)）．（1）已知方程：x2+1x2（2）仿照上述方法，解方程：1x19．（2024·全國(guó)·八年級(jí)競(jìng)賽）閱讀下列材料：在解一元二次方程時(shí)，可通過因式分解，將一元二次方程轉(zhuǎn)換為兩個(gè)一元一次方程，分別解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的兩個(gè)解．例如：x2?3x+2=0，將方程左邊因式分解得：x?1x?2=0，則x?1=0或（1）解方程：x2（2）解方程：x220．（2023上·甘肅天水·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀下列材料：方程：x4設(shè)x2=y，那么x4解這個(gè)方程得：y1=1，當(dāng)y=1時(shí)，x2=1，∴x=±1；當(dāng)y=5時(shí)，x所以原方程有四個(gè)根：x1=1，x2=?1，在這個(gè)過程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．（1）利用換元法解方程x2（2）若x2+y（3）利用換元法解方程：x2專題21.1解一元二次方程思想方法思想方法換元法：是數(shù)學(xué)中的重要方法之一，它往往和消元的思想聯(lián)系在一起。換元的實(shí)質(zhì)就是“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換。換元的基本方法有：整體換元、局部換元、均值換元、三角換元等。換元法的一般步驟為：設(shè)元（或構(gòu)造元）、換元、求解、回代和檢驗(yàn)等。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、直接開平方法解一元二次方程根據(jù)平方根的意義直接開平方來解一元二次方程的方法，叫做直接開平方法.直接降次解一元二次方程的步驟：①將方程化為x2=p(p≥0)或②直接開平方化為兩個(gè)一元一次方程；③解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解.二、配方法解一元二次方程將一元二次方程配成(x+m)2用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2三、公式法解一元二次方程當(dāng)b2?4ac≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通過配方，其實(shí)數(shù)根可寫為一元二次方程的方法叫做公式法.四、因式分解法概念當(dāng)一個(gè)一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，就可以把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.典例分析典例分析【典例1】閱讀材料，并解答問題：數(shù)學(xué)運(yùn)算中有一種非常重要的思想—“換元法”．它的本質(zhì)是將一個(gè)冗長(zhǎng)的、前后具有相同形式的式子用一個(gè)字母來代替，將其化為我們所熟悉的形式．例如：為解方程x2?12?5x2?1+4=0，我們將x2?1看成一個(gè)整體，然后設(shè)x2?1=y，則原方程化為y2?5y+4=0，∴y?1y?4=0，解得y1=1，y2=4．當(dāng)請(qǐng)利用以上方法解下面方程：（1）x4（2）x2（3）3x?12x【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)x2=y，則y2?2y?8=0，解得y1（2）設(shè)x2+3=y，則y2?9y+20=0，解得：y1=4,y（3）設(shè)3x?12x=y，則y?4y=3，求解y1=4,【解題過程】（1）解：x4設(shè)x2y2y?4y+2y?4=0或y+2=0，解得：y1∵y=x∴y=4，∴x2解得：x1（2）解：x2設(shè)x2y2y?4y?5y?4=0或y?5=0，解得：y1當(dāng)y=4時(shí)，x2+3=4，解得：當(dāng)y=5時(shí)，x2+3=5，解得：綜上：x1（3）解：3x?12x設(shè)3x?12xy?4y2y?4y+1y?4=0或y+1=0，y1經(jīng)檢驗(yàn)，y1=4,y當(dāng)y=4時(shí)，3x?12x解得：x=?1經(jīng)檢驗(yàn)，x=?15是方程當(dāng)y=1時(shí)，3x?12x解得：x=1，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是方程3x?12x綜上：x1學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（2023上·山東菏澤·九年級(jí)校考階段練習(xí)）解方程：（1）2t（2）3x?5（3）2x【思路點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解方程的方法是解題關(guān)鍵．（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（3）利用公式法解一元二次方程即可得．【解題過程】（1）解：2t2tt2t2?3t+9t?3t=3t1（2）解：3x?53x?5x?53x?5+2x?5=0或3x?13=0，x1（3）解：方程2x2?4x?1=0所以方程根的判別式為Δ=所以方程的解為x=?即x12．（2023上·四川成都·九年級(jí)華西中學(xué)校聯(lián)考期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）2（2）9（3）x（4）3x【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟．（1）用直接開平方法求解即可；（2）用公式法求解即可；（3）用因式分解法求解即可；（4）用因式分解法求解即可．【解題過程】（1）解：2x?12x?1x?12x?1=±3，x1（2）解：9xa=9,b=?12,c=?1，∴Δ=∴x=?b±解得：x1（3）解：x2x2x?1x+6x?1=0,x+6=0，x1（4）解：3x2x?53x2x?53x2x?53x?22x?53x?2=0,2x?5=0，x13．（2023上·遼寧鞍山·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）按要求解方程．（1）2x?3（2）2x【思路點(diǎn)撥】本題主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）利用平方差公式先因式分解，移項(xiàng)，之后提取公因式x?3，利用因式分解法求解即可求得答案；（2）利用公式法求解即可求得答案．【解題過程】（1）解：222x?3x?3x?3=0或x?9=0解得x1=3或（2）解：2∵a=2，b=?3，c=?3x=∴x1=4．（2023上·湖南衡陽·九年級(jí)階段練習(xí)）解方程（1）x?1x+2（3）2x?3【思路點(diǎn)撥】本題考查解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解決問題的關(guān)鍵．（1）方程整理為x2（2）方程整理為x2【解題過程】（1）解：∵x?1x+2=4，即∴x2+x?6=0，即∴x+3=0或x?2=0，∴x1=?3，（2）解：∵2x?3x+4=∴x+12∴x+1=±15，即x=±∴x1=155．（2023上·黑龍江綏化·九年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?）x（2）x（3）x?2（4）2x+3【思路點(diǎn)撥】（1）利用公式法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得；（3）利用換元法和因式分解法解一元二次方程即可得；（4）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【解題過程】（1）解：方程x2?3x?1=0中的則方程根的判別式為Δ=所以方程的解為x1=3+（2）解：x2x+3x2x+3x2x+32x+3x?22x+3=0或x?2=0，x=?32或所以方程的解為x1=?3（3）解：x?22設(shè)x?2=y，則y2y2y+2y?9y+2=0或y?9=0，y=?2或y=9，x?2=?2或x?2=9，x=0或x=11，所以方程的解為x1=0，（4）解：2x+322x+322x+322x+3+x?32x+3?x+33xx+6x=0或x=?6，所以方程的解為x1=0，6．（2023上·甘肅天水·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?）x?32（2）x2（3）x2（4）x【思路點(diǎn)撥】（1）利用直接開平方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用配方法解方程即可；（4）利用換元法解方程即可；【解題過程】（1）解：x?3x?3=5或x?3=?5，解得：x1=8，（2）解：xa=1，b=?1，c=?1，b2∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴x=解得：x1=1+（3）xxx(x?3)x?3=1或x?3=?1，解得：x1=4，（4）x解：設(shè)y=x2?x(y?2)(y?3)=0,解得y1=2，當(dāng)y=2時(shí)，x2?x=2當(dāng)y=3時(shí)，x2?x=3∴x1=?1，x7．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）用適當(dāng)方法解下列方程（1）x2（2）x2（3）xx?1（4）x2（5）4x+1（6）2x+12【思路點(diǎn)撥】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）先移項(xiàng)，然后提取公因式x，再利用因式分解法求解即可；（4）利用公式法求解即可；（5）先移項(xiàng)，然后利用平方差公式進(jìn)行因式分解求解即可；（6）令2x+1=t，則原方程可化為t2+3t+2=0，求出t的值，進(jìn)而可得出【解題過程】（1）xx?2x?2=0或x+6=0x1=2，（2）xx?2x?2=0或x?1=0x1=2，（3）xxxx=0或x?2=0x1=0，（4）x∵a=1，b=?3，c=1，∴Δ=∴x=3±∴x1=3+（5）4x+14x+14x+1+5x+29x+3?33x+1=0或x+1=0x1=?1（6）2x+1令2x+1=t，則原方程可化為tt+1t+1=0或t+2=0t1=?1則2x1解得x1=?1，8．（2023下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）解方程(x?2)(x+1)(x+4)(x+7)=19．【思路點(diǎn)撥】把方程左邊第一個(gè)因式與第四個(gè)因式相乘，第二個(gè)因式與第三個(gè)因式相乘，得(x2+5x?14)(x2+5x+4)=19，然后設(shè)【解題過程】解：把方程左邊第一個(gè)因式與第四個(gè)因式相乘，第二個(gè)因式與第三個(gè)因式相乘，得（x2+5x-14）（x2+5x+4）=19．設(shè)y=(則（y-9）（y+9）=19，即y2-81=19．解得y1，2=±10，將y1、yx2+5x?5=解得x19．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考競(jìng)賽）解方程組：11+x【思路點(diǎn)撥】利用代入消元法先求出一個(gè)未知數(shù)的值，再依次求其他未知數(shù)的值即可．【解題過程】解：把11+z=x代入1把11+y=z代入y=去分母得：2y整理得：y解得y=當(dāng)y=?1+52時(shí)，當(dāng)y=?1?52時(shí)，z=∴方程組的解為：x=?1+5210．（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）解下列方程：（1）2(（2）2x【思路點(diǎn)撥】（1）利用換元法，先設(shè)x2﹣7x（2）利用換元法，先設(shè)2x2+3x【解題過程】（1）解：2設(shè)x則22a?1∴2a?1=0或a?10=0解得，a∴x2?7x=0.5∴2x2解得，x1＝7+512，x2＝7?512，x3＝7+892（2）解：2設(shè)2x則aa?5a+1∴a?5=0或a+1=0，解得，a1∴2x2+3x∴2x2+3x?5=0解得，x111．（2024·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）解方程x?2x【思路點(diǎn)撥】本題考查了解含有二次根式的方程即無理方程；運(yùn)用換元法解方程是本題的最大特點(diǎn)；根據(jù)方程的特點(diǎn)，令y=x?2x2【解題過程】解：令y=x?2x2+2，則原方程化為：y+1整理得：3y解得：y1經(jīng)檢驗(yàn)得，y1=1當(dāng)y=13時(shí)，即平方并整理得：x2解得：x1顯然兩個(gè)解均滿足方程x?2x當(dāng)y=3時(shí)，即x?2x平方并整理得：9x由于Δ=∴一元二次方程無解，因而x?2x綜上，原方程的解為：x112．（2023上·湖北宜昌·八年級(jí)?？计谀┙夥匠蘹2【思路點(diǎn)撥】將x2+3x?3x2+3x?7=9化為x2+3x?7?3x2+3x?7【解題過程】解：∵x2∴x∴x設(shè)a=x2+3x?7化簡(jiǎn)得：a∴(a?3)(a+1)=0∴a1=3，即：x2+3x?7=3解之得：x1=2，x2=?5，或經(jīng)檢驗(yàn)，x1=2，x2=?5，則原方程得解為：x1=2，x2=?5，13．（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）解方程：（1）x?2x+2（2）x+42【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了解分式方程，解一元二次方程：（1）按照去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程，然后檢驗(yàn)即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【解題過程】（1）解：x?2去分母得：x?22去括號(hào)得：x2移項(xiàng)得：x2合并同類項(xiàng)得：?8x=16，系數(shù)化為1得：x=?2，檢驗(yàn)，當(dāng)x=?2時(shí)，x+2=0，∴x=?2是原方程的增根，∴原方程無解；（2）解：x+4x+4x+4=0或x+4?5=0解得x114．（2023上·上海青浦·八年級(jí)?？计谀┙夥匠蹋海?）x+2?（2）2xx（3）2【思路點(diǎn)撥】（1）移項(xiàng)后兩邊平方得出x+2=4+48?x+8?x，求出x?5=28?x，再方程兩邊平方得出x（2）觀察可得最簡(jiǎn)公分母是x?3x+1（3）令t=2x2?1，則2x2?1?3【解題過程】（1）x+2解：移項(xiàng)得，x+2=2+兩邊平方得，x+2=4+48?x合并同類項(xiàng)得，2x?10=48?x∴x?5=28?x兩邊平方得，x2整理得，x2∴x+1x?7解得：x1=?1，經(jīng)檢驗(yàn)，x1∴原方程的解為：x=7．（2）2x解：方程兩邊同時(shí)乘以x?3x+1得，整理得，x2解得，x=3±∴x1=3+經(jīng)檢驗(yàn)，x1=3+172∴原方程的根為：x1=3+（3）2解：2令t=2x2∴t?2t?1解得：t1=2，當(dāng)t1=2時(shí)，2x∴x2=52，解得：當(dāng)t2=1時(shí)，2x∴x2=1，解得：x3經(jīng)檢驗(yàn)x1∴原方程的解為：x1=?102，x215．（2023下·安徽六安·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)要求解答下列問題（1）①方程x2-2x+1=0②方程x2-3x+2=0③方程x2-4x+3=0（2）根據(jù)以上方程特征及解的特征猜想：方程x2-9x+8=0（3）根據(jù)以上探究得出一般結(jié)論：關(guān)于x的方程x2-1+m【思路點(diǎn)撥】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）利用配方法解方程x2（3）根據(jù)前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可完成此問．【解題過程】（1）解：①x2（x解得x1即方程x2-2x②x2（x解得x1即方程x2-3x③x2（x解得x1即方程x2-4x故答案為：①x1＝x2＝1（2）解：x2（xx-∴x故答案為：x1（3）解：x2（xx1故答案為：x116．（2023上·山西運(yùn)城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）讀材料：各類方程的解法求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式．求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解．求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解．各類方程的解法不盡相同，把未知轉(zhuǎn)化為已知．用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程．例如x3+x2?2x=0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為xx2（1）問題：方程x3+x2?2x=0的解是x1=0，x（2）拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程4x+5=x【思路點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．（1）利用因式分解法解方程x2（2）方程兩邊平方可得4x+5=x【解題過程】（1）解：由題意可知，解方程x=0和x2+x?2=0，可得方程x2x+2x?1x+2=0或x?1=0，x=?2或x=1，即x2故答案為：?2，1．（2）解：4x+5=x方程兩邊平方，得4x+5=x2，即x?5x+1x?5=0或x+1=0，x=5或x=?1，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x=5時(shí)，左邊=4×5+5=5=右邊，則當(dāng)x=?1時(shí)，左邊=4×?1+5所以方程的解為x=5．17．（2023上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀╅喿x下列材料：為解方程x4?x2?6=0可將方程變形為x22?x2?6=0然后設(shè)x2=y，則x22=y2，原方程化為y2上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問題．利用以上學(xué)習(xí)到的方法解下列方程：（1）x2（2）3x【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)閱讀材料利用換元法降次，令y=x2?2x（2）同理，令x2+5x+1=y【解題過程】（1）設(shè)y=x得：y2解得：y1=2，當(dāng)y1=2時(shí)，x2當(dāng)y2=3時(shí)，x2?2x=3，解得：∴原方程的解為x1=1+3，x2=1?（2）設(shè)x2+5x+1=y∴(3y+5)(y?1)=0，y1=?5當(dāng)y1=?5當(dāng)y2=1時(shí)，∴x2∴x1=0，經(jīng)檢驗(yàn)x1=0，18．（2023上·江蘇·九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀理解以下內(nèi)容，解決問題：解方程：x2解：∵x∴方程即為：|x|設(shè)x=t，原方程轉(zhuǎn)化為：解得，t1=1，當(dāng)t1=1時(shí)，即x=1，∴當(dāng)t2=?2時(shí)，即∴綜上所述，原方程的解是x1=1，以上解方程的過程中，將其中x作為一個(gè)整體設(shè)成一個(gè)新未知數(shù)t，從而將原方程化為關(guān)于t的一元二次方程，像這樣解決問題的方法叫做“換元法”（“元”即未知數(shù)）．（1）已知方程：x2+1x2（2）仿照上述方法，解方程：1x【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)完全平方公式由x+1x=m（2）設(shè)1x+1=m，則1【解題過程】（1）設(shè)x+1則x2