湖北省黃石市大冶一中2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試試題含解析

湖北省黃石市大冶一中2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中，點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．2．已知集合，定義集合，則等于（）A． B．C． D．3．復(fù)數(shù)的虛部是()A． B． C． D．4．定義在上的偶函數(shù)，對(duì)，，且，有成立，已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則（）A． B．2 C． D．6．己知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）A． B．C． D．7．在聲學(xué)中，聲強(qiáng)級(jí)（單位：）由公式給出，其中為聲強(qiáng)（單位：）.，，那么（）A． B． C． D．8．記遞增數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，且對(duì)中的任意兩項(xiàng)與（），其和，或其積，或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，則（）A． B．C． D．9．已知函數(shù)，若所有點(diǎn)，所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為，則（）A． B． C．1 D．10．函數(shù)f(x)=2x-3A．[32C．[3211．如果直線與圓相交，則點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)M在圓C上 B．點(diǎn)M在圓C外C．點(diǎn)M在圓C內(nèi) D．上述三種情況都有可能12．雙曲線的一條漸近線方程為，那么它的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．袋中裝有兩個(gè)紅球、三個(gè)白球，四個(gè)黃球，從中任取四個(gè)球，則其中三種顏色的球均有的概率為________.14．已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為_____．15．若為假，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.16．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（，）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)P，Q.若為直角三角形，則該雙曲線的離心率是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，且）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，18．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若，角為鈍角，（1）求的值；（2）求邊的長(zhǎng).19．（12分）對(duì)于非負(fù)整數(shù)集合（非空），若對(duì)任意，或者，或者，則稱為一個(gè)好集合．以下記為的元素個(gè)數(shù)．（1）給出所有的元素均小于的好集合．（給出結(jié)論即可）（2）求出所有滿足的好集合．（同時(shí)說(shuō)明理由）（3）若好集合滿足，求證：中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍．20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，取相同長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）設(shè)射線與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點(diǎn)，是上的點(diǎn).（1）若平面，證明：平面.（2）求二面角的余弦值.22．（10分）傳染病的流行必須具備的三個(gè)基本環(huán)節(jié)是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個(gè)環(huán)節(jié)必須同時(shí)存在，方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區(qū)居民的防控意識(shí)和防控情況，用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個(gè)容量為100的樣本，統(tǒng)計(jì)樣本中每個(gè)人出行是否會(huì)佩戴口罩的情況，得到下面列聯(lián)表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握認(rèn)為是否會(huì)佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機(jī)抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)平面向量基本定理，用來(lái)表示，然后利用數(shù)量積公式，簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，所以又所以則故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式，掌握公式，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)定義，求出，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)榧?，所以，則，所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的新定義運(yùn)算，理解新定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】因?yàn)?，所以的虛部是，故選C.4、A【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對(duì)，，且，有在上遞增因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因?yàn)?，，所以故選：A【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用，基礎(chǔ)題.5、C【解析】

把代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由實(shí)部為0且虛部不為0求解即可．【詳解】∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，解得．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．6、A【解析】

根據(jù)平面平面，四邊形為等腰梯形，則球心在過(guò)的中點(diǎn)的面的垂線上，又是等邊三角形，所以球心也在過(guò)的外心面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示：取的中點(diǎn)，則是等腰梯形外接圓的圓心，取是的外心，作平面平面，則是四棱錐的外接球球心，且，設(shè)四棱錐的外接球半徑為，則，而，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.7、D【解析】

由得，分別算出和的值，從而得到的值.【詳解】∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由題意可得，從而得到，再由就可以得出其它各項(xiàng)的值，進(jìn)而判斷出的范圍．【詳解】解：，或其積，或其商仍是該數(shù)列中的項(xiàng)，或者或者是該數(shù)列中的項(xiàng)，又?jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，，，，只有是該數(shù)列中的項(xiàng)，同理可以得到，，，也是該數(shù)列中的項(xiàng)，且有，，或（舍，，根據(jù)，，，同理易得，，，，，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用，以及運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．9、D【解析】

依題意，可得，在上單調(diào)遞增，于是可得在上的值域?yàn)?，繼而可得，解之即可.【詳解】解：，因?yàn)椋?，所以，在上單調(diào)遞增，則在上的值域?yàn)?，因?yàn)樗悬c(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域面積為，所以，解得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，理解題意，得到是關(guān)鍵，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．10、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b，則函數(shù)fgx11、B【解析】

根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交，圓心到直線的距離，即．也就是點(diǎn)到圓的圓心的距離大于半徑．即點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．12、D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，列出方程，求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，可得，∴，∴雙曲線的離心率.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有包含的基本事件個(gè)數(shù)m72，由此能求出其中三種顏色的球都有的概率．【詳解】解：袋中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球和4個(gè)黃球，從中任取4個(gè)球，基本事件總數(shù)n126，其中三種顏色的球都有，可能是2個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黃球或1個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黃球或1個(gè)紅球，1個(gè)白球和2個(gè)黃球，所以包含的基本事件個(gè)數(shù)m72，∴其中三種顏色的球都有的概率是p．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．14、2.【解析】

由雙曲線的一條漸近線為，解得．求出雙曲線的右焦點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．【詳解】雙曲線的一條漸近線為解得：雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)到這條漸近線的距離為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線和的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，涉及到點(diǎn)到直線距離公式的考查，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

由為假，可知為真，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求出的最小值，令即可.【詳解】因?yàn)闉榧伲瑒t其否定為真，即為真，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以.又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題間的關(guān)系的應(yīng)用，利用參變分離是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16、2【解析】

根據(jù)是等腰直角三角形，且為中點(diǎn)可得，再由雙曲線的性質(zhì)可得，解出即得.【詳解】由題，設(shè)點(diǎn)，由，解得，即線段，為直角三角形，，且，又為雙曲線右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，且軸，，可得，，整理得：，即，又，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)見(jiàn)證明【解析】

(1)由題意將遞推關(guān)系式整理為關(guān)于與的關(guān)系式，求得前n項(xiàng)和然后確定通項(xiàng)公式即可；(2)由題意結(jié)合通項(xiàng)公式的特征放縮之后裂項(xiàng)求和即可證得題中的不等式.【詳解】（1）由，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，所以【點(diǎn)睛】給出與的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.18、（1）（2）【解析】

（1）由，分別求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．【詳解】(1)因?yàn)榻菫殁g角，，所以，又，所以，且，所以.(2)因?yàn)椋?，所以，又，則，所以.19、（1），，，．（2）；證明見(jiàn)解析．（3）證明見(jiàn)解析．【解析】

（1）根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果；（2）設(shè)，其中，由知；由可知或，分別討論兩種情況可的結(jié)果；（3）記，則，設(shè)，由歸納推理可求得，從而得到，從而得到，可知存在元素滿足題意.【詳解】（1），，，．（2）設(shè)，其中，則由題意：，故，即，考慮，可知：，或，若，則考慮，，，則，，但此時(shí)，，不滿足題意；若，此時(shí)，滿足題意，，其中為相異正整數(shù)．（3）記，則，首先，，設(shè)，其中，分別考慮和其他任一元素，由題意可得：也在中，而，，，對(duì)于，考慮，，其和大于，故其差，特別的，，，由，且，，以此類推：，，此時(shí)，故中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍．【點(diǎn)睛】本題考查集合中的新定義問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求，根據(jù)集合元素的要求進(jìn)行推理說(shuō)明，對(duì)于學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力、邏輯推理能力有較高的要求，屬于較難題.20、（1）；（2）【解析】

曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．再用極直互化公式求解，曲線的極坐標(biāo)方程用極直互化公式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程．射線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出，射線與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)解求出，再用得解【詳解】解：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．把，代入得：曲線的極坐標(biāo)方程為．轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．設(shè)射線與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，所以，解得．與曲線交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)，所以，解得，所以【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程相互轉(zhuǎn)換及極坐標(biāo)下利用和的幾何意義求線段的長(zhǎng).（1）直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程只需將直角坐標(biāo)方程中的分別用，代替即可得到相應(yīng)極坐標(biāo)方程．參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程必須先化成直角坐標(biāo)方程再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.（2）直接求解，能達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的解題目的；如果幾何關(guān)系不容易通過(guò)極坐標(biāo)表示時(shí)，可以先化為直角坐標(biāo)方程，將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題加以解決.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）因?yàn)?，利用線面平行的判定定理可證出平面，利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系，得出和，由于底面，利用線面垂直的性質(zhì)，得出，且，最后結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面，即可證出平面.（2）由（1）可知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求出所需向量，分別求出平面和平面的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以可設(shè)平面平面，又因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槠矫妫矫妫?，從而?因?yàn)榈酌?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以平?綜上，平面.（2）解：由（1）可得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，則，，，，所以，，，.設(shè)是平面的法向量，由取取，得.設(shè)是平面的法向量，由得取，得，所以，即的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定和空間二面角的計(jì)算，還運(yùn)用線面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、點(diǎn)線面的位置關(guān)系、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算等，同時(shí)