2024-2025學年高中數(shù)學第一章預備知識3不等式1.3.2基本不等式導學案北師大版必修第一冊

第一章預備學問第三章不等式3.2基本不等式導學案1．通過兩個探究實例，引導學生基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會數(shù)形結(jié)合的思想；借助基本不等式解決簡潔的最值問題，1.兩個非負實數(shù)的算術(shù)平均值________它們的幾何平均值2.若a≥0,b≥0,取，則：當且僅當a=b時，等號成立這個不等式稱為__________3.當x,y均為正數(shù)時,下面的命題均成立：若x+y=s（s為定值）則當且僅當x=y時,xy取得最大值________（2） 若xy=p(p為定值）則當且僅當x=y時,x+y取得最小值_____1.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法探討代數(shù)問題）成為了后世數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)．通過這一原理，許多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．如圖所示的圖形，在AB上取一點C，使得AC＝a，BC＝b，過點C作CD⊥AB交圓周于D，連接OD．作CE⊥OD交OD于E．由CD≥DE可以證明的不等式為（）A．≥（a＞0，b＞0） B．（a＞0，b＞0） C．≥（a＞0，b＞0） D．a(chǎn)2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）2．若a，b＞0，ab+2a+b＝4，則a+b的最小值為（）A．2 B．﹣1 C．2﹣2 D．2﹣33．若矩形ABCD的周長1為定值，則該矩形的面積的最大值是（）A． B． C． D．4．已知m＞0，xy＞0，當x+y＝2時，不等式≥4恒成立，則m的取值范圍是（）A．[，+∞） B．[2，+∞） C．（0，] D．（，2]1．下列命題中正確的是（）A．若a，b∈R，則 B．若x＞0，則 C．若x＜0，則 D．若x∈R，則2．下列函數(shù)中，最小值是2的是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝7x+7﹣x D．y＝x2（x＞0）3．函數(shù)的最小值為（）A．6 B．7 C．8 D．94．已知實數(shù)a，b∈R+，且a+b＝2，則的最小值為（）A．9 B． C．5 D．45．已知x＞0，則y＝x+的最小值為（）A．4 B．16 C．8 D．106．若正數(shù)a，b滿意＝，則當ab取最小值時，b的值為（）A． B． C． D．7．已知x，y＞0，，則x+2y的最小值為（）A．9 B．12 C．15 D．8．已知正實數(shù)滿意a+2b＝1，則+最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．119．（1）設0＜x＜，求函數(shù)y＝x（3﹣2x）的最大值；（2）解關于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0．10．如圖，要設計一張矩形廣告牌，該廣告牌含有大小相等的左右兩個矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為45m2，四周空白的寬度為0.5m，兩欄之間的中縫空白的寬度為0.25m，設廣告牌的高為xm．（1）求廣告牌的面積關于x的函數(shù)S（x）；（2）求廣告牌的面積的最小值．【答案】：【實踐探討】1.【解析】解：由射影定理可知CD2＝DE?OD，即DE＝＝，由DC≥DE得≥，故選：A．2．【解析】解：∵a，b＝R*，ab+2a+b＝4，∴b（a+1）＝4﹣2a，∴b＝＝﹣＝﹣＝﹣2+，∴a+b＝a﹣2+＝a+1+﹣3∵a＞0，b＞0，∴a+b≥2＝2，當且僅當a+1＝即a＝時″＝″，故選：D．3．【解析】解：設矩形ABCD的長為x，寬為y，則其周長1＝2x+2y為定值，即x+y＝；所以該矩形的面積為S＝xy≤＝＝＝，當且僅當x＝y(tǒng)＝時S取得最大值是．故選：C．4【解答】解：∵m＞0，xy＞0，x+y＝2，∴＝＝≥＝，∵不等式≥4恒成立，∴≥4，整理得，解得，即m≥2，∴m的取值范圍為[2，+∞）．故選：B．【課后鞏固】1.D2.C3.C4.B5.C6.A7.D8.B9【解析】解：（1）設0＜x＜，∵函數(shù)y＝x（3﹣2x）＝﹣2，故當x＝時，函數(shù)取得最大值為．（2）關于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0．當a＝1時，不等式即（x﹣1）2＜0，不等式無解；當a＞1時，不等式的解集為{x|1＜x＜a}；當a＜1時，不等式的解集為{x|a＜x＜1}．綜上可得，當a＝1時，不等式的解集為?，當a＞1時，不等式的解集為{x|1＜x＜a}，當a＜1時，不等式的解集為{x|a＜x＜1}．10．【解析】解：（1）依題意廣告牌的高為tm，則（x﹣1）（t﹣1.25）＝45，所以，且x＞1，所以廣告牌的面