江蘇省無錫市太湖高級(jí)中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

江蘇省無錫市太湖高級(jí)中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知的三個(gè)頂點(diǎn)、、及平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)與的關(guān)系是（）A.在的內(nèi)部 B.在的外部C.是邊上的一個(gè)三等分點(diǎn) D.是邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)2．已知是銳角，那么是A.第一象限角 B.第一象限角或第二象限角C.第二象限角 D.小于的正角3．設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（b為常數(shù)），則的值為（）A.﹣6 B.﹣4C.4 D.64．已知函數(shù)，則（）A.3 B.2C.1 D.05．平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系是A.平行 B.相交或異面C.平行或相交 D.平行、相交或異面6．定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，，，有，且，則不等式的解集為A. B.C. D.7．已知是第二象限角，，則（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)（，且）在上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是A. B.[，]C.[，]{} D.[，）{}9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）①②將的圖象向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象③的圖象關(guān)于直線對(duì)稱④若，則A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)10．已知直線l：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l的傾斜角是B.若直線m：，則C.點(diǎn)到直線l的距離是1D.過與直線l平行的直線方程是二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為__________12．已知關(guān)于x的不等式的解集為，則的解集為_________13．函數(shù)的定義域是__________，值域是__________.14．①函數(shù)y=sin2x的單調(diào)增區(qū)間是[]，（k∈Z）；②函數(shù)y=tanx在它的定義域內(nèi)是增函數(shù)；③函數(shù)y=|cos2x|的周期是π；④函數(shù)y=sin（）是偶函數(shù)；其中正確的是____________15．大圓周長為的球的表面積為____________16．寫出一個(gè)能說明“若函數(shù)為奇函數(shù)，則”是假命題的函數(shù)：_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知,當(dāng)時(shí)，.（1）若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為單位圓上一點(diǎn)，射線繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（1）求的表達(dá)式，并求（2）若，求的值19．已知集合，.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．已知，，求，實(shí)數(shù)a的取值范圍21．利用拉格朗日（法國數(shù)學(xué)家，1736-1813）插值公式，可以把二次函數(shù)表示成的形式.（1）若，，，，，把的二次項(xiàng)系數(shù)表示成關(guān)于f的函數(shù)，并求的值域（此處視e為給定的常數(shù)，答案用e表示）；（2）若，，，，求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】利用向量的運(yùn)算法則將等式變形，得到，據(jù)三點(diǎn)共線的充要條件得出結(jié)論【詳解】解：，，∴是邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)故選：D【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算法則及三點(diǎn)共線的充要條件，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】根據(jù)是銳角求出的取值范圍，進(jìn)而得出答案【詳解】因?yàn)槭卿J角，所以，故故選D.【點(diǎn)睛】本題考查象限角，屬于簡單題3、B【解析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，可得，求得，結(jié)合函數(shù)的解析式即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，解得所以.故選：B.4、B【解析】先求值，再計(jì)算即可.【詳解】，，故選：B點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】根據(jù)線面平行的位置關(guān)系及線線位置關(guān)系的分類及定義，可由已知兩直線平行于同一平面，得到兩直線的位置關(guān)系【詳解】解：若，且則與可能平行，也可能相交，也有可能異面故平行于同一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系是平行或相交或異面故選【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間線線關(guān)系及線面關(guān)系，熟練掌握空間線面平行的位置關(guān)系及線線關(guān)系的分類及定義是詳解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】根據(jù)對(duì)任意的，，，有，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的性質(zhì)，將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，數(shù)形結(jié)合求解即可詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，，當(dāng)，有,所以,當(dāng)函數(shù)為減函數(shù)，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，，，作出函數(shù)的圖象如圖：等價(jià)為或，由圖可知，或，即不等式的解集為，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，屬于難題.將奇偶性與單調(diào)性綜合考查一直是命題的熱點(diǎn)，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性判斷出函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性(偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相同)，然后再根據(jù)單調(diào)性列不等式求解.7、B【解析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿?，，且，所?故選：B.8、C【解析】由在上單調(diào)遞減可知，由方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，可知，，又時(shí)，拋物線與直線相切，也符合題意，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.【考點(diǎn)】函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解9、C【解析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，可判斷①，由點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得，可得函數(shù)的解析式,再根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可判斷②，將代入解析式中驗(yàn)證，可判斷③；根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷④，即可得到答案【詳解】由函數(shù)圖象可知：,函數(shù)的最小正周期為，故，將代入解析式中：，得：由于，故，故①錯(cuò)誤；由以上分析可知，將的圖象向右平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，故②正確；將代入得，故③錯(cuò)誤；由于函數(shù)的最小正周期為8，而,故不會(huì)出現(xiàn)一個(gè)取到最大或最小值另一個(gè)取到最小或最大的情況，故，故④正確，故選：C10、D【解析】根據(jù)直線的傾斜角、斜率、點(diǎn)到直線的距離公式、兩直線平行的條件逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可【詳解】∵：，即，∴直線的斜率，∴，則A錯(cuò)；又，則B錯(cuò)；點(diǎn)到直線的距離是，則C錯(cuò)；過與直線平行的直線方程是，即，則D對(duì)；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意求得所求直線的斜率為，結(jié)合點(diǎn)斜式可得所求直線的方程.【詳解】聯(lián)立方程組，得交點(diǎn)，因?yàn)樗笾本€垂直于直線，故所求直線的斜率，由點(diǎn)斜式得所求直線方程為，即.故答案為：.12、或【解析】由已知條件知，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得，代入化簡后求解，即可得出結(jié)論.【詳解】關(guān)于x的不等式的解集為，可得，方程的兩根為，∴,所以，代入得，，即，解得或.故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，以及解一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題.易錯(cuò)點(diǎn)是忽視對(duì)的符號(hào)的判斷.13、①.②.【解析】解不等式可得出原函數(shù)的定義域，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出原函數(shù)的值域.詳解】對(duì)于函數(shù)，有，即，解得，且.因此，函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?故答案為：；.14、①④【解析】①由，解得．可得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；②函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性；③由，即可得出函數(shù)的最小正周期；④利用誘導(dǎo)公式可得函數(shù)，即可得出奇偶性【詳解】解：①由，解得．可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，，，故①正確；②函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，故②不正確；③，因此函數(shù)的最小正周期是，故③不正確；④函數(shù)是偶函數(shù)，故④正確其中正確的是①④故答案為：①④【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】依題意可知，故求得表面積為.16、（答案不唯一）【解析】由題意，只需找一個(gè)奇函數(shù)，0不在定義域中即可.【詳解】由題意，為奇函數(shù)且，則滿足題意故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或.【解析】（1）由計(jì)算；（2）只有一個(gè)解，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)正根，分，和討論【詳解】（1）,當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的圖象過點(diǎn)，，解得，此時(shí)函數(shù).（2），∵函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，只有一個(gè)正解，∴當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)正根，若，解得，此時(shí)，滿足題意；若方程有兩個(gè)相異實(shí)根，則兩根之積為，此時(shí)方程有一個(gè)正根，符合題意；綜上，或.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的分布問題．解題時(shí)注意函數(shù)的定義域，在轉(zhuǎn)化時(shí)要正確確定方程根的范圍，對(duì)多項(xiàng)式方程，要按最高次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0進(jìn)行分類討論18、（1），（2）【解析】（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)可求得，再由三角函數(shù)的定義可求出，從而可求出的值，（2）由題意可得，則可求得，從而利用三角函數(shù)恒等變換公式可求得結(jié)果【小問1詳解】因?yàn)?，所以，由三角函?shù)定義，得所以【小問2詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋运?9、（1）（2）或【解析】（1）求出集合，再根據(jù)列方程求解即可；（2）根據(jù)分，討論求解.【小問1詳解】由已知得，解得；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，或，解得或，綜合得或.20、【解析】由題意利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，求出實(shí)數(shù)