不等式的證明測試題及答案

PAGEPAGE7不等式的證明班級＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分）１．若a>0，b〉0,則的最小值是 (）A．2 B． C． D．42．分析法證明不等式中所說的“執(zhí)果索因"是指尋求使不等式成立的 （ )A．必要條件 B．充分條件 C．充要條件 D．必要或充分條件3．設a、b為正數(shù),且a+b≤4，則下列各式中正確的一個是 （)A． B． C． D．4．已知a、b均大于1，且logaC·logbC=4，則下列各式中,一定正確的是 ( ）A．a(chǎn)c≥b B．a(chǎn)b≥c C．bc≥a D．a(chǎn)b≤c5．設a=，b=，，則a、b、c間的大小關系是 （ ）A．a(chǎn)>b〉c B．b〉a〉c C．b〉c>a D．a(chǎn)>c〉b6．已知a、b、m為正實數(shù)，則不等式 ( ）A．當a〈b時成立 B．當a〉b時成立 C．是否成立與m無關 D．一定成立7．設x為實數(shù)，P=ex+e-x，Q=（sinx+cosx)2，則P、Q之間的大小關系是 （ )A．P≥Q B．P≤Q C．P〉Q D．P〈Q8．已知a〉b且a+b〈0,則下列不等式成立的是 （ ）A． B． C． D．9．設a、b為正實數(shù)，P=aabb，Ｑ=abba，則P、Q的大小關系是 （ ）A．P≥Q B．P≤Q C．P=Q D．不能確定10．甲、乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走,另一半時間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走,若m≠n，則甲、乙兩人到達指定地點的情況是 (）A．甲先到 B．乙先到 C．甲乙同時到 D．不能確定題號12345678910答案二、填空題11．若實數(shù)滿足，則的最小值為12．函數(shù)的最小值為_____________。13．使不等式a2〉b2,，lg（a－b)〉0，2a〉2b-1同時成立的a、b、1的大小關系是．14．建造一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池,如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，則水池的最低總造價為元．三、解答題15．（1)若a、b、c都是正數(shù),且a+b+c=1,求證：（1–a）（1–b)(1–c）≥8abc．（2）已知實數(shù)滿足，且有求證：16．設的大?。?12分)17．（1）求證:（2)已知a，b，c都是正數(shù),且a，b,c成等比數(shù)列，求證：18．（1)已知x2=a2+b2,y2=c2+d2，且所有字母均為正,求證:xy≥ac+bd．(2）已知,且求證:19．設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面的寬與高的比為λ(λ〈1)，畫面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸,能使宣傳畫所用紙張面積最小?20．數(shù)列{xn}由下列條件確定：．（Ⅰ)證明：對n≥2,總有xn≥；（Ⅱ）證明：對n≥2，總有xn≥．參考答案一．選擇題(本大題共10小題,每小題5分，共50分)題號12345678910答案DBBBDAACAA二．填空題（本大題共4小題，每小題6分,共24分）11．12．13．a(chǎn)〉b〉114．1760三、解答題(本大題共6題，共76分)15．(12分）［證明]：因為a、b、c都是正數(shù),且a+b+c=1，所以（1–a)（1–b)（1–c)=(b+c）（a+c）（a+b）≥2·2·2=8abc．16．（12分）［解析]：(當且僅當t=1時時等號成立)(1)當t=1時，（2）當時，，若若17．(12分)[證明］：左－右=2（ab+bc－ac）∵a，b，c成等比數(shù)列，又∵a，b，c都是正數(shù)，所以≤∴∴∴18．（12分）[證法一］:（分析法）∵a，b，c，d，x，y都是正數(shù)∴要證：xy≥ac+bd只需證：（xy)2≥（ac+bd）2即：(a2+b2）(c2+d2）≥a2c2+b2d2+2abcd展開得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd即：a2d2+b2c2≥2abcd由基本不等式，顯然成立∴xy≥ac+bd［證法二］：（綜合法）xy=≥［證法三］：(三角代換法）∵x2=a2+b2，∴不妨設a=xsin，b=xcosy2=c2+d2c=ysin,d=ycos∴ac+bd=xysinsin+xycoscos=xycos(）≤xy19．(14分）［解析］：設畫面高為xcm，寬為xcm則x2=4840．設紙張面積為S，有S=(x+16）（x+10)=x2+(16+10)x+160， S=5000+44 當8 此時，高:寬:答:畫面高為88cm，寬為55cm時，能使所用紙張面積最小．20．（14分）（I）證明:由及可歸納證明（沒有證明過程不扣分）從而有所以，當成立。（II）證法一：當所以故當證法二：當所以故當.2．證