高考數(shù)學 考前3個月（上）專題復習 專題六 第二講 概率、隨機變量及其分布列配套限時規(guī)范訓練

第二講概率、隨機變量及其分布列（推薦時間：50分鐘）一、選擇題1．從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是 ()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)2．高二某班共有60名學生，其中女生有20名，三好學生占eq\f(1,6)，而且三好學生中女生占一半．現(xiàn)在從該班同學中任選一名參加某一座談會．則在已知沒有選上女生的條件下，選上的是三好學生的概率為 ()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,8) D.eq\f(1,10)3．(·福建)如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,7)4．甲射擊命中目標的概率是eq\f(1,2)，乙命中目標的概率是eq\f(1,3)，丙命中目標的概率是eq\f(1,4).現(xiàn)在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為 ()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,10)5．一個學生通過某種英語聽力測試的概率是eq\f(1,2)，他連續(xù)測試2次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)6．設(shè)隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k(k＝1,2,3)，則m的值為 ()A.eq\f(17,38) B.eq\f(27,38)C.eq\f(17,19) D.eq\f(27,19)7．甲、乙兩人進行5場比賽，每場甲獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，如果有一人勝了三場，比賽即告結(jié)束，那么比賽以乙獲勝3場負2場而結(jié)束的概率是 ()A.eq\f(40,243) B.eq\f(8,243)C.eq\f(8,81) D.eq\f(8,27)8．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，則P(X>4)等于 ()A．0.1588 B．0.1587C．0.1586 D．0.1585二、填空題9．(·重慶)某藝校在一天的6節(jié)課中隨機安排語文、數(shù)學、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為________(用數(shù)字作答)．10.在平行四邊形ABCD中，O是AC與BD的交點，P、Q、M、N分別是線段OA、OB、OC、OD的中點，在A、P、M、C中任取一點記為E，在B、Q、N、D中任取一點記為F，設(shè)G為滿足向量eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))的點，則在上述的點G組成的集合中的點，落在平行四邊形ABCD外(不含邊界)的概率為________．11．在日前舉行的全國大學生智能汽車總決賽中，某高校學生開發(fā)的智能汽車在一個標注了平面直角坐標系的平面上從坐標原點出發(fā)，每次只能移動一個單位，沿x軸正方向移動的概率是eq\f(2,3)，沿y軸正方向移動的概率為eq\f(1,3)，則該機器人移動6次恰好移動到點(3,3)的概率為________．12．某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為________．三、解答題13．(·江蘇)設(shè)ξ為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當兩條棱相交時，ξ＝0；當兩條棱平行時，ξ的值為兩條棱之間的距離；當兩條棱異面時，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其數(shù)學期望E(ξ)．14．(·山東)現(xiàn)有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為eq\f(3,4)，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為eq\f(2,3)，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學期望E(X)．

答案1．D2．C3．C4．A5．C6．B7．C8．B9.eq\f(3,5)10.eq\f(3,4)11.eq\f(160,729)12．0.12813．解(1)若兩條棱相交，則交點必為正方體8個頂點中的1個，過任意1個頂點恰有3條棱，所以共有8Ceq\o\al(2,3)對相交棱，因此P(ξ＝0)＝eq\f(8C\o\al(2,3),C\o\al(2,12))＝eq\f(8×3,66)＝eq\f(4,11).(2)若兩條棱平行，則它們的距離為1或eq\r(2)，其中距離為eq\r(2)的共有6對，故P(ξ＝eq\r(2))＝eq\f(6,C\o\al(2,12))＝eq\f(1,11)，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝eq\r(2))＝1－eq\f(4,11)－eq\f(1,11)＝eq\f(6,11)，所以隨機變量ξ的分布列是ξ01eq\r(2)P(ξ)eq\f(4,11)eq\f(6,11)eq\f(1,11)因此E(ξ)＝1×eq\f(6,11)＋eq\r(2)×eq\f(1,11)＝eq\f(6＋\r(2),11).14．解(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D.由題意知P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝P(D)＝eq\f(2,3)，由于A＝Beq\x\to(C)eq\x\to(D)＋eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D，根據(jù)事件的獨立性和互斥性得P(A)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D)＋eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(B)P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B))P(C)P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))P(D)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(7,36).(2)根據(jù)題意知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的獨立性和互斥性得P(X＝0)＝P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,36).P(X＝1)＝P(Beq\x\to(C)eq\x\to(D))＝P(B)P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,12)，P(X＝2)＝P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D)＋eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝P(eq\x\to(B)Ceq\x\to(D))＋P(eq\x\to(B)eq\x\to(C)D)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X＝3)＝P(BCeq\x\to(D)＋Beq\x\to(C)D)＝P(BCeq\x\to(D))＋P(Beq\x\to(C)D)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝P(eq\x\to(B)CD)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，P(X