2023年北京高考數(shù)學真題（解析版）

PAGEPAGE12023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學本試卷滿分150分.考試時間120分鐘.考生務(wù)必將〖答案〗答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗先化簡集合，然后根據(jù)交集的定義計算.【詳析】由題意，，，根據(jù)交集的運算可知，.故選：A2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點的坐標是，則的共軛復數(shù)（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復數(shù)的幾何意義先求出復數(shù)，然后利用共軛復數(shù)的定義計算.【詳析】在復平面對應(yīng)的點是，根據(jù)復數(shù)的幾何意義，，由共軛復數(shù)的定義可知，.故選：D3.已知向量滿足，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標表示求解作答.【詳析】向量滿足，所以.故選：B4.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳析】對于A，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調(diào)，D錯誤.故選：C.5.的展開式中的系數(shù)為（）．A. B. C.40 D.80〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗寫出的展開式的通項即可【詳析】展開式的通項為令得所以的展開式中的系數(shù)為故選：D【『點石成金』】本題考查的是二項式展開式通項的運用，較簡單.6.已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則（）A.7 B.6 C.5 D.4〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用拋物線的定義求解即可.【詳析】因為拋物線的焦點，準線方程為，點在上，所以到準線的距離為，又到直線的距離為，所以，故.故選：D.7.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.【詳析】因為，所以由正弦定理得，即，則，故，又，所以.故選：B.8.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【詳析】解法一：因為，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因為，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因為，且，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.故選：C9.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先根據(jù)線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長相加即可得解.【詳析】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，所以.因為平面，平面，所以，因為，平面，，所以平面，因為平面，所以，.同理：，又，故四邊形是矩形，所以由得，所以，所以，所以在直角三角形中，在直角三角形中，，，又因為，所有棱長之和為.故選：C10.已知數(shù)列滿足，則（）A.當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B.當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C.當時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D.當時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列性質(zhì)，故可判斷B的正誤.法2：構(gòu)造，利用導數(shù)求得的正負情況，再利用數(shù)學歸納法判斷得各選項所在區(qū)間，從而判斷的單調(diào)性；對于A，構(gòu)造，判斷得，進而取推得不恒成立；對于B，證明所在區(qū)間同時證得后續(xù)結(jié)論；對于C，記，取推得不恒成立；對于D，構(gòu)造，判斷得，進而取推得不恒成立.【詳析】法1：因為，故，對于A，若，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當時，成立，則，故成立，由數(shù)學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立.對于B，若可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對于C，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當時，成立，則，故成立即由數(shù)學歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤.對于D，當時，可用數(shù)學歸納法證明：即，證明：當時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當時，成立，則，故成立由數(shù)學歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤.故選：B.法2：因為，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對于A，因為，則，當時，，，則，假設(shè)當時，，當時，，則，綜上：，即，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯誤；對于B，因為，當時，，，假設(shè)當時，，當時，因為，所以，則，所以，又當時，，即，假設(shè)當時，，當時，因為，所以，則，所以，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，此時，取，滿足題意，故B正確；對于C，因為，則，注意到當時，，，猜想當時，，當與時，與滿足，假設(shè)當時，，當時，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯誤；對于D，因為，當時，，則，假設(shè)當時，，當時，，則，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯誤.故選：B.【『點石成金』】關(guān)鍵『點石成金』：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項給出與通項性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知函數(shù)，則____________．〖答案〗1〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運算計算作答.【詳析】函數(shù)，所以.故〖答案〗為：112.已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為____________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實半軸、虛半軸長，再寫出的方程作答.【詳析】令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故〖答案〗為：13.已知命題若為第一象限角，且，則．能說明p為假命題的一組的值為__________，_________．〖答案〗①.②.〖解析〗〖祥解〗根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.【詳析】因為在上單調(diào)遞增，若，則，取，則，即，令，則，因為，則，即，則.不妨取，即滿足題意.故〖答案〗為：.14.我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則___________；數(shù)列所有項的和為____________．〖答案〗①.48②.384〖解析〗〖祥解〗方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式列式求解，進而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項求，在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運算求解.【詳析】方法一：設(shè)前3項的公差為，后7項公比為，則，且，可得，則，即，可得，空1：可得，空2：方法二：空1：因為為等比數(shù)列，則，且，所以；又因為，則；空2：設(shè)后7項公比為，則，解得，可得，所以.故〖答案〗為：48；384.15.設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當時，存在最大值；③設(shè)，則；④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號是____________．〖答案〗②③〖解析〗〖祥解〗先分析圖像，再逐一分析各結(jié)論；對于①，取，結(jié)合圖像即可判斷；對于②，分段討論的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結(jié)合圖像可知的范圍；對于④，取，結(jié)合圖像可知此時存在最小值，從而得以判斷.【詳析】依題意，，當時，，易知其圖像為一條端點取不到值的單調(diào)遞增的射線；當時，，易知其圖像是，圓心為，半徑為的圓在軸上方的圖像（即半圓）；當時，，易知其圖像是一條端點取不到值的單調(diào)遞減的曲線；對于①，取，則的圖像如下，顯然，當，即時，在上單調(diào)遞增，故①錯誤；對于②，當時，當時，；當時，顯然取得最大值；當時，，綜上：取得最大值，故②正確；對于③，結(jié)合圖像，易知在，且接近于處，的距離最小，當時，，當且接近于處，，此時，，故③正確；對于④，取，則的圖像如下，因為，結(jié)合圖像可知，要使取得最小值，則點在上，點在，同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，此時，因為的斜率為，則，故直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，顯然在上，滿足取得最小值，即也滿足存在最小值，故的取值范圍不僅僅是，故④錯誤.故〖答案〗為：②③.【『點石成金』】關(guān)鍵『點石成金』：本題解決的關(guān)鍵是分析得的圖像，特別是當時，的圖像為半圓，解決命題④時，可取特殊值進行排除即可.三、解答題：本題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．16.如圖，在三棱錐中，平面，．（1）求證：平面PAB；（2）求二面角的大小．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標表示即可得解.【小問1詳析】因為平面平面，所以，同理，所以為直角三角形，又因為，，所以，則為直角三角形，故，又因為，，所以平面.【小問2詳析】由（1）平面，又平面，則，以為原點，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又因為二面角為銳二面角，所以二面角的大小為.17.設(shè)函數(shù)．（1）若，求的值．（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．〖答案〗（1）.（2）條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得，.〖解析〗〖祥解〗（1）把代入的〖解析〗式求出，再由即可求出的值；（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把的〖解析〗式化簡，根據(jù)在上的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出，從而求出的值；把的值代入的〖解析〗式，由和即可求出的值；若選條件③：由的單調(diào)性可知在處取得最小值，則與條件②所給的條件一樣，解法與條件②相同．【小問1詳析】因為所以，因為，所以.【小問2詳析】因為，所以，所以的最大值為，最小值為.若選條件①：因為最大值為，最小值為，所以無解，故條件①不能使函數(shù)存在；若選條件②：因為在上單調(diào)遞增，且，所以,所以,,所以，又因為，所以，所以，所以，因為，所以.所以，；若選條件③：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得最小值，即.以下與條件②相同．18.為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．時段價格變化第1天到第20天-++0++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0++0+0++0-+用頻率估計概率．（1）試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；（2）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；（3）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結(jié)論不要求證明）〖答案〗（1）（2）（3）不變〖解析〗〖祥解〗（1）計算表格中的的次數(shù)，然后根據(jù)古典概型進行計算；（2）分別計算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進行計算；（3）通過統(tǒng)計表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進行推斷第天的情況.【小問1詳析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個，也就是有天是上漲的，根據(jù)古典概型的計算公式，農(nóng)產(chǎn)品價格上漲的概率為：【小問2詳析】在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是，，，于是未來任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是【小問3詳析】由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，因此估計第次不變的概率最大.19.已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是的左、右頂點，．（1）求的方程；（2）設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動點，直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：．〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）結(jié)合題意得到，，再結(jié)合，解之即可；（2）依題意求得直線、與的方程，從而求得點的坐標，進而求得，再根據(jù)題意求得，得到，由此得解.【小問1詳析】依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳析】因為橢圓的方程為，所以，因為為第一象限上的動點，設(shè)，則，易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.20.設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）求的極值點個數(shù)．〖答案〗（1）（2）〖答案〗見〖解析〗（3）3個〖解析〗〖祥解〗（1）先對求導，利用導數(shù)的幾何意義得到，，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；（2）由（1）得的〖解析〗式，從而求得，利用數(shù)軸穿根法求得與的解，由此求得的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間，，與上的零點的情況，從而利用導數(shù)與函數(shù)的極值點的關(guān)系求得的極值點個數(shù).【小問1詳析】因為，所以，因為在處的切線方程為，所以，，則，解得，所以.【小問2詳析】由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.【小問3詳析】由（1）得，，由（2）知，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當時，，，即所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個極小值點；當時，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此時，當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個極大值點；當時，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，此