人教版2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊22.10特殊三角形-二次函數(shù)的綜合(壓軸題專項講練)(學(xué)生版+解析)

專題22.10特殊三角形——二次函數(shù)的綜合典例分析典例分析【典例1】如圖，直線y=x?3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=?x2+mx+n與x軸的另一個交點為A（1）求3m+n的值；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使以C，P，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【思路點撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）求出B、C的坐標，將點B、C的坐標分別代入拋物線表達式，即可求解；（2）分CP=PQ、CP=CQ、CQ=PQ三種情況，分別求解即可．【解題過程】（1）直線y=x?3，令y=0，則x=3，令x=0，則y=故點B、C的坐標分別為(3,0)、(0,?3)，將點B、C的坐標分別代入拋物線表達式得：n=?30=?9+3m+n解得：m=4n=?3則拋物線的表達式為：y=則點A坐標為(1,0)，頂點P的坐標為(2,1)，∴3m+n=12?3=9；（2）設(shè)Q2,t①當(dāng)CP=CQ時，如圖，則C點縱坐標與PQ中點的縱坐標相同，∵P2,1∴1+t2解得：t=?7，故此時Q點坐標為(2,?7)；②當(dāng)CP=PQ時，如圖，∵P2,1∴PQ=PC=2?0故此時點Q的坐標為(2,1?25)或③當(dāng)CQ=PQ時，如圖，∴QC∴2解得：t=?3故此時點Q的坐標為(2,?3綜上所述，點Q的坐標為(2,1?25)或(2,1+25)或?qū)W霸必刷學(xué)霸必刷1．（24-25九年級上·全國·單元測試）如圖，拋物線y=?12x2+2x+c與x軸交于A(?1,0)，B（1）求拋物線的解析式；（2）P是拋物線上x軸上方的一個動點，當(dāng)△PAB的面積為272時，求點P（3）在y軸上是否存在點D，使△BCD為等腰三角形？若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點(9,13)的拋物線C1:y=ax2+bx+1（a、b為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（1）求拋物線C1的函數(shù)表達式和點D（2）將拋物線C1向左平移m(m>0)個單位長度后得到拋物線C2，拋物線C2的頂點為E，連接CE、DE，請問在平移過程中，是否存在m的值，使得△CDE3．（24-25九年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2?4x+ca≠0與x軸分別交于點A1,0、點B3,0，與y軸交于點C，連接BC，點P在線段（1）求直線BC的解析式；（2）如果以P為頂點的新拋物線經(jīng)過原點，且與x軸的另一個交點為D，若△PAB是以PA為腰的等腰三角形，求新拋物線的解析式．4．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸為直線x=?1，且拋物線經(jīng)過A1,0，C0,3（1）若直線y=mx+n經(jīng)過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸x=?1上找一點M，使MA+MC的值最小，求點M的坐標；（3）設(shè)P為拋物線的對稱軸x=?1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．5．（2023九年級·遼寧鐵嶺·學(xué)業(yè)考試）如圖，一次函數(shù)y=?12x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，二次函數(shù)y=12x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=?12x+1的圖象交于B、C（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求四邊形BDEC的面積S；（3）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是直角三角形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由．6．（23-24九年級上·廣東東莞·期中）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A?1,0，B5,0兩點（點A在點B（1）求拋物線的解析式；（2）點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點（與點C，B不重合），連接CD、BD，求△BDC面積的最大值；（3）若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△MBC為直角三角形，請直接寫出點M的坐標．7．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A?2,0、B4,0（A點在B點左側(cè)），與y（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖2所示，當(dāng)點P在直線BC上方運動時，連接AC，求四邊形ABPC面積的最大值，并寫出此時P點坐標；（3）若點M是x軸上的一個動點，點P的橫坐標為3．試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B、M、P為頂點的三角形是直角三角形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．8．（23-24九年級下·山東聊城·期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+c過x軸上點A?1,0、點B5,0，過y（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）求四邊形OCPB面積的最大值；（3）當(dāng)點P的橫坐標m滿足2<m<5時，過點P作PE⊥x軸，交BC于點E，再過點P作PF∥x軸，交拋物線于點F，連接EF，求使△PEF為等腰直角三角形的點9．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2?2x+c與x軸交于點A?3,0和點C，與y軸交于點B0,3，點P是拋物線上點A與點C（1）求拋物線的解析式；（2）動點P在拋物線上，且在直線AB上方，求△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，將該拋物線向右平移2.5個單位，點F為點P的對應(yīng)點，平移后的拋物線與y軸交于點E，Q為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點，若△QFE是以QE為腰的等腰三角形，求出所有符合條件的點Q的坐標．10．（23-24九年級上·云南昆明·期末）如圖、已知直線y=43x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，且與（1）求拋物線的表達式；（2）拋物線對稱軸上的點P，使得以點B，C，P為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的點P稱為“圣和點”、此題中，是否存在“圣和點”、若存在，請求出“圣和點”P的坐標：若不存在，請說明理由．11．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=ax2?6x+c（a、c為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于A，B(?1,0)兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，AB=4．拋物線的對稱軸與x軸交于點D，與經(jīng)過點B的直線y=x+1（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）在拋物線上是否存在點P，使得△BPE是以BE為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有得合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．12．（24-25九年級上·山西呂梁·階段練習(xí)）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B3,0兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接BC，直線l與拋物線交于B，D兩點，與y軸交于點E（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求△BCD的面積；（3）若拋物線的對稱軸與直線l的交點為N，則在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△BMN是以MN為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點M的坐標；如果不存在，請說明理由．13．（24-25九年級上·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A3,0，B0,?3兩點，點P是直線AB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M、交x軸于點N（1）分別求直線AB和這條拋物線的解析式；（2）若S△BPO=2S（3）是否存在這樣的點M，使得以A、B、M為頂點組成直角三角形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．14．（23-24九年級上·遼寧盤錦·期中）如圖，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E

（1）求拋物線的解析式；（2）在第三象限內(nèi)，F(xiàn)為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為3，求點F的橫坐標；（3）點P是對稱軸上的一動點，是否存在某一點P使P、B、C為頂點的三角形是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的P點坐標；不存在，說明理由．15．（24-25九年級上·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，已知拋物線y=ax2?2x+c與x軸交于點A，B1,0（A在B的左側(cè)），與y軸交于點（1）求出拋物線的表達式；（2）若∠CAB的角平分線與在第一象限的拋物線交于點P，求點P的橫坐標；（3）若點M是拋物線對稱軸上的一點，是否存在點M．使得以點A，C，M為頂點的三角形是以AC為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．16．（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模）如圖，已知直線y=?12x+2與x軸，y軸交于B，A兩點，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過點A，B，點P為線段OB上一個動點，過點P作垂直于x軸的直線交拋物線于點N，交直線AB于點

（1）求拋物線解析式；（2）當(dāng)MN=2MP，t的值為___________；（3）若點N到直線AB的距離為d，求d的最大值；（4）在y軸上是否存在點Q，使△QBN是以BN為腰的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．專題22.10特殊三角形——二次函數(shù)的綜合典例分析典例分析【典例1】如圖，直線y=x?3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=?x2+mx+n與x軸的另一個交點為A（1）求3m+n的值；（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使以C，P，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【思路點撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）求出B、C的坐標，將點B、C的坐標分別代入拋物線表達式，即可求解；（2）分CP=PQ、CP=CQ、CQ=PQ三種情況，分別求解即可．【解題過程】（1）直線y=x?3，令y=0，則x=3，令x=0，則y=故點B、C的坐標分別為(3,0)、(0,?3)，將點B、C的坐標分別代入拋物線表達式得：n=?30=?9+3m+n解得：m=4n=?3則拋物線的表達式為：y=則點A坐標為(1,0)，頂點P的坐標為(2,1)，∴3m+n=12?3=9；（2）設(shè)Q2,t①當(dāng)CP=CQ時，如圖，則C點縱坐標與PQ中點的縱坐標相同，∵P2,1∴1+t2解得：t=?7，故此時Q點坐標為(2,?7)；②當(dāng)CP=PQ時，如圖，∵P2,1∴PQ=PC=2?0故此時點Q的坐標為(2,1?25)或③當(dāng)CQ=PQ時，如圖，∴QC∴2解得：t=?3故此時點Q的坐標為(2,?3綜上所述，點Q的坐標為(2,1?25)或(2,1+25)或?qū)W霸必刷學(xué)霸必刷1．（24-25九年級上·全國·單元測試）如圖，拋物線y=?12x2+2x+c與x軸交于A(?1,0)，B（1）求拋物線的解析式；（2）P是拋物線上x軸上方的一個動點，當(dāng)△PAB的面積為272時，求點P（3）在y軸上是否存在點D，使△BCD為等腰三角形？若存在，直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）把點A的坐標(?1,0)代入拋物線y=?12x（2）根據(jù)△PAB的面積為272列方程可得點P（3）由等腰三角形行政，分情況討論：①當(dāng)BC=BD時；②當(dāng)CD=BC時；③當(dāng)CD=BD時，從而可以解答．【解題過程】（1）解：把點A的坐標(?1,0)代入拋物線y=?12∴c=5∴拋物線的解析式為：y=?1（2）解：當(dāng)y=0時，?12x2+2x+∴B(5,0)，∵A(?1,0)，∴AB=5?(?1)=6，∵S△PAB∴12∴y當(dāng)y=92時，∴x∴P2,（3）解：當(dāng)x=0時，y=5∴C0,∵B(5,0)，∴BC=5①當(dāng)BC=BD時，D0,?②當(dāng)CD=BC時，D0,③當(dāng)CD=BD時，設(shè)BD=a，則OD=a?5在Rt△ODB中，OD2+OB∴OD=25∴D0,?綜上，點D的坐標為0,?52或0,52．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點(9,13)的拋物線C1:y=ax2+bx+1（a、b為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（1）求拋物線C1的函數(shù)表達式和點D（2）將拋物線C1向左平移m(m>0)個單位長度后得到拋物線C2，拋物線C2的頂點為E，連接CE、DE，請問在平移過程中，是否存在m的值，使得△CDE【思路點撥】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進行求解是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法可求得拋物線C1的函數(shù)表達式，配方成頂點式即可求得頂點D（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到C2:y=49x?3+m2?3，則頂點E的坐標為3?m,?3，利用兩點之間的距離公式求得CD=5，CE=m2【解題過程】（1）解：∵經(jīng)過點(9,13)的拋物線C1:y=ax∴81a+9b+1=13?解得a=4∴拋物線C1的函數(shù)表達式為y=y=4∴頂點D的坐標為3,?3；（2）解：由題意將y=49x?32?3∴C2∴C2的頂點E的坐標為3?m,?3對于C1，令x=0，則y=1∴C2與y軸交于點C的坐標為0,1即C0,1，D3,?3，E3?m,?3∴CD=3?0CE=3?mDE=3?m?3當(dāng)CD=CE時，則m2解得m=0（舍去）或m=6，此時CD=CE=5，DE=6，符合題意；當(dāng)CD=DE時，則m=5，此時CD=DE=5，CE=5當(dāng)DE=CE時，則m2?6m+25=m，解得m=256綜上，m的值為6或5或2563．（24-25九年級上·陜西渭南·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2?4x+ca≠0與x軸分別交于點A1,0、點B3,0，與y軸交于點C，連接BC，點P在線段（1）求直線BC的解析式；（2）如果以P為頂點的新拋物線經(jīng)過原點，且與x軸的另一個交點為D，若△PAB是以PA為腰的等腰三角形，求新拋物線的解析式．【思路點撥】（1）先確定點C的坐標，再利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式即可；（2）利用等腰三角形定義分類求解即可．本題考查了待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的分類求解，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．【解題過程】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax?1∴?4a=?4，解得：a=1，∴拋物線的解析式為：y=x令x=0得y=3，∴C0,3設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+3，將點B3,0代入得：0=3k+3解得：k=?1，∴直線BC的解析式為：y=?x+3.（2）解：∵點P的橫坐標為m，點P在線段BC上，∴Pm,?m+3，0≤m≤3∴設(shè)新拋物線的解析式為y=sx?m∵點A1,0、點B∴PA2=m?12分情況討論：（1）當(dāng)PA=PB時，則m?12解得m=2，此時，P2,1∴新拋物線的解析式為y=sx?2∵新拋物線經(jīng)過原點，∴0=4s+1，解得s=?1∴新拋物線的解析式為y=?1（2）當(dāng)PA=AB時，m?12解得m1=1，m2=3（此時∴P1,2∴新拋物線的解析式為y=sx?1∵新拋物線經(jīng)過原點，∴0=s+2，解得s=?2，∴新拋物線的解析式為y=?2x?1綜上所述，新拋物線的解析式為y=?14x?24．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸為直線x=?1，且拋物線經(jīng)過A1,0，C0,3（1）若直線y=mx+n經(jīng)過B，C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸x=?1上找一點M，使MA+MC的值最小，求點M的坐標；（3）設(shè)P為拋物線的對稱軸x=?1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．【思路點撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、點的對稱性等；（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）設(shè)直線BC與對稱軸x=?1的交點為M，則此時MA+MC的值最小，進而求解；（3）分點B為直角頂點、點C為直角頂點、P為直角頂點三種情況，分別求解即可．【解題過程】（1）拋物線的對稱軸為直線x=?1，且拋物線經(jīng)過A1∴B?3設(shè)拋物線的表達式為y=ax?1將C0,3代入上式得：3=a0?10+3∴拋物線的解析式為：y=?x?1把B?3，0，C0,3，解得n=3m=1∴直線的解析式為y=x+3；（2）設(shè)直線BC與對稱軸x=?1的交點為M，則此時MA+MC的值最小，把x=?1代入直線y=x+3得y=2，故M?1,2即當(dāng)點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為?1,2；（3）設(shè)P?1,t∵B?3，0∴BC若點B為直角頂點時，則BC即18+4+t解得t=?2；若點C為直角頂點時，則BC即18+解得t=4，若P為直角頂點時，則PB∴4+t解得t=3±綜上，點P的坐標為?1,?2或?1,4或?1,3+1725．（2023九年級·遼寧鐵嶺·學(xué)業(yè)考試）如圖，一次函數(shù)y=?12x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，二次函數(shù)y=12x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=?12x+1的圖象交于B、C（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求四邊形BDEC的面積S；（3）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是直角三角形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標，若不存在，請說明理由．【思路點撥】題目主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題，勾股定理解三角形，面積問題等，理解題意，進行分類討論是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得出B(0,1（2）根據(jù)兩個函數(shù)得出C(?4,3)，結(jié)合圖象得出（3）設(shè)點P(m,0)，根據(jù)題意得出BC2=20,PB2=m2【解題過程】（1）解：根據(jù)題意得，當(dāng)x=0時，y=?1∴B(0,1將B(0,1)，D(?1,0)代入c=112?b+c=0得解析式y(tǒng)=1（2）根據(jù)題意得：聯(lián)立兩個函數(shù)y=?1解得：x=0y=1或x=?4∴C(?4,3∴SΔACE=1∴四邊形BDEC的面積為：S=S（3）設(shè)點P(m,0)，∵B0,1∴BC2當(dāng)P為直角頂點時，PB2∴m2解得：m=?1或m=?3，∴P(?1,0)或當(dāng)B為直角頂點時，PB2∴m2解得：m=?1∴P(?1當(dāng)C為直角頂點時，PC2∴(m+4)2解得：m=?11∴P(?11綜上可得：P的坐標為(?112,0)或(?126．（23-24九年級上·廣東東莞·期中）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A?1,0，B5,0兩點（點A在點B（1）求拋物線的解析式；（2）點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點（與點C，B不重合），連接CD、BD，求△BDC面積的最大值；（3）若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△MBC為直角三角形，請直接寫出點M的坐標．【思路點撥】（1）由待定系數(shù)法即可求解；（2）由點D橫坐標為m得出點D、點E的坐標，結(jié)合兩點間的距離公式以及三角形的面積公式，即可求解；（3）先確定拋物線的對稱軸，如圖，設(shè)M2,t，利用兩點間的距離公式得到BC2=50，MC2=t2?10t+29，MB2=t2+9，利用勾股定理的逆定理分類討論：當(dāng)BC2+MC2【解題過程】（1）解：在y=ax2+bx+5中，令x=0，則y=5設(shè)y=ax+1∴5=a0+1解得a=?1，∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=?x+1x?5，即（2）解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B5,0，C0,5代入直線解析式得解得：k=?1b=5∴直線BC的解析式為y=?x+5，設(shè)Dm,?m2∴DE=?m∴△BDC面積=1∴△BDC面積的最大值為：1258（3）解：∵y=?x∴拋物線的對稱軸為直線x=2，故設(shè)M2,t∵B5,0，C∴BC2=52當(dāng)BC2+MC2=MB解得t=7，此時M點的坐標為2,7；當(dāng)BC2+MB2=MC解得t=?3，此時M點的坐標為2,?3；當(dāng)MC2+BM2=BC解得t1=6，此時M點的坐標為2,6或2,?1，綜上所述，滿足條件的M點的坐標為2,7，2,?3，2,6，2,?1．7．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A?2,0、B4,0（A點在B點左側(cè)），與y（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖2所示，當(dāng)點P在直線BC上方運動時，連接AC，求四邊形ABPC面積的最大值，并寫出此時P點坐標；（3）若點M是x軸上的一個動點，點P的橫坐標為3．試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B、M、P為頂點的三角形是直角三角形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【思路點撥】本題考查二次函數(shù)的幾何綜合，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）過點P作PQ∥y軸交BC于點Q，設(shè)Pt,-t2+2t+8，則Qt,?2t+8，所以四邊形ABPC面積（3）先求出P3,5，設(shè)Mx,0，分別求出MP【解題過程】（1）解：將點A?2,0、B4,0、C∴4a?2b+c=0解得a=?1b=2∴拋物線的解析式為y=?x（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+8，把B4,0∴4k+8=0，解得k=?2，∴直線BC的解析式為y=?2x+8，過點P作PQ∥y軸交BC于點設(shè)Pt,?t2∴PQ=?t∵AO=2，∴SS∴四邊形ABPC面積=S∵點P在直線BC上方，∴0<t<4，∴當(dāng)t=2時，四邊形ABPC面積有最大值32，此時P2,8（3）存在點M，使得以點B、M、P為頂點的三角形是直角三角形，理由如下：當(dāng)x=3時，y=5，∴P3,5設(shè)Mx,0∴MP①當(dāng)MP為斜邊時，x?32解得x=4，∴M4,0②當(dāng)MB為斜邊時，x?42解得x=?22，∴M?22,0③當(dāng)BP為斜邊時，x?42解得x=3或x=4，∴M3,0或4,0綜上所述：M點坐標為?22,0或3,0．8．（23-24九年級下·山東聊城·期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+c過x軸上點A?1,0、點B5,0，過y（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）求四邊形OCPB面積的最大值；（3）當(dāng)點P的橫坐標m滿足2<m<5時，過點P作PE⊥x軸，交BC于點E，再過點P作PF∥x軸，交拋物線于點F，連接EF，求使△PEF為等腰直角三角形的點【思路點撥】（1）用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達式為y=x（2）求出直線BC的表達式為y=x?5，過點P作PQ⊥x軸，交BC于點E，交x軸于點Q，可知Pm,m2?4m?5，（3）求出拋物線對稱軸為直線x=2，故當(dāng)點P的橫坐標m滿足2<m<5時，點P在對稱軸右側(cè)，可得PF=2m?2=2m?4，即可得【解題過程】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c∴y=ax將A?1,0，B5,0代入得a?b?5=025a+5b?5=0，解得a=1∴二次函數(shù)的表達式為y=x（2）設(shè)直線BC的表達式為y=kx+t，將B5,0，C0,?5代入可得5k+t=0t=?5，解得k=1∴直線BC的表達式為y=x?5．如圖，過點P作PQ⊥x軸，交BC于點E，交x軸于點Q．∵Pm,m0<m<5，則∴點E的橫坐標也為m，則縱坐標為yE∴PE=y四邊形OCPB的面積===5∵?5∴當(dāng)m=52時，四邊形OCPB的面積最大，為（3）當(dāng)點P的橫坐標m滿足2<m<5時，此時點P在對稱軸右側(cè)，如圖，∵y=x∴拋物線對稱軸為直線x=2，當(dāng)點P的橫坐標m滿足2<m<5時，點P在對稱軸右側(cè)，∴PF=m?x同（2）知PE=?m當(dāng)PE=PF時，△PEF為等腰直角三角形，即?m整理，得m2?3m?4=0，解得m=4或此時，n=42?4×4?5=?5所以當(dāng)點P的坐標為4,?5時，△PEF為等腰直角三角形．9．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2?2x+c與x軸交于點A?3,0和點C，與y軸交于點B0,3，點P是拋物線上點A與點C（1）求拋物線的解析式；（2）動點P在拋物線上，且在直線AB上方，求△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，將該拋物線向右平移2.5個單位，點F為點P的對應(yīng)點，平移后的拋物線與y軸交于點E，Q為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點，若△QFE是以QE為腰的等腰三角形，求出所有符合條件的點Q的坐標．【思路點撥】本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，即可．（1）把點A，B的坐標代入函數(shù)解析式，即可；（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)點A，B的坐標求出解析式，過點P作x軸的垂線交AB于點H，求出PH，根據(jù)S△APB（3）根據(jù)函數(shù)平移的性質(zhì)，則平移的函數(shù)解析式：y=?x?1.52+4，根據(jù)點F為點P的對應(yīng)點，求出點F的坐標，平移后的拋物線與y軸交于點E，求出點E的坐標，根據(jù)兩點間的距離公式，求出QE2【解題過程】（1）∵拋物線經(jīng)過A?3,0，B∴9a+6+c=0c=3解得：a=?1c=3∴拋物線的解析式為：y=?x（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∵直線AB經(jīng)過?3,0，0,3∴?3k+b=0b=3解得：k=1b=3∴直線AB的解析式為y=x+3，過點P作x軸的垂線交AB于點H，設(shè)Px,?∴Hx,x+3∴PH=?x∵△ABP面積=1∴S△ABP∴當(dāng)x=?32時，△ABP面積最大值為此時P?（3）拋物線整理得：y=?x∴平移后的拋物線表達式為：y=?x?1.5∵點F為點P的對應(yīng)點，P?∴點F1,∵平移后的拋物線與y軸交于點E，∴當(dāng)x=0時，y=?x?1.5∴點E0,設(shè)點Q1.5,m∴QE2=94當(dāng)QE=QF時，則94+m?∴點Q的坐標為：1.5,9當(dāng)QE=EF時，則5=94+∴點Q的坐標為：1.5,7±2檢驗得點Q，點E，點F三點不共線．綜上所述，點Q的坐標為：32,7+211410．（23-24九年級上·云南昆明·期末）如圖、已知直線y=43x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，且與（1）求拋物線的表達式；（2）拋物線對稱軸上的點P，使得以點B，C，P為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的點P稱為“圣和點”、此題中，是否存在“圣和點”、若存在，請求出“圣和點”P的坐標：若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)二次函數(shù)對稱軸，設(shè)其函數(shù)表達式為：y=ax+12+k，根據(jù)一次函數(shù)的表達式求出點A和點C的坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，求出點B的坐標，最后將點A（2）分情況進行討論，①當(dāng)BC=PC時，②當(dāng)BC=BP時，③當(dāng)BP=CP時，分別求解即可．【解題過程】（1）解：∵一次函數(shù)的表達式為：y=4∴當(dāng)y=0時，0=43x+4，解得：x=?3，當(dāng)x=0∴A?3,0，C∵二次函數(shù)稱軸為直線x=∴B1,0設(shè)二次函數(shù)表達式為：y=ax+3把C0,4代入得：4=a0+30?1∴二次函數(shù)表達式為：y=?4整理得：y=?4（2）存在①當(dāng)BC=PC時，如圖：此時P1②當(dāng)BC=BP時，如圖：有兩種情況，∵B1,0，C∴BC=BP=1令對稱軸與x軸交于點Q，∵對稱軸為直線x=?1∴BQ=1??1∴PQ=17?∴P2③當(dāng)BP=CP時，過點C作CM垂直于對稱軸，垂足為點M，∵對稱軸為直線x=?1∴點P橫坐標為?1，CM=1,BQ=2設(shè)點P?1,∴PM=4?a,PQ=a，∴CP2=C∵BP=CP，∴1+4?a2=4+∴P4綜上存在“圣和點”，點P坐標為：?1,0或?1,13或?1,?13或11．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=ax2?6x+c（a、c為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于A，B(?1,0)兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，AB=4．拋物線的對稱軸與x軸交于點D，與經(jīng)過點B的直線y=x+1（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）在拋物線上是否存在點P，使得△BPE是以BE為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有得合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【思路點撥】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)表達式、坐標與圖形、等腰三角形的判定與性質(zhì)、一次函數(shù)圖象的平移、直角三角形的性質(zhì)等知識，正確求得拋物線的函數(shù)表達式是解答的關(guān)鍵．（1）先求點A坐標，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式即可；（2）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得D?3,0，點E的坐標為E?3,?2，進而可得∠ABE=∠BED=45°；當(dāng)∠EBP=90°時，則∠ABP=45°，可得PQ=BQ，設(shè)點P的坐標為t,?t2?6t?5，然后解方程求得t值即可；求直線BP的函數(shù)表達式，然后平移至經(jīng)過點E，此時直線與拋物線的交點分別為P1，【解題過程】（1）解：∵點B的坐標為(?1,0)，AB=4，點A在點B左側(cè)，∴點A的坐標為(?5,0)，將A(?5,0)，B(?1,0)代入y=ax25a+30+c=0a+6+c=0，解得：a=?1∴拋物線的函數(shù)表達式為y=?x（2）解：在拋物線上存在點P，使得△BPE是以BE為直角邊的直角三角形．理由如下：由y=?x2?6x?5=?∴D?3,0∵拋物線的對稱軸與經(jīng)過點B的直線y=x+1交于點E，∴當(dāng)x=?3時，y=?2，∴點E的坐標為(?3,?2)，則DE=BD=2，∴∠ABE=∠BED=45°.當(dāng)∠EBP=90°時，則∠ABP=45°，過點P作PQ⊥OA于點Q，如圖．則Rt△PQO∴PQ=BQ，設(shè)點P的坐標為t,?t∴?t解得：t1=?4，當(dāng)t=?4時，?t點P的坐標為(?4,3)；設(shè)直線BP的函數(shù)表達式為y=kx+n，將點B(?1,0)，P(?4,3)代入，得?k+n=0?4k+n=3，解得k=?1∴直線BP的函數(shù)表達式為y=將直線BP平移至經(jīng)過點E，此時直線與拋物線的交點分別為P1，P則∠BEP1=∠BEP2將E(?3,?2)代入，得?2=3+m，解得m=?5，∴直線P1P2∴?x?5=?x2?6x?5，解得：x=0∴點P的坐標為(0,?5)或(?5,0)．綜上可得，在拋物線上存在點P，使得△BPE是以BE為直角邊的直角三角形，點P的坐標為(?4,3)或(0,?5)或(?5,0)．12．（24-25九年級上·山西呂梁·階段練習(xí)）如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B3,0兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接BC，直線l與拋物線交于B，D兩點，與y軸交于點E（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求△BCD的面積；（3）若拋物線的對稱軸與直線l的交點為N，則在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△BMN是以MN為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點M的坐標；如果不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出D?12,74，設(shè)直線l的解析式為：y=px+q，利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式為y=?12x+（3）設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為P，拋物線y=?x2+2x+3的對稱軸為直線x=1，得到P1,0，N1,1，設(shè)M【解題過程】（1）解：將點A?1,0，B3,0代入?1?b+c=0?9+3b+c=0解得：b=2c=3∴拋物線的函數(shù)解析式為y=?x（2）將x=?12代入y=?x∴D?設(shè)直線l的解析式為：y=px+q，將點D?123p+q=0?解得：p=?1∴直線l的解析式為：y=?1在y=?12x+32∴E0,在y=?x2+2x+3中，令x=0∴C0,3∴CE=3?3∵D?12∴S△BCD（3）存在，點M的坐標為(1,5+1)或(1,?5設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為P，∵拋物線y=?x2+2x+3∴P1,0把x=1代入直線y=?12x+∴N1,1∴PN=1，BP=3?1=2，∴BN=P設(shè)M1,a當(dāng)BN=MN時，a?1=解得：a=5+1或∴M1(1,5當(dāng)BM=MN時，在Rt△PBM3中，由勾股定理可得：B解得：a=?3∴M3綜上所述，存在，點M的坐標為(1,5+1)或(1,?5+1)或(1,?313．（24-25九年級上·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A3,0，B0,?3兩點，點P是直線AB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M、交x軸于點N（1）分別求直線AB和這條拋物線的解析式；（2）若S△BPO=2S（3）是否存在這樣的點M，使得以A、B、M為頂點組成直角三角形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）設(shè)lAB=kx+b，將A(3,0)，（2）設(shè)P(t,t?3)，M(t,t2?2t?3)，根據(jù)N(t,0)（3）設(shè)M(m,m2?2m?3)，分當(dāng)AB2【解題過程】（1）解：設(shè)lAB=kx+b，將A(3,0)，得0=3k+b?3=b解得k=1b=?3∴直線AB的解析式為y=x?3，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A(3,0)，B(0,?3)兩點，將A(3,0)∴0=3解得n=?3m=?2∴y=x（2）設(shè)P(t,t?3)，M(t,t2?2t?3)，N(t,0)，則當(dāng)0<t<3時∵S∴1整理得2t∴t1=∴P(3當(dāng)t>3時∵S∴1整理得2t∴x=32（舍去）或∴P當(dāng)t<0時S∴不存在綜上所述：P(32（3）設(shè)M(m,mAB2=32①當(dāng)AB2+A∴3∴36?6m?6(m∴6?m?(m∴m∴(m+2)(m?3)=0，解得m=?2或m=3（舍去），∴M(?2,5)②AB2+B∴3∴6m+6(m∴m而m≠0，∴m=1，∴M(1,?4)，③AM2+B∴m∴m?3∴m=3（舍去）或m=1+52∴m=1+52∴M(1+52綜上所述：M(?2,5)，M(1,?4)，M(1+5214．（23-24九年級上·遼寧盤錦·期中）如圖，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸交于另一個點C，對稱軸與直線AB交于點E

（1）求拋物線的解析式；（2）在第三象限內(nèi)，F(xiàn)為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為3，求點F的橫坐標；（3）點P是對稱軸上的一動點，是否存在某一點P使P、B、C為頂點的三角形是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的P點坐標；不存在，說明理由．【思路點撥】（1）先由直線AB的解析式為y=x+3，求出它與x軸的交點A，與y軸的交點B的坐標，再將A，B兩點坐標代入y=?x（2）設(shè)第三象限內(nèi)的點F的坐標為m,?m2+2m+3，運用配方法求出拋物線的對稱軸和頂點D的坐標，再設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點G，連接FG，再根據(jù)S△AEF=S△AEG（3）設(shè)點P坐標為?1,n，先由B，C兩點坐標運用勾股定理求出BC，再分兩種情況討論：①若∠PBC=90°，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于n的方程，求出n值，得出P點坐標；②若∠BCP=90°，同①可求出對應(yīng)的P點坐標，進而得出結(jié)果．【解題過程】（1）∵y=x+3與x軸的交點A，與y軸的交點B的坐標，∴當(dāng)y=0時，x=?3，即點A的坐標為?3,0，當(dāng)x=0時，y=3，即點B的坐標為0,3，將A?3,0，B0,3代入得?9?3b+c=0c=3∴b=?2∴拋物線的解析式為y=?（2）如圖1，設(shè)第三象限內(nèi)的點F的坐標為m,?m

則m<0，?m∵y=?x∴對稱軸為直線x=?1，頂點D設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點G，連接FG，則G?1,0，AG=2∵直線AB的解析式為y=x+3，∴當(dāng)x=?1∴E點坐標為?1,2.∵S==∴以A、E、F為頂點的三角形面積為3時，m2解得：m1=?3?當(dāng)m=?3??=?=?3+m+3=m=∴點F的坐標為?3?21（3）設(shè)點P坐標為?1,n，∵B0,3，∴B分兩種情況①如圖2，

若∠PBC=90°，則PB2+B∴n=8∴點P的坐標為?1,8②如圖3，

若∠BCP=90°，則BC2∴n=?∴點P的坐標為?1,?2綜上所述，P點坐標為?1,83或15．（24-25九年級上·湖南長沙·開學(xué)考試）如圖，已知拋物線y=ax2?2x+c與x軸交于點A，B1,0（A在B的左側(cè)），與y軸交于點（1）求出拋物線的表達式；（2）若∠CAB的角平分線與在第一象限的拋物線交于點P，求點P的橫坐標；（3）若點M是拋物線對稱軸上的一點，是否存在點M．使得以點A，C，M為頂點的三角形是以AC為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【思路點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的定義，分類討論是解本題的關(guān)鍵．（1）直接利用待定系數(shù)法求解解析式即可；（2）作∠CAB的角平分線交y軸于點E，交拋物線