2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第07講拓展二：三角形中線角平分線方法技巧篇(精講)(學(xué)生版+解析)

第07講拓展二：三角形中線，角平分線方法技巧篇目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 2高頻考點(diǎn)一：中線長問題（方法一：中線向量形式） 2高頻考點(diǎn)二：中線長問題（中線分第三條邊所成兩角互余） 4高頻考點(diǎn)三：角平分線問題（等面積法（核心方法）） 5高頻考點(diǎn)四：角平分線問題（角平分線分第三條邊所成兩角互余） 7第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、中線：在中，設(shè)是的中點(diǎn)角,,所對的邊分別為，，1.1向量形式：（記憶核心技巧，結(jié)論不用記憶）核心技巧：結(jié)論：1.2角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;2、角平分線如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，2.1內(nèi)角平分線定理：核心技巧：或2.2等面積法核心技巧2.3角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：中線長問題（方法一：中線向量形式）典型例題例題1．（23-24高二下·遼寧本溪·開學(xué)考試）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題（其中S為的面積）.問題：在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______.(1)求角B的大?。?2)AC邊上的中線，求的面積的最大值.例題2．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為；①已知E為BC的中點(diǎn)，求底邊BC上中線AE長的最小值；②求內(nèi)角A的角平分線AD長的最大值．例題3．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且，.(1)求角B；(2)若，求邊上的角平分線長；(3)若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足．(1)求角的大??；(2)已知是的中線，求的最小值．例題3．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，已知，若為邊上的中線，且，則的面積等于．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·河北·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則中線AD的長為.2．（23-24高一下·福建三明·期中）的內(nèi)角的對邊分別是．已知，，邊上的中線長度為，則3．（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，，則BC邊上的中線AD長度的最大值為．高頻考點(diǎn)三：角平分線問題（等面積法（核心方法））典型例題例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）在中，，，，的角平分線交于D，則例題2．（2024·四川廣安·二模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若是的角平分線，，的面積為，求的值.例題3．（2024·山東淄博·一模）如圖，在△ABC中，的角平分線交BC于P點(diǎn)，.

(1)若，求△ABC的面積;(2)若，求BP的長.練透核心考點(diǎn)1．（2024·福建龍巖·一模）在中，為上一點(diǎn)，為的角平分線，則.2．（2024·四川遂寧·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)若CD是的角平分線，，的面積為，求c的值．3．（23-24高二上·貴州六盤水·期末）在中，角的對邊分別是，且．(1)求；(2)若的角平分線交于點(diǎn)，且，求的周長．高頻考點(diǎn)四：角平分線問題（角平分線分第三條邊所成兩角互余）典型例題例題1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別為，滿足，且．(1)求；(2)若點(diǎn)在邊上，，且滿足，求邊長；請?jiān)谝韵氯齻€(gè)條件：①為的一條中線；②為的一條角平分線；③為的一條高線；其中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線中，并進(jìn)行解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．練透核心考點(diǎn)1．（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）在中，，，，的角平分線交于，則．2．（2023高三上·全國·專題練習(xí)）在中，記角、、所對的邊分別為、、，已知，中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．第07講拓展二：三角形中線，角平分線方法技巧篇目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 2高頻考點(diǎn)一：中線長問題（方法一：中線向量形式） 2高頻考點(diǎn)二：中線長問題（中線分第三條邊所成兩角互余） 8高頻考點(diǎn)三：角平分線問題（等面積法（核心方法）） 13高頻考點(diǎn)四：角平分線問題（角平分線分第三條邊所成兩角互余） 17第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、中線：在中，設(shè)是的中點(diǎn)角,,所對的邊分別為，，1.1向量形式：（記憶核心技巧，結(jié)論不用記憶）核心技巧：結(jié)論：1.2角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;2、角平分線如圖，在中，平分，角,,所對的邊分別為，，2.1內(nèi)角平分線定理：核心技巧：或2.2等面積法核心技巧2.3角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：中線長問題（方法一：中線向量形式）典型例題例題1．（23-24高二下·遼寧本溪·開學(xué)考試）在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題（其中S為的面積）.問題：在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且______.(1)求角B的大??；(2)AC邊上的中線，求的面積的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）若選①：根據(jù)正弦定理，化簡得到，再由余弦定理得到，即可求解；若選②：由三角形的面積公式和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，化簡得到，得到，即可求解；若選③：由正弦定理化簡可得到，求得，即可求解.（2）根據(jù)向量的運(yùn)算法則和基本不等式，化簡得到，結(jié)合面積公式，即可求解.【詳解】（1）解：若選①：在中，因?yàn)椋?，可得，由正弦定理得，即，則，又因?yàn)椋?若選②：由，可得，所以，因?yàn)?，所?若選③：因?yàn)椋叶ɡ淼?，又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，可得；綜上所述：選擇①②③，都有.（2）解：由，可得，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，

則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，則的面積的最大值為.例題2．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為；①已知E為BC的中點(diǎn)，求底邊BC上中線AE長的最小值；②求內(nèi)角A的角平分線AD長的最大值．【答案】(1)(2)長的最小值為，的最大值【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，進(jìn)而求出；（2）由面積公式求出，進(jìn)而根據(jù)向量的模長公式結(jié)合不等式即可求解的最值，根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合等面積法，利用基本不等式可求解的最值.【詳解】（1）由正弦定理，得，即，故，因?yàn)?，所以，所以；?）①由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號取得到，所以；②因?yàn)闉榻堑慕瞧椒志€，所以，由于，所以，由于,所以，由于，又，所以由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號取得到，故，故，例題3．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別是，且，.(1)求角B；(2)若，求邊上的角平分線長；(3)若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡求值即可；（2）根據(jù)余弦定理及已知得，然后利用面積分割法列方程求解即可；（3）利用向量加法運(yùn)算及數(shù)量積模的運(yùn)算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解范圍即可.【詳解】（1）由及正弦定理得，即，即，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?（2）由及余弦定理得，又，所以，由得，所以，所以，解得.（3）因?yàn)榈牡闹悬c(diǎn)，所以，則，由正弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即邊上的中線的取值范圍為.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足．(1)求角的大??；(2)已知是的中線，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)等式利用正弦定理化角為邊，結(jié)合和余弦定理即可求得；（2）利用三角形的中線表達(dá)式得到，兩邊平方后將其轉(zhuǎn)化為邊長和夾角的關(guān)系式，再利用重要不等式求得的最大值，最后借助于不等式性質(zhì)即得.【詳解】（1）因，由正弦定理，，由余弦定理，，又代入化簡得，因，則（2）因是的中線，故,兩邊平方可得：，即，由（1）知，則，又因，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)，即.故當(dāng)時(shí)，的最小值為.2．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，角C為銳角，已知的面積為.(1)求c；(2)若為上的中線，求的余弦值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由三角形的面積公式和余弦定理求解即可；（2）因?yàn)闉樯系闹芯€，所以，對其兩邊同時(shí)平方可求出，再由余弦定理求解即可.【詳解】（1）由的面積為可得：，因?yàn)?，，解得：得，由角為銳角得，故，解得.（2）因?yàn)闉樯系闹芯€，所以，所以，，解得：.

故.3．（23-24高二上·湖南長沙·期末）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．(1)求B；(2)若的中線長為，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換計(jì)算即可；（2）利用平面向量知，利用數(shù)量積與模關(guān)系及基本不等式可得，再根據(jù)面積公式求最值即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，而，所以，化簡得，因?yàn)?，則，，即，所以，又因?yàn)?，所以，?（2）由是的中線，可知，所以，即，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以三角形面積，即的面積的最大值為.高頻考點(diǎn)二：中線長問題（中線分第三條邊所成兩角互余）典型例題例題1．（23-24高一下·遼寧沈陽·期中）在中，內(nèi)角的對邊分別為，且邊上的中線，則（

）A．3 B． C．1或2 D．2或3【答案】C【分析】由正弦定理及可得，在中由余弦定理列式可得，在中由余弦定理可得，綜上即可求解c【詳解】由得，∴，∵，∴，即.在中，由余弦定理可得，整理得，在中，，∴，即（*），當(dāng)時(shí)，（*）式可解得，；當(dāng)時(shí)，（*）式可解得，；故選：C例題2．（23-24高三·河南鄭州·階段練習(xí)）在等腰中，AB＝AC，若AC邊上的中線BD的長為3，則的面積的最大值是（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到邊長的關(guān)系式，然后結(jié)合勾股定理和基本不等式即可求得面積的最大值．【詳解】設(shè)，，由于，在和中應(yīng)用余弦定理可得：，整理可得：，結(jié)合勾股定理可得的面積：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．則面積的最大值為6．故選：A.例題3．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，已知，若為邊上的中線，且，則的面積等于．【答案】/【分析】將條件式，利用正弦定理角化邊，再根據(jù)余弦定理求得，以為鄰邊做平行四邊形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，設(shè)，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一.【詳解】由，得，，注意，得，得，記，由，知，如圖，以為鄰邊做平行四邊形，在中：，即，得，所以，故答案為：．法（2）：設(shè)，在中：①因?yàn)?，則，由余弦定理可得，得②聯(lián)立①②知：，即，解得，后面同上．故答案為：練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·河北·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則中線AD的長為.【答案】【分析】在和中利用余弦定理建立方程求解即可.【詳解】如圖，由余弦定理得，，又，兩式相加得，即，化簡得，所以.

故答案為：2．（23-24高一下·福建三明·期中）的內(nèi)角的對邊分別是．已知，，邊上的中線長度為，則【答案】【分析】由已知條件結(jié)合余弦定理可得用，又由誘導(dǎo)公式得，從而再次利用余弦定理化簡等式得到，由此得解.【詳解】記的中點(diǎn)為，連接，如圖，因?yàn)?，，所以在中，，則，又因?yàn)?，邊上的中線長度為，即，故由余弦定理得，整理可得，所以.故答案為：.3．（23-24高一·全國·課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，，則BC邊上的中線AD長度的最大值為．【答案】【分析】利用正弦定理將條件進(jìn)行變形，結(jié)合三角形內(nèi)角之和為π，可求得cosA，設(shè)AD＝x，由cos∠ADB+cos∠ADC＝0，由余弦定理建立方程可得2x2+2＝b2+c2，，利用基本不等式可得b2+c2的取值范圍，從而求得x的取值范圍．【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可知：，又因?yàn)锳+B+C＝π，所以sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB，則2cosAsinB＝sinB，又由于B∈(0,π)，所以sinB＞0，所以cosA，因?yàn)锳∈(0,π)，所以，設(shè)AD＝x，又DB＝DC＝1，在△ADB，△ADC中分別有：cos∠ADB，cos∠ADC，又由于cos∠ADB+cos∠ADC＝0，所以2x2+2＝b2+c2，在△ABC中，，即，因?yàn)閎2+c2≥2bc，所以，從而b2+c2≤8，所以2x2+2≤8，解之得，（當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號成立），所以BC邊上的中線AD長度的最大值為，故答案為：．高頻考點(diǎn)三：角平分線問題（等面積法（核心方法））典型例題例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）在中，，，，的角平分線交于D，則【答案】【分析】根據(jù)余弦定理求得的長，再利用建立的等式，即可求得答案.【詳解】在中,由余弦定理得，

則，即，解得，（負(fù)值舍），而平分，即，又，故，則.故答案為：例題2．（2024·四川廣安·二模）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若是的角平分線，，的面積為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合三角恒等變換求解角度即可.（2）利用三角形的面積公式和余弦定理列出方程，求解即可.【詳解】（1）由及正弦定理得，，所以，因?yàn)?，所以，又，所以?）由，得，又，所以，由余弦定理得所以.例題3．（2024·山東淄博·一模）如圖，在△ABC中，的角平分線交BC于P點(diǎn)，.

(1)若，求△ABC的面積;(2)若，求BP的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理和三角形面積公式即可求出答案；（2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根據(jù)三角恒變換求出，最后再根據(jù)正弦定理即可.【詳解】（1）中，設(shè)角A、B、C的對邊分別為、、，在中由余弦定理得，即①因，即，整理得②①②解得，所以.（2）因?yàn)?，所以在中由余弦定理可得，所以解得，由正弦定理得，即，解得，所以，中由正弦定理得，則，解得，所以.練透核心考點(diǎn)1．（2024·福建龍巖·一模）在中，為上一點(diǎn)，為的角平分線，則.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式列式計(jì)算即得.【詳解】由得，，解得.故答案為：2．（2024·四川遂寧·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)若CD是的角平分線，，的面積為，求c的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，結(jié)合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解，（2）由，可得，根據(jù)等面積法可求，由余弦定理即可求的值．【詳解】（1）由可得故，進(jìn)而，由于所以（2）由面積公式得，解得，，，即，，又，，．3．（23-24高二上·貴州六盤水·期末）在中，角的對邊分