2025屆吉林省百校聯(lián)盟高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

2025屆吉林省百校聯(lián)盟高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等腰或直角三角形 D．鈍角三角形2．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，連接與y軸交于點(diǎn)M，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．4．若為虛數(shù)單位，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是（）A．E B．F C．G D．H5．已知i是虛數(shù)單位，則1+iiA．-12+32i6．已知函數(shù)（，）的一個(gè)零點(diǎn)是，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線，則當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（） B．（）C．（） D．（）7．已知展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項(xiàng)相等，則項(xiàng)系數(shù)為（）A．10 B．32 C．40 D．808．下列命題是真命題的是（）A．若平面，，，滿足，，則；B．命題：，，則：，；C．“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件；D．命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”.9．如圖，平面四邊形中，，，，，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（，）C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg11．某四棱錐的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）A．8 B． C．4 D．12．對(duì)于函數(shù)，若滿足，則稱為函數(shù)的一對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”．若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線性對(duì)稱點(diǎn)”，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，若，則a的取值范圍是______．14．在中，，，，則________，的面積為________．15．如圖，在三棱錐A﹣BCD中，點(diǎn)E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD為正三角形，點(diǎn)M，N分別在AE，CD上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），且AM＝CN，則當(dāng)四面體C﹣EMN的體積取得最大值時(shí)，三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_____.16．如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個(gè)三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理，在線段之間有一觀察站點(diǎn)，到直線，的距離分別為8百米、1百米，則觀察點(diǎn)到點(diǎn)、距離之和的最小值為______________百米.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）己知，，.（1）求證：；（2）若，求證：.18．（12分）已知函數(shù)的最大值為，其中.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若求證:.19．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的值.20．（12分）已知雙曲線及直線.（1）若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若l與C交于A，B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)k的值.21．（12分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與左、右頂點(diǎn)重合），且的周長為6，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交于點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于另一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo).22．（10分）某市調(diào)硏機(jī)構(gòu)對(duì)該市工薪階層對(duì)“樓市限購令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了50名市民，他們?cè)率杖腩l數(shù)分布表和對(duì)“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：月收入（單位：百元）頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521（1）若所抽調(diào)的50名市民中，收入在的有15名，求，，的值，并完成頻率分布直方圖．（2）若從收入（單位：百元）在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．（3）從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民，恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，判斷這3名市民來自哪組的可能性最大？請(qǐng)直接寫出你的判斷結(jié)果．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由，化簡可得，最后分類討論可得；【詳解】解：因?yàn)樗运运运运援?dāng)時(shí)，為直角三角形；當(dāng)時(shí)即，為等腰三角形；的形狀是等腰三角形或直角三角形故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點(diǎn)，相應(yīng)坐標(biāo)代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值－5；經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值5，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

利用三角形與相似得，結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線方程?！驹斀狻吭O(shè)，，由，與相似，所以，即，又因?yàn)?，所以，，所以，即，，所以雙曲線C的漸近線方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。4、C【解析】

由于在復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，然后將代入化簡后可找到其對(duì)應(yīng)的點(diǎn).【詳解】由，所以，對(duì)應(yīng)點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)就關(guān)系，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可化簡得出結(jié)果【詳解】1+i故選D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。6、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，得出，再根據(jù)是對(duì)稱軸，得出，求出的最小值與對(duì)應(yīng)的，寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值為.因?yàn)椋裕ǎ?又，所以，所以，令（），則（）.因此，當(dāng)取得最小值時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是（）.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱點(diǎn)，在對(duì)稱軸處取得最值，對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.7、D【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng)，然后二項(xiàng)式系數(shù)和，可得，最后依據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為又展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為由所以當(dāng)時(shí)，所以項(xiàng)系數(shù)為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式，熟悉公式，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.8、D【解析】

根據(jù)面面關(guān)系判斷A；根據(jù)否定的定義判斷B；根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷C；根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面，，，滿足，，則可能相交，故A錯(cuò)誤；命題“：，”的否定為：，，故B錯(cuò)誤；為真，說明至少一個(gè)為真命題，則不能推出為真；為真，說明都為真命題，則為真，所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件，故C錯(cuò)誤；命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，故D正確；故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件，寫出命題的逆否命題等，屬于中檔題.9、C【解析】

由題意可得面，可知，因?yàn)?，則面，于是.由此推出三棱錐外接球球心是的中點(diǎn)，進(jìn)而算出，外接球半徑為1，得出結(jié)果.【詳解】解：由，翻折后得到，又，則面，可知．又因?yàn)?，則面，于是，因此三棱錐外接球球心是的中點(diǎn)．計(jì)算可知，則外接球半徑為1，從而外接球表面積為．故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的幾何體、球的表面積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí)，屬于中檔題．10、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯(cuò)誤．故選D．11、D【解析】

根據(jù)三視圖知，該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐，畫出圖形，結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐，如圖所示：結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知，該四棱錐底面為對(duì)角線為2的正方形，高為PA=2，∴四棱錐的體積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求幾何體體積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．屬于中等題.12、D【解析】

根據(jù)已知有，可得，只需求出的最小值，根據(jù)，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知，與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)”，所以，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.又與為函數(shù)的“線性對(duì)稱點(diǎn)，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景，考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

函數(shù)等價(jià)為，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得在R上遞增，即為，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】，等價(jià)為，且時(shí)，遞增，時(shí)，遞增，且，在處函數(shù)連續(xù)，可得在R上遞增，即為，可得，解得，即a的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用：解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．14、【解析】

利用余弦定理可求得的值，進(jìn)而可得出的值，最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得，則，因此，的面積為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、32π【解析】

設(shè)ED＝a，根據(jù)勾股定理的逆定理可以通過計(jì)算可以證明出CE⊥ED.AM＝x，根據(jù)三棱錐的體積公式，運(yùn)用基本不等式，可以求出AM的長度，最后根據(jù)球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)ED＝a，則CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED.當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí)，當(dāng)四面體C﹣EMN的體積才有可能取得最大值，設(shè)AM＝x.則四面體C﹣EMN的體積（a﹣x）a×xax（a﹣x），當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào).解得a＝2.此時(shí)三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積＝4πa2＝32π.故答案為：32π【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了球的表面積公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間想象能力.16、【解析】

建系，將直線用方程表示出來，再用參數(shù)表示出線段的長度，最后利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別作為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則.設(shè)直線，即，則，所以，所以，，則，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）采用分析法論證，要證，分式化整式為，再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為，再作差提取公因式論證.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】（1）要證，即證，即證，即證，即證，即證，該式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.（2）由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.將上面四式相加，可得，即.【點(diǎn)睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題..18、（1）1；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法將表示為分段函數(shù)的形式，由此求得的最大值，進(jìn)而求得的值.（2）利用（1）的結(jié)論，將轉(zhuǎn)化為，求得的取值范圍，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，證得，由此證得不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，取得最大值.（2）證明:由（1）得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查含有絕對(duì)值的函數(shù)的最值的求法，考查利用基本不等式進(jìn)行證明，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化公式即可；（2）將直線參數(shù)方程代入圓的普通方程，可得，，而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，知，代入即可解決.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去；得曲線的極坐標(biāo)方程為.由，，，可得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入的方程，可得，，設(shè)，是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，，，則.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程間的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義，是一道容易題.20、（1）；（2）或.【解析】

（1）聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)根的判別式，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)，由（1）可得關(guān)系，再由直線l過點(diǎn)，可得，進(jìn)而建立關(guān)于的方程，求解即可.【詳解】（1）雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，整理得，，解得且.雙曲線C與直線l有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是.（2）設(shè)交點(diǎn)，直線l與y軸交于點(diǎn)，，.，即，整理得，解得或或.又，或時(shí)，的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、三角形面積計(jì)算，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系解決相交弦問題，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.21、（1）；（2）或【解析】

（1）根據(jù)的周長為，結(jié)合離心率，求出，即可求出方程；（2）設(shè)，則，求出直線方程，若斜率不存在，求出坐標(biāo)，直接驗(yàn)證是否滿足題意，若斜率存在，求出其方程，與直線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)坐