2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語3全稱量詞與存在量詞課時(shí)作業(yè)含解析北師大版選修1-1

PAGE3全稱量詞與存在量詞[A組基礎(chǔ)鞏固]1．下列命題是特稱命題的是()A．偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱B．正四棱柱都是平行六面體C．不相交的兩條直線是平行直線D．存在實(shí)數(shù)大于等于3解析：“存在”是存在量詞．答案：D2．(2015·高考湖北卷)命題“?x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是A．?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．?x?(0，＋∞)，lnx＝x－1C．?x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1D．?x0?(0，＋∞)，lnx0＝x0－1解析：特稱命題的否定是全稱命題．變更原命題中的三個(gè)地方即可得其否定，?改為?，x0改為x，否定結(jié)論，即lnx≠x－1，故選A.答案：A3．下列命題中假命題是()A．有些不相像的三角形面積相等B．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2＋x＋1≤0C．存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大D．有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身解析：以上4個(gè)均為特稱命題，A，C，D均可找到符合條件的特例；對(duì)B，隨意x∈R，都有x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0.故B為假命題．答案：B4．下列特稱命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()①存在一個(gè)實(shí)數(shù)a，使eq\r(a)為正整數(shù)；②存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使eq\r(10,x)為正整數(shù)；③存在一個(gè)實(shí)數(shù)y，使eq\r(11,y)＝1為整數(shù)．A．0 B．1C．2 D．3解析：對(duì)于①，當(dāng)a＝4時(shí)，eq\r(a)＝2為正整數(shù)；對(duì)于②，當(dāng)x＝1時(shí)，eq\r(10,x)＝1為正整數(shù)；對(duì)于③，當(dāng)y＝1時(shí)，eq\r(11,y)＝1為整數(shù)，故選D.答案：D5．命題“隨意x∈[1,3]，x2－a≤0”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是A．a(chǎn)≥9 B．a(chǎn)≤9C．a(chǎn)≥10 D．a(chǎn)≤10解析：當(dāng)該命題是真命題時(shí)，只需a≥(x2)max，x∈[1,3]．又y＝x2在[1,3]上的最大值是9，所以a≥9.因?yàn)閍≥9?/a≥10，a≥10?a≥9，故選C.答案：C6．命題“偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱”的否定是________．解析：本題中的命題是全稱命題，省略了全稱量詞，加上全稱量詞后該命題可以敘述為：全部偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱．將命題中的全稱量詞“全部”改為存在量詞“有些”，結(jié)論“關(guān)于y軸對(duì)稱”改為“關(guān)于y軸不對(duì)稱”，所以該命題的否定是“有些偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸不對(duì)稱”．答案：有些偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸不對(duì)稱7．給出下列命題：①矩形的對(duì)角線不相等；②有的向量方向不確定；③對(duì)隨意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；④存在實(shí)數(shù)大于等于3；⑤至少有一個(gè)整數(shù)，它既能被2整除，又能被5整除．其中是全稱命題的是________，是特稱命題的是________．(填序號(hào))解析：①可改寫為，“全部矩形的對(duì)角線都不相等”，含有全稱量詞“全部”，故是全稱命題；②中含有存在量詞“有的”，故是特稱命題；③中含有全稱量詞“隨意”，故是全稱命題；④中含有存在量詞“存在”，故是特稱命題；⑤中含有存在量詞“至少有一個(gè)”，故是特稱命題．答案：①③②④⑤8．給出下列四個(gè)命題：①梯形的對(duì)角線相等；②對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，均有x＋2>x；③不存在實(shí)數(shù)x，使x2＋x＋1<0；④有些三角形不是等腰三角形．其中全部正確命題的序號(hào)為________．解析：①中直角梯形的對(duì)角線不相等，不成立；②明顯成立；③x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，成立；④明顯成立．答案：②③④9．推斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并推斷真假：(1)每一個(gè)指數(shù)函數(shù)都是增函數(shù)；(2)至少有一個(gè)自然數(shù)小于1；(3)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2＋2x＋2＝0；(4)圓內(nèi)接四邊形，其對(duì)角互補(bǔ)．解析：(1)是全稱命題．對(duì)于指數(shù)函數(shù)y＝(eq\f(1,2))x，它是減函數(shù)，故該全稱命題是假命題．(2)是特稱命題．明顯，自然數(shù)0小于1，故該特稱命題是真命題．(3)是特稱命題．對(duì)方程x2＋2x＋2＝0，Δ＝22－4×2＝－4<0，即方程x2＋2x＋2＝0沒有實(shí)數(shù)根，因此該特稱命題是假命題．(4)是全稱命題．省略了全稱量詞“全部的”，是真命題．10．若“存在實(shí)數(shù)x，不等式x2＋a|x|＋1<0成立”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：“存在實(shí)數(shù)x，不等式x2＋a|x|＋1<0成立”的否定是“對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立”．原命題是假命題，故它的否定是真命題．①當(dāng)x＝0時(shí)，1≥0恒成立，此時(shí)a∈R.②當(dāng)x≠0時(shí)，a≥eq\f(－x2－1,|x|)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|＋\f(1,|x|))).又|x|＋eq\f(1,|x|)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝1時(shí)等號(hào)成立，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|＋\f(1,|x|)))≤－2，當(dāng)且僅當(dāng)|x|＝1時(shí)等號(hào)成立，所以a≥－2.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[－2，＋∞)．[B組實(shí)力提升]1．下列命題中，真命題是()A．存在m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函數(shù)B．存在m∈R，使函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函數(shù)C．隨意的m∈R，函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函數(shù)D．隨意的m∈R，函數(shù)f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函數(shù)解析：對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)m＝0時(shí)，即?m∈R，f(x)＝x2＋mx＝x2是偶函數(shù)．故A正確．答案：A2．下列命題的否定是真命題的是()A．在△ABC中，存在A>B，使sinA>sinBB．空間中隨意兩條沒有公共點(diǎn)的直線都平行C．隨意兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)角都相等D．存在x0，y0∈R，xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－4x0＋6y0＝0解析：A是真命題，其否定是假命題；B是假命題，其否定是真命題；C是真命題，其否定是假命題；D是真命題，其否定是假命題，故選B.答案：B3．下列命題中全稱命題是________；特稱命題是________．①正方形的四條邊相等；②有兩個(gè)角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)．解析：①③是全稱命題，②④是特稱命題．答案：①③②④4．四個(gè)命題：①隨意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④隨意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命題的個(gè)數(shù)為________．解析：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴當(dāng)x>2或x<1時(shí)，x2－3x＋2>0才成立，∴①為假命題．當(dāng)且僅當(dāng)x＝±eq\r(2)時(shí)，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②為假命題，對(duì)隨意x∈R，x2＋1≠0，∴③為假命題，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即當(dāng)x＝1時(shí)，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④為假命題．∴①②③④均為假命題．答案：05．寫出下列命題的否定，并推斷其真假．(1)不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2＋x－m＝0必有實(shí)數(shù)根．(2)存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2＋x＋2≤0.(3)等圓的面積相等，周長(zhǎng)相等．(4)對(duì)隨意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解析：(1)這一命題可以表述為：“對(duì)全部的實(shí)數(shù)m，方程x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根”，其否定形式是：“存在實(shí)數(shù)m，使得x2＋x－m＝0沒有實(shí)數(shù)根”，留意到當(dāng)Δ＝1＋4m＜0，即m＜－eq\f(1,4)時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，所以其否定形式是真命題；(2)這一命題的否定形式是：對(duì)全部實(shí)數(shù)x，都有x2＋x＋2＞0，利用配方法可以證得原命題的否定是一個(gè)真命題；(3)這一命題的否定形式是：“存在一對(duì)等圓，其面積不相等或周長(zhǎng)不相等”，由平面幾何學(xué)問知原命題的否定是一個(gè)假命題；(4)這一命題的否定形式是：存在α∈R，有sin2α＋cos2α≠1，由于原命題是真命題，所以原命題的否定是假命題．6．已知f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx.若同時(shí)滿意：①命題“對(duì)隨意x∈R，f(x)>0和g(x)>0中至少有一個(gè)成立”為真命題；②命題“對(duì)隨意x∈(－∞，－4)，都有f(x)g(x)≥0”的否定為真命題．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解析：“對(duì)隨意x∈R，f(x)>0和g(x)>0至少有一個(gè)成立”為真命題．當(dāng)m≤0時(shí)，明顯不合題意；當(dāng)m>0時(shí)，因?yàn)閒(0)＝1>0，f(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x＝eq\f(4－m,2m)，若eq\f(4－m,2m)≥0，即0<m≤4，結(jié)論明顯成立；若eq\f(4－m,2m)<0，即m>4，只要方程2mx2－2(4－m)x＋1＝0的