2力矩與平面力偶系

山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)第二章平面力系的合成與平衡第二節(jié)力矩與平面力偶系一、力矩1.力矩的概念力不僅能使物體移動(dòng)，還能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。例如用手推門(mén)、用扳手?jǐn)Q緊螺母等，都是力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的實(shí)例。那么，力對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)與哪些因素有關(guān)呢？FdOMO(F)在右圖中，力F使扳手繞螺母中心O轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，不僅與力F的大小成正比，而且還與螺母中心O到該力作用線的垂直距離d成正比。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)FdOMO(F)當(dāng)改變力F的指向，扳手的轉(zhuǎn)向也會(huì)隨之改變。因此，力F對(duì)扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，可用兩者的乘積Fd再加上表示轉(zhuǎn)向的正負(fù)號(hào)來(lái)量度，稱(chēng)為力F對(duì)O點(diǎn)的矩，簡(jiǎn)稱(chēng)力矩。用符號(hào)MO(F)表示。即MO(F)=±Fd轉(zhuǎn)動(dòng)中心O，稱(chēng)為矩心;矩心O到力F作用線的垂直距離d，稱(chēng)為力臂;通常規(guī)定：使物體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩為正，反之為負(fù)。在平面問(wèn)題中，力矩為代數(shù)量。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)FdABOM在圖中，A、B為力的起點(diǎn)和終點(diǎn)，力F對(duì)點(diǎn)O的矩的大小等于三角形AOB面積的兩倍，即MO(F)=±Fd=±2△AOB力矩的單位是牛頓?米(N?m)或千牛頓?米(kN?m)。由力矩的定義可知：(1)當(dāng)力臂等于零，即力的作用線通過(guò)矩心時(shí)，力矩等于零；(2)當(dāng)力沿其作用線移動(dòng)時(shí)，不會(huì)改變力對(duì)某點(diǎn)的矩。這是因?yàn)镕和d均未改變。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)一、力矩1.力矩的概念2.合力矩定理dyOF1F2FRAcbBCDMO(FR)=±2△AOBMO(F1)=±2△AOCMO(F2)=±2△AOD=Ob·OA=Oc

·OA=Od

·OA根據(jù)合力投影定理有：YR

·OA·OA·OA

=

Y1

+

Y2

ObOcOd即

MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)上述表明：合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩，等于兩分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)以上結(jié)論也可擴(kuò)展到多個(gè)平面匯交力的情況，即MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+……+MO(Fn)=∑MO(F)由此可見(jiàn)：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，等于力系中各分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。這就是平面匯交力系的合力矩定理。應(yīng)用合力矩定理可以簡(jiǎn)化力矩的計(jì)算。在力矩計(jì)算時(shí)，若力臂d難以確定，就可以將力分解為比較容易找到力臂的兩個(gè)分力。計(jì)算出分力矩再代數(shù)求和，便得到原力的矩了。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)圖中的每1m長(zhǎng)的擋土墻，所受土壓力的合力F=100kN，方向如圖所示。試求土壓力F使墻傾覆的力矩。例2-1030oAF2m2md土壓力F可能使擋土墻繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，從而發(fā)生傾覆。故所求傾覆的力矩就是力F對(duì)A點(diǎn)的矩。而直接找到F的力臂d有困難。解根據(jù)合力矩定理，可將力F分解為兩個(gè)分力Fx和Fy，兩分力的力臂是已知的。FxFyMA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=100×0.866×2-100×0.5×2=73.2kN?m山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)放在地面上的板條箱如圖所示，受到F=100N的力作用。試求該力對(duì)A點(diǎn)的矩。例2-11解A2m1.5mFBBd(1)力臂d容易求得：d=1.2m。所以MA(F)=100×1.2=120N?m(2)也可將力F分解為兩個(gè)分力Fx和Fy，利用合力矩定理計(jì)算：FxFyMA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=100×0.8×1.5+0=120N?m山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)二、力偶1.力偶的概念在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常見(jiàn)到由大小相等、方向相反、作用線平行的兩個(gè)力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)的例子。例如汽車(chē)司機(jī)用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤(pán)，人們用兩手指擰開(kāi)瓶蓋，旋轉(zhuǎn)鑰匙開(kāi)鎖等。第二節(jié)力矩與平面力偶系一、力矩這種由大小相等、方向相反、作用線平行且不共線的兩個(gè)力組成的力系，稱(chēng)為力偶。用符號(hào)(F，F(xiàn)’)表示。F’Fd山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)實(shí)踐證明：力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，不僅與組成力偶的力的大小成正比，而且與力偶臂的大小也成正比。F’Fd另外，當(dāng)力偶的兩個(gè)力大小和作用線不變，而只是同時(shí)改變指向，力偶的轉(zhuǎn)向也就相反了。因此，力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，可用力與力偶臂的乘積Fd再加上表示轉(zhuǎn)向的正負(fù)號(hào)來(lái)量度，稱(chēng)為力偶矩。用符號(hào)M(F，F(xiàn)’)表示，可簡(jiǎn)記為M。即M=±

Fd通常規(guī)定：力偶使物體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。在平面力系中，力偶矩為代數(shù)量。力偶矩的單位與力矩相同，也是牛頓?米(N?m)或千牛頓?米(kN?m)。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)二、力偶1.力偶的概念F’Fd2.力偶的基本性質(zhì)(1)力偶在任一軸上的投影恒為零。力偶沒(méi)有合力，所以不能用一個(gè)力來(lái)代替。力偶中的兩個(gè)力大小相等、方向相反、作用線平行且不共線，不能合成為一個(gè)力。力偶不能用一個(gè)力來(lái)代替，也不能和一個(gè)力平衡。力偶只能和力偶平衡。力偶和力對(duì)物體作用的效應(yīng)不同。一個(gè)力可以使物體移動(dòng)或同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，而力偶不會(huì)使物體移動(dòng)，只會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)2.力偶的基本性質(zhì)(2)力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩都恒等于力偶矩，而與矩心位置無(wú)關(guān)。MO(F，F(xiàn)’)F’FdOx=MO(F)+MO(F’)=F(x+d)

-

F’

x=Fd=M

計(jì)算結(jié)果與x無(wú)關(guān)?？梢?jiàn)結(jié)論成立。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)2.力偶的基本性質(zhì)(3)在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，如果它們的力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶等效。這叫做力偶的等效性。力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，取決于力偶矩的大小、力偶的轉(zhuǎn)向和力偶的作用平面。這又稱(chēng)為力偶的三要素。力換句話說(shuō)：只要兩個(gè)力偶的三要素相同，它們就是等效的。

推論1力偶可在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而不改變它對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。即力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)與它在平面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)。根據(jù)力偶的這一性質(zhì)，可以得出以下兩個(gè)推論：圖示三種情形下，力偶移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)，但作用效應(yīng)是相同的。F’FdF’FddF’F山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)

推論2只要力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，可以同時(shí)改變力的大小和力偶臂的長(zhǎng)度，而不改變它對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。在研究力偶對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)時(shí)，只需考慮力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向，而不必在意力偶的位置、力的大小及力偶臂的長(zhǎng)度。15N4m6m10N20N3m因此在工程中，力偶可用一段帶箭頭的弧線來(lái)表示，如圖所示。60Nm圖中的幾個(gè)力偶的作用效應(yīng)是相同的。2.力偶的基本性質(zhì)山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)二、力偶第二節(jié)力矩與平面力偶系一、力矩三、平面力偶系在物體的某一平面上同時(shí)作用兩個(gè)以上的力偶，稱(chēng)為平面力偶系。1.平面力偶系的合成力偶只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，平面力偶系的合成，實(shí)質(zhì)上是力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的合成。合成后也只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。于是可以得出結(jié)論：平面力偶系的合成結(jié)果為一個(gè)合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。即MR=M1+M2+……+Mn=∑M山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)例2-12

某物體在平面內(nèi)受到三個(gè)力偶的作用，各力偶的力偶矩如圖所示。試求合力偶矩。15N8m4m10N50Nm30NmMR=∑M=15×4-10×8+50=30N?m合力偶矩為30N?m，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，與原力偶系共面。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)三、平面力偶系1.平面力偶系的合成平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶，當(dāng)合力偶矩等于零時(shí)，則力偶系中各力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)相互抵消，物體平衡；MR=∑M2.平面力偶系的平衡條件反過(guò)來(lái)，物體處于平衡狀態(tài)，則要求合力偶矩等于零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中所有各力偶矩的代數(shù)和等于零，即∑M=0上式又稱(chēng)為平面力偶系的平衡方程。對(duì)于平面力偶系的平衡問(wèn)題，利用這一方程可以求解一個(gè)未知量。山西建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系建筑力學(xué)教研室建筑力學(xué)例2-13

如圖所示的簡(jiǎn)支梁AB，受一力偶的作用，其力偶矩M=20kN?m。試求A、B支座的反力。

B支座為可動(dòng)鉸支座，其反力FB的方位可以確定AB4mM解取梁AB為研究對(duì)象，該梁