江蘇省常州市溧陽(yáng)市2025屆數(shù)學(xué)高一上期末檢測(cè)模擬試題含解析

江蘇省常州市溧陽(yáng)市2025屆數(shù)學(xué)高一上期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．冪函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為A.或2 B.C. D.2．函數(shù)的最小值為（）A. B.C.0 D.3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.4．半徑為1cm，圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為（）A. B.C. D.5．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.6．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，，則（）A.的最大值為 B.在區(qū)間上只有個(gè)零點(diǎn)C.的最小正周期為 D.為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸8．已知直線(xiàn)，若，則的值為（）A.8 B.2C. D.-29．已知向量，向量，則的最大值，最小值分別是（）A.，0 B.4，C.16，0 D.4，010．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休．”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們要學(xué)會(huì)以形助數(shù)．則在同一直角坐標(biāo)系中，與的圖像可能是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)（且），若對(duì)，，都有．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________12．以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國(guó)機(jī)械工程專(zhuān)家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機(jī)等都有應(yīng)用勒洛三角形.如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長(zhǎng)度為，則該勒洛三角形的面積是___________.13．已知，若方程恰有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解、、、，且，則______14．已知，則的值為_(kāi)__________.15．已知，，則________.（用m，n表示）16．扇形半徑為，圓心角為60°，則扇形的弧長(zhǎng)是____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知直線(xiàn)l與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面積為6（Ⅰ）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（3，1），求原點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（Ⅱ）是否存在直線(xiàn)l同時(shí)滿(mǎn)足點(diǎn)（1，1）到直線(xiàn)l的距離為1，若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由18．已知函數(shù)f（x）=2sin2（x+）-2cos（x-）-5a+2（1）設(shè)t=sinx+cosx，將函數(shù)f（x）表示為關(guān)于t的函數(shù)g（t），求g（t）的解析式；（2）對(duì)任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范圍19．已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，且.（1）求，的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明.20．已知（）.（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集；（2）若f（x）是偶函數(shù)，求k的值；（3）在（2）條件下，設(shè)，若函數(shù)與的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍21．（Ⅰ）設(shè)x，y，z都大于1，w是一個(gè)正數(shù)，且有l(wèi)ogxw=24，logyw=40，logxyzw=12，求logzw（Ⅱ）已知直線(xiàn)l夾在兩條直線(xiàn)l1：x-3y+10=0和l2：2x+y-8=0之間的線(xiàn)段中點(diǎn)為P（0，1），求直線(xiàn)l的方程

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】∵為冪函數(shù)，∴，即．解得：或．當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為常數(shù)函數(shù)（舍去），∴使冪函數(shù)為上的減函數(shù)的實(shí)數(shù)的值．故選C.考點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì).2、C【解析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得出函數(shù)在時(shí)取得最小值【詳解】，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，因此當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，而時(shí)，，所以時(shí)，故選：C3、D【解析】依次判斷4個(gè)選項(xiàng)的單調(diào)性及奇偶性即可.【詳解】對(duì)于A，在區(qū)間上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，由得，單調(diào)遞增，錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，錯(cuò)誤；對(duì)于D，為偶函數(shù)，且在時(shí)，單調(diào)遞減，正確.故選：D.4、D【解析】利用扇形弧長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可.【詳解】圓心角化為弧度為，則弧長(zhǎng)為.故選：D.5、D【解析】與中間值1和2比較．【詳解】，，，所以故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查冪與對(duì)數(shù)的大小比較，在比較對(duì)數(shù)和冪的大小時(shí)，能化為同底數(shù)的化為同底數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較，否則可借助中間值比較，如0，1，2等等．6、C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋钥梢匀〉剿蟹秦?fù)數(shù)，即的最小值非正.【詳解】因?yàn)?，且的值域?yàn)?，所以，解?故選：C.7、D【解析】首先利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：函數(shù)，可得的最大值為2，最小正周期為，故A、C錯(cuò)誤；由可得，即，可知在區(qū)間上的零點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；由，可知為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故D正確故選：D8、D【解析】根據(jù)兩條直線(xiàn)垂直，列方程求解即可.【詳解】由題：直線(xiàn)相互垂直，所以，解得：.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)兩條直線(xiàn)垂直，求參數(shù)的取值，關(guān)鍵在于熟練掌握垂直關(guān)系的表達(dá)方式，列方程求解.9、D【解析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到|2用θ的三角函數(shù)表示化簡(jiǎn)求最值【詳解】解：向量，向量，則2（2cosθ，2sinθ+1），所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），所以|22的最大值，最小值分別是：16，0；所以|2的最大值，最小值分別是4，0；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角函數(shù)解析式的化簡(jiǎn)；利用了兩角差的正弦公式以及正弦函數(shù)的有界性10、B【解析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像即可.【詳解】是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，：-x>0，則x<0.結(jié)合選項(xiàng)只有B符合故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由條件可知函數(shù)是增函數(shù)，可得分段函數(shù)兩段都是增函數(shù)，且時(shí)，滿(mǎn)足，由不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)，且都有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，解得.故答案為：12、【解析】計(jì)算出一個(gè)弓形的面積，由題意可知，勒洛三角形由三個(gè)全等的弓形以及一個(gè)正三角形構(gòu)成，利用弓形和正三角形的面積可求得結(jié)果.【詳解】由弧長(zhǎng)公式可得，可得，所以，由和線(xiàn)段所圍成的弓形的面積為，而勒洛三角形由三個(gè)全等的弓形以及一個(gè)正三角形構(gòu)成，因此，該勒洛三角形的面積為.故答案為：.13、【解析】作出函數(shù)的圖象以及直線(xiàn)的圖象，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算可求得的值，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可求得的值，即可得解.【詳解】作出函數(shù)的圖象以及直線(xiàn)的圖象如下圖所示：由圖可知，由可得，即，所以，，可得，當(dāng)時(shí)，，由，可得，由圖可知，點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則，因此，.故答案為：.14、##【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合二倍角的正切公式計(jì)算作答.【詳解】因，則，所以的值為.故答案為：15、【解析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，可?故答案為：16、【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可.【詳解】解：扇形半徑為，圓心角為60°，所以，圓心角對(duì)應(yīng)弧度為.所以扇形的弧長(zhǎng)為.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）（，）（Ⅱ）直線(xiàn)l的方程為4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0【解析】（I）設(shè)A（a，0），B（0，b），則ab=6，即ab=12，（a，b＞0）．直線(xiàn)l的方程為：，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（3，1），代入可得．與ab=12聯(lián)立解得：a，b．即可得出直線(xiàn)l的方程．設(shè)原點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系即可得出（Ⅱ）假設(shè)存在直線(xiàn)l同時(shí)滿(mǎn)足點(diǎn)（1，1）到直線(xiàn)l的距離為1，可得，與ab=12聯(lián)立解得a，b即可得出【詳解】（I）設(shè)A（a，0），B（0，b），則ab=6，即ab=12，（a，b＞0）直線(xiàn)l的方程為：=1，∵直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（3，1），∴=1與ab=12聯(lián)立解得：a=6，b=2∴直線(xiàn)l的方程為：=1化為：x+3y-6=0設(shè)原點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則×=-1，-6=0，化為：m+3n-12=0聯(lián)立解得m=，n=∴原點(diǎn)O關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）（Ⅱ）假設(shè)存在直線(xiàn)l同時(shí)滿(mǎn)足點(diǎn)（1，1）到直線(xiàn)l的距離為1，則=1，與ab=12聯(lián)立解得：，或可得：直線(xiàn)l的方程，4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、截距式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題18、（1），；（2）【解析】：（1）首先由兩角和的正弦公式可得，進(jìn)而即可求出的取值范圍；接下來(lái)對(duì)已知的函數(shù)利用進(jìn)行表示；對(duì)于（2），首先由的取值范圍，求出的取值范圍，再對(duì)已知進(jìn)行恒等變形可得在區(qū)間上恒成立，據(jù)此即可得到關(guān)于的不等式，解不等式即可求出的取值范圍.試題解析：（1），因?yàn)?，所以，其中，即?（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，從而，要使不等式在區(qū)間上恒成立，只要，解得：.點(diǎn)晴:本題考查是求函數(shù)的解析式及不等式恒成立問(wèn)題.（1）首先，可求出的取值范圍；接下來(lái)對(duì)已知的函數(shù)利用進(jìn)行表示;(2)先求二次函數(shù)，再解不等式.19、（1），；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)已知條件，為奇函數(shù)，利用可以求解出參數(shù)b，然后帶入到即可求解出參數(shù)a，得到函數(shù)解析式后再去驗(yàn)證函數(shù)是否滿(mǎn)足在上的奇函數(shù)即可；（2）由第（1）問(wèn)求解出的函數(shù)解析式，任取，，做差，通過(guò)因式分解判斷差值的符號(hào)，即可證得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由已知條件，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，所以，所以，檢驗(yàn)，為奇函數(shù)，滿(mǎn)足題意條件；所以，.小問(wèn)2詳解】在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，，；其中，，所以，故在上單調(diào)遞增.20、（1）（2）1（3）【解析】（1）根據(jù)條件列指數(shù)不等式，直接求解即可；（2）利用偶函數(shù)定義列直接求解即可；（3）根據(jù)題意列方程，令，得到方程，構(gòu)造，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)討論方程的根即可.【詳解】（1）因?yàn)樗栽坏仁降慕饧癁椋?）因?yàn)榈亩x域?yàn)榍覟榕己瘮?shù)，所以即所以.經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意.（3）有（2）可得因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象有公共點(diǎn)所以方程有根即有根令且（）方程可化為（*）令恒過(guò)定點(diǎn)①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，（*）在上有根（舍）；②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，（*）在上有根因?yàn)椋瑒t（*）方程在上必有一根故成立；③當(dāng)時(shí)，（*）在上有根則有④當(dāng)時(shí)，（*）在上有根則有綜上可得：的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了函數(shù)方程的求解及二次函數(shù)根的分布，用到了換元和分類(lèi)討論的思想，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題.21、（Ⅰ）60；（Ⅱ）x+4y-4=0【解析】（Ⅰ）logxw=24，logyw=40，logxyzw=12，將對(duì)數(shù)式改寫(xiě)指數(shù)式，得到.進(jìn)而得出．問(wèn)題得解（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與的交點(diǎn)分別為，.可得，由的中點(diǎn)為，可得，.將，代入即可求解【詳解】（Ⅰ）∵logxw=24，logyw=40，logxyzw=12，將對(duì)數(shù)式