2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)備考訓(xùn)練12概率與統(tǒng)計-大題備考含解析

PAGE備考訓(xùn)練12概率與統(tǒng)計——大題備考1．某市司法局與公安局兩個單位聯(lián)合實行法律學(xué)問競賽，每個單位各選三名成員，分別組成紅隊與藍隊，競賽中每人隨機在題庫中抽取一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯或不答都得0分，已知兩隊隊員訓(xùn)練狀況如表所示．設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用X表示紅隊的總得分．紅隊隊員1號2號3號練習(xí)題目個數(shù)200200200正確個數(shù)160120100藍隊隊員1號2號3號練習(xí)題目個數(shù)200200200正確個數(shù)120120120(1)不妨以頻率作為概率，求E(X)；(2)在第(1)問的基礎(chǔ)上，若紅隊與藍隊得分之和不低于5分，則兩隊就能夠獲得“團隊合作獎”，估計他們獲得該獎的概率．2．[2024·山東省試驗中學(xué)、淄博試驗中學(xué)、煙臺一中、萊蕪一中聯(lián)考]隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)購已漸漸融入了人們的生活．網(wǎng)購是特別便利的購物方式，為了了解網(wǎng)購在某市的普及狀況，某調(diào)查機構(gòu)進行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查，并從參加調(diào)查的市民中隨機抽取了男、女各100人進行分析，得到如下所示的統(tǒng)計表．常常網(wǎng)購間或網(wǎng)購或不網(wǎng)購合計男性50100女性70100合計(1)完成上表，并依據(jù)以上數(shù)據(jù)推斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該市市民的網(wǎng)購狀況與性別有關(guān)．(2)①現(xiàn)從所抽取的100位女性市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人贈送實惠券，求選取的3人中至少有2人常常網(wǎng)購的概率；②將頻率視為概率，從該市全部參加調(diào)查的市民中隨機抽取10人贈送禮品，記其中常常網(wǎng)購的人數(shù)為X，求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8283．[2024·山東德州質(zhì)量檢測]某公司為了了解年研發(fā)資金投入量x(單位：億元)對年銷售額y(單位：億元)的影響．對公司近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，進行了對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α、β、λ、t均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．并得到一些統(tǒng)計量的值．令ui＝xeq\o\al(2,i)，vi＝lnyi(i＝1,2，…，12)，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2eq\o(u,\s\up6(－))eq\o(v,\s\up6(－))20667724604.20eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(ui－eq\o(u,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\i\su(i＝1,12,)(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))2eq\i\su(i＝1,12,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(vi－eq\o(v,\s\up6(－)))312502153.0814(1)請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？(2)①依據(jù)(1)的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回來方程；②若下一年銷售額y需達到90億元，預(yù)料下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元？附：①相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；②參考數(shù)據(jù)：308＝4×77，eq\r(90)≈9.4868，e4.4998≈90.4．[2024·山東棗莊質(zhì)量檢測]2024年11月河南省三門峽市勝利入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商主動打算投入到“魅力城市”的建設(shè)之中．某投資公司打算在2024年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個項目中的一個之中．項目一：天坑院是黃土高原地域獨具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演化的實物見證．現(xiàn)打算投資建設(shè)20個天坑院，每個天坑院投資0.2百萬元，假設(shè)每個天坑院是否盈利是相互獨立的，據(jù)市場調(diào)研，到2024年底每個天坑院盈利的概率為p(0<p<1)，若盈利則盈利投資額的40%，否則盈利額為0.項目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū)．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到2024年底可能盈利投資額的50%，也可能虧損投資額的30%，且這兩種狀況發(fā)生的概率分別為p和1－p.(1)若投資項目一，記X1為盈利的天坑院的個數(shù)，求E(X1)(用p表示)；(2)若投資項目二，記投資項目二的盈利為X2百萬元，求E(X2)(用p表示)；(3)在(1)(2)兩個條件下，針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個項目，并說明理由．5．[2024·山東淄博模擬]近年來，國資委、黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅決實行中心扶貧工作重大決策部署，在各個貧困縣全力推動定點扶貧各項工作，取得了主動成效，某貧困縣為了響應(yīng)國家精準扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的運用面積以及相應(yīng)的管理時間的關(guān)系如下表所示：土地運用面積x(單位：畝)12345管理時間y(單位：月)810132524并調(diào)查了某村300名村民參加管理的意愿，得到的部分數(shù)據(jù)如下表所示：情愿參加管理不情愿參加管理男性村民15050女性村民50(1)求出相關(guān)系數(shù)r的大小，并推斷管理時間y與土地運用面積x是否線性相關(guān)？(2)是否有99.9%的把握認為村民的性別與參加管理的意愿具有相關(guān)性？(3)若以該村的村民的性別與參加管理意愿的狀況估計貧困縣的狀況，則從該貧困縣中任取3人，記取到不情愿參加管理的男性村民的人數(shù)為x，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，k2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.臨界值表：P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828參考數(shù)據(jù)：eq\r(635)≈25.26．[2024·山東臨沂模擬]在某大型公司的贊助下，某高校就業(yè)部從該高校2025屆已就業(yè)的A，B兩個專業(yè)的高校本科畢業(yè)生中隨機抽取了200人進行月薪狀況的問卷調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)覺，他們的月薪收入在3000元到9000元之間，詳細統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月薪/百元[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)人數(shù)203644504010將月薪不低于7000元的畢業(yè)生視為“高薪收入群體”，月薪低于7000元的畢業(yè)生視為“非高薪收入群體”，并將頻率視為概率，已知該校2025屆高校本科畢業(yè)生李陽參加了本次調(diào)查問卷，其月薪為3500元．(1)請依據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并通過計算推斷，能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“高薪收入群體”與所學(xué)專業(yè)有關(guān)．非高薪收入群體高薪收入群體合計A專業(yè)B專業(yè)20110合計(2)經(jīng)統(tǒng)計發(fā)覺，該高校2025屆的高校本科畢業(yè)生月薪X(單位：百元)近似地聽從正態(tài)分布N(μ，190)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值作代表)．若X落在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)外的左側(cè)，則可認為該本科畢業(yè)生屬于“就業(yè)不志向”的學(xué)生，學(xué)校將聯(lián)系本人，詢問月薪過低的緣由，為以后的畢業(yè)生就業(yè)供應(yīng)更好的指導(dǎo)．①試推斷李陽是否屬于“就業(yè)不志向”的學(xué)生；②該大型公司為這次參加調(diào)查的高校本科畢業(yè)生制定了贈送話費的活動，贈送方式為：月薪低于μ的獲贈兩次隨機話費；月薪不低于μ的獲贈一次隨機話費．每次贈送的話費Z及對應(yīng)的概率如下：贈送話費Z/元60120180概率eq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)求李陽獲得的話費總金額的數(shù)學(xué)期望．附：P(K2≥k0)0.0250.0100.005k05.0246.6357.879K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，eq\r(190)≈14.備考訓(xùn)練12概率與統(tǒng)計——大題備考1．解析：(1)由題中表格可得紅隊三名隊員答對題的概率分別為eq\f(4,5)，eq\f(3,5)，eq\f(1,2)，X的全部可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,25)，P(X＝1)＝eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(13,50)；P(X＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＋eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(23,50)；P(X＝3)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(6,25).∴X的分布列為X0123Peq\f(1,25)eq\f(13,50)eq\f(23,50)eq\f(6,25)則E(X)＝0×eq\f(1,25)＋1×eq\f(13,50)＋2×eq\f(23,50)＋3×eq\f(6,25)＝eq\f(19,10).(2)易知藍隊三名隊員答對題的概率都為eq\f(3,5)，兩隊要想獲得該獎，則得分之和為5分或6分，得分為6分的概率為eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(162,3125)，得分為5分的概率為eq\f(1,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＋eq\f(4,5)×eq\f(2,5)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＋eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＋eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(1,2)×Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\f(2,5)＝eq\f(1269,6250)，∴獲得該獎的概率P＝eq\f(162,3125)＋eq\f(1269,6250)＝eq\f(1593,6250).故兩隊能獲得“團隊合作獎”的概率為eq\f(1593,6250).2．解析：(1)完成列聯(lián)表如下所示．常常網(wǎng)購間或網(wǎng)購或不網(wǎng)購合計男性5050100女性7030100合計12080200由列聯(lián)表，得K2＝eq\f(200×50×30－50×702,120×80×100×100)＝eq\f(25,3)≈8.333>6.635，∴能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為該市市民的網(wǎng)購狀況與性別有關(guān)．(2)①由題意知所抽取的10位女性市民中，常常網(wǎng)購的有10×eq\f(70,100)＝7(人)，間或網(wǎng)購或不網(wǎng)購的有10×eq\f(30,100)＝3(人)，∴選取的3人中至少有2人常常網(wǎng)購的概率P＝eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(1,3)＋C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).②由2×2列聯(lián)表可知，抽到常常網(wǎng)購的市民的頻率為eq\f(120,200)＝0.6，將頻率視為概率∴從該市全部參加調(diào)查的市民中隨意抽取一人，抽到常常網(wǎng)購的市民的概率為0.6，∴由題意知X～B(10,0.6)∴隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝10×0.6＝6，方差D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.3．解析：(1)設(shè){ui}和{yi}的相關(guān)系數(shù)為r1，{xi}和{vi}的相關(guān)系數(shù)為r2，由題意，r1＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)ui－\o(u,\s\up12(－))yi－\o(y,\s\up12(－)),\r(\i\su(i＝1,12,)ui－\o(u,\s\up12(－))2\i\su(i＝1,12,)yi－\o(y,\s\up12(－))2))＝eq\f(215,\r(31250×2))＝eq\f(43,50)＝0.86，r2＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up12(－))vi－\o(v,\s\up12(－)),\r(\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up12(－))2\i\su(i＝1,12,)vi－\o(v,\s\up12(－))2))＝eq\f(14,\r(77×3.08))＝eq\f(10,11)≈0.91，則|r1|<|r2|，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型y＝eλx＋t的擬合程度更好；(2)①先建立v關(guān)于x的線性回來方程，由y＝eλx＋t，得lny＝t＋λx，即v＝t＋λx；由于λ＝eq\f(\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up12(－))vi－\o(v,\s\up12(－)),\i\su(i＝1,12,)xi－\o(x,\s\up12(－))2)＝eq\f(2,11)≈0.182，t＝eq\o(v,\s\up12(－))－λeq\o(x,\s\up12(－))＝4.20－eq\f(2,11)×20≈0.56，所以v關(guān)于x的線性回來方程為eq\o(v,\s\up12(^))＝0.18x＋0.56，所以lneq\o(y,\s\up12(^))＝0.18x＋0.56，則eq\o(y,\s\up12(^))＝e0.18x＋0.56；②下一年銷售額y需達到90億元，即y＝90，代入eq\o(y,\s\up12(^))＝e0.18x＋0.56，得90＝e0.18x＋0.56，又e4.4998≈90，所以4.4998≈0.18x＋0.56，所以x≈eq\f(4.4998－0.56,0.18)≈21.89，所以預(yù)料下一年的研發(fā)資金投入量約是21.89億元．4．解析：(1)由題意X1～B(20，p)則盈利的天坑院數(shù)的均值E(X1)＝20p.(2)若投資項目二，則X2的分布列為X22－1.2Pp1－p盈利的均值E(X2)＝2p－1.2(1－p)＝3.2p－1.2.(3)若盈利，則每個天坑院盈利0.2×40%＝0.08(百萬元)，所以投資建設(shè)20個天坑院，盈利的均值為E(0.08X1)＝0.08E(X1)＝0.08×20p＝1.6p(百萬元)．D(0.08X1)＝0.082D(X1)＝0.082×20p(1－p)＝0.128p(1－p)D(X2)＝(2－3.2p＋1.2)2p＋(－1.2－3.2p＋1.2)2(1－p)＝10.24p(1－p)①當E(0.08X1)＝E(X2)時，1.6p＝3.2p－1.2，解得p＝eq\f(3,4).D(0.08X1)<D(X2)．故選擇項目一．②當E(0.08X1)>E(X2)時，1.6p>3.2p－1.2，解得0<p<eq\f(3,4).此時選擇項目一．③當E(0.08X1)<E(X2)時，1.6p<3.2p－1.2，解得p>eq\f(3,4).此時選擇項目二．5．解析：(1)依題意：eq\o(x,\s\up12(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\o(y,\s\up12(－))＝eq\f(8＋10＋13＋25＋24,5)＝16故eq\i\su(i＝1,5,)(x－eq\o(x,\s\up12(－)))(y－eq\o(y,\s\up12(－)))＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47eq\i\su(i＝1,5,)(x－eq\o(x,\s\up12(－)))2＝4＋1＋1＋4＝10，eq\i\su(i＝1,5,)(y－eq\o(y,\s\up12(－)))2＝64＋36＋9＋81＋64＝254.則r＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up12(－))yi－\o(y,\s\up12(－)),\r(\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up12(－))2)\r(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up12(－))2))＝eq\f(47,\r(10)×\r(254))＝eq\f(47,2\r(635))≈0.933，故管理時間y與土地運用面積x線性相關(guān)．(2)依題意，完善表格如下：情愿參加管理不情愿參加管理總計男性村民15050200女性村民5050100總計200100300計算得k2的觀測值為k2＝eq\f(300×150×50－50×502,200×100×200×100)＝eq\f(300×5000×5000,200×100×200×100)＝18.75>10.828故有99.9%的把握認為村民的性別與參加管理的意愿具有相關(guān)性．(3)依題意，x的可能取值為0,1,2,3，從該貧困縣中隨機抽取一名，則取到不情愿參加管理的男性村民的概率為eq\f(1,6)，故P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))3＝eq\f(125,216)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))2×eq\f(1,6)＝eq\f(25,72)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\f(5,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2＝eq\f(5,72)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))3＝eq\f(1,216)故x的分布列為X0123Peq\f(125,216)eq\f(25,72)eq\f(5,72)eq\f(1,216)則數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×eq\f(125,216)＋1×eq\f(25,72)＋2×eq\f(5,72)＋3×eq\f(1,216)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或由X～B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,6)))，得EX＝3×\f(1,6)＝\f(1,2))).6．解析：(1)2×2列聯(lián)表如下：非高薪收入群體高薪收入群體合計A專業(yè)603090B專業(yè)9020110合計