振動(dòng)理論基礎(chǔ)課程總結(jié)報(bào)告

第一章機(jī)械振動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)引言機(jī)械振動(dòng)學(xué)研究的問題包括以下幾個(gè)方面的內(nèi)容1..建立物理模型建立數(shù)學(xué)模型方程的求解結(jié)果的闡述第二節(jié)接卸振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)概念簡諧振動(dòng)物體簡諧振動(dòng)位移的三角函數(shù)式A/2n 2兀 、x=Acos（ t一甲）=Asm（ t+Q）物體簡諧振動(dòng)速度和度的三角函數(shù)式. 兀v=x-Awcos(wt+Q)=Awsin(wt+Q+?)a二x二一Aw2sin(wt+p)二Aw2sin(wt+p+兀)周期振動(dòng)x（t）="o+EAsin（nwt+屮）TOC\o"1-5"\h\z2 n n簡諧振動(dòng)的合成（一）同方向振動(dòng)的合成兩個(gè)同頻率振動(dòng)的合成x二Asin(wt+屮)和x二Asin(w+屮 )111222合運(yùn)動(dòng)A=\KAcos屮+Acos屮)2+(Asin屮+Asin屮)2V11221122Asin屮+Asin屮tan申=―1 12 2-Acos屮+Acos屮1 12 2兩個(gè)不同頻率運(yùn)動(dòng)的合成x二Asinwt11合運(yùn)動(dòng)w<w12x=x+x二w<w12121122

w口w對于A二A二A1212wx=Acos(2對于A□Ax二Asinwtwx=Acos(2211二）兩垂直方向振動(dòng)的合成1.同頻率真懂得合成w+wsin2( t)式中A=A1xw+wsin2( t)式中A=A1x2 y2 2xy合運(yùn)動(dòng) +=—cos申—sm2申=0A2 B2 AB2.不同頻率振動(dòng)的合成x二Asinwty二Bsin(w+申)12合運(yùn)動(dòng)nw二mwm,n=1,2,3-----12第三節(jié)構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的基本元素構(gòu)成機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)的基本元素有慣性、恢復(fù)性和阻尼。d2x慣性F=m恢復(fù)性F二—kx阻尼力F二—c'xdt2 s d第四節(jié)自由度與廣義坐標(biāo)物體在這些約束條件下運(yùn)動(dòng)時(shí)，用于確定其位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)就是該系統(tǒng)的自由度數(shù)對于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，各質(zhì)點(diǎn)的位移可用3n個(gè)直角坐標(biāo)（x,y,z，…，x,y,z）111nnn來描述。當(dāng)有r個(gè)約束條件時(shí)，約束方程為f（x,y,z，…，x,y,z）二0 k=1,2,---,rk111nnn為了確定各質(zhì)點(diǎn)的位置，可選取N=3n-r個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)q=q（x,y,z，…，x,y,z） j=1,2,—,Njj111nnn來代替3n個(gè)直角坐標(biāo)系。這種坐標(biāo)叫做廣義坐標(biāo)第二章單自由度系統(tǒng)第一節(jié)概述任何一個(gè)但自由度系統(tǒng)都可以用一個(gè)理論模型(圖中所示)，來描述：它是由理想的質(zhì)量m,理想的彈簧k和理想的阻尼三個(gè)基本的元件組成的系統(tǒng)。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方向只有一個(gè)方向。研究單自由度系統(tǒng)振動(dòng)的意義：從物理的角度看，一個(gè)系統(tǒng)受到一個(gè)外界的激勵(lì)(或輸入)Fl(t)時(shí)，可測得其響應(yīng)(輸出)為X1(t)。而受到輸入F2(t)時(shí)，測得的響應(yīng)為X2(t)。他們可表示為：F(t)Tx(t)11F(t)Tx(t)22如果受到的輸入是F(t)=a1F1(t)+a2F2(t)，對于線性系統(tǒng)，可以預(yù)測系統(tǒng)的響應(yīng)為：X(t)=a1x1(t)=a2x2(t)。其中al，a2為任意常數(shù)。上述的公式中表示，幾個(gè)激勵(lì)函數(shù)共同作用的總響應(yīng)時(shí)各個(gè)響應(yīng)函數(shù)的總和。這一結(jié)果叫做疊加原理，是一個(gè)系統(tǒng)成為線性系統(tǒng)的必要條件。從數(shù)學(xué)角度看，線性系統(tǒng)由線性方程描述。對于時(shí)不變、集中參數(shù)的機(jī)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)，由常數(shù)、線性常微分方程描述，即表示為：d2x dx+a 1+ax=F(t) (2.1-3)dt21dt011式中a0和a1是決定系統(tǒng)的系數(shù)。如果有激勵(lì)F1(t)和F2(t)分別輸出響應(yīng)x1(t)和x2(t)，則有：d2x dx2。1-4）1+a 1+ax=尸（t）2。1-4）dt21dt011d2x dx 2+a—士+ax=F(t) (21-5)dt2 1dt022將上述兩式相加得：_(x+x)+a (x+x)+a(x+x)=F(t)+F(t) (2.1-6)dt2121dt1201212表明，系統(tǒng)對激勵(lì)的響應(yīng)等于兩個(gè)單激勵(lì)響應(yīng)之和。所以說:d對于線性方程。疊加原理成立；對于非線性方程，不成立。小結(jié)：線性系統(tǒng)是在一定條件下對非線性系統(tǒng)的近似。微幅運(yùn)動(dòng)則是線性化的重要前提第二節(jié)無阻尼自由振動(dòng)

阻尼是一個(gè)很復(fù)雜的因素，有些系統(tǒng)阻尼的性質(zhì)、大小很難確定。阻尼對抑制系統(tǒng)共振頻率的運(yùn)動(dòng)影響不大。為了大致確定系統(tǒng)的共振頻率和分析系統(tǒng)在共振頻率的運(yùn)動(dòng)，不考慮阻尼，使c=0,作為無阻尼系統(tǒng)研究是很有效的。stW=mg二k6st若給予系統(tǒng)某種擾動(dòng)，比如把彈簧再往下壓x距離，彈簧的恢復(fù)力就要增大kx,有k(6+x)>W=mgst系統(tǒng)的靜平衡狀態(tài)遭到破壞。所以，為了對系統(tǒng)進(jìn)行研究，就要建立坐標(biāo)(按照圖示，簡單建立)若在某一時(shí)刻t,系統(tǒng)的位移為x(t)。由牛頓定理：W-k(6+x)二mxst于是有 mx+k并0這就是系統(tǒng)的無阻尼時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程線性系統(tǒng)自由振動(dòng)的頻率只決定于系統(tǒng)本身參數(shù)，與初始條件無關(guān)，因而叫做系統(tǒng)的固有頻率或無阻尼固有頻率。第三節(jié)能量法當(dāng)一個(gè)無阻尼彈簧 質(zhì)量系統(tǒng)中。如下圖

頻率的重要準(zhǔn)則條件不變，則彈簧會(huì)律。頻率的重要準(zhǔn)則條件不變，則彈簧會(huì)律。O第四節(jié)有阻尼自由振動(dòng)在實(shí)際系統(tǒng)中總存在這阻尼，所以系統(tǒng)必定有能量的散失。系統(tǒng)不可能一直做等幅自由振動(dòng)一．粘性阻尼對于一般系統(tǒng)。比如大氣中的飛行物。其阻尼力與速度成正比，方向與速度相反。其中必有一個(gè)系數(shù)可以反映他們之間的關(guān)系。這個(gè)系數(shù)就是阻尼系數(shù)。同時(shí)，也說明了粘性阻尼的概念。二．粘性阻尼自由振動(dòng)如圖所示為一個(gè)震蕩系統(tǒng)。

其運(yùn)動(dòng)方程為：mx+cx+kx=0解上述方程的根可得：通解x(t)=Beat+Bebb12當(dāng)式中的a和b為零時(shí)，有 c=Jk/m=e或c=2m=2Jmk2m n o n為臨界阻尼系數(shù)。于是可以得出下式：叫做阻尼比，使系統(tǒng)的實(shí)際阻尼與臨界阻尼系數(shù)的比值。而W=\：'l-g23d n叫做有阻尼固有頻率，它決定于系統(tǒng)的物理參數(shù)。同時(shí)，實(shí)際阻尼小于臨界阻尼的系數(shù)的系統(tǒng)叫做欠阻尼系統(tǒng)或弱阻尼系統(tǒng)。三．結(jié)構(gòu)阻尼實(shí)驗(yàn)表明，彈性材料，特別是金屬材料表示出一種結(jié)構(gòu)阻尼的性質(zhì)。這種阻尼是由于材料受力變形而產(chǎn)生的內(nèi)摩擦力，力和摩擦之間產(chǎn)生離相位的滯后。結(jié)構(gòu)阻尼雖然是常見的一種阻尼形式，由于它用能量損失來定義，且和振幅間有非線性的關(guān)系，所以在數(shù)學(xué)上難于處理。四．庫倫阻尼具有庫倫阻尼的系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)是一個(gè)具有線性衰減的簡諧振動(dòng)。自由振動(dòng)的頻率不受阻尼的影響。最后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)并不一定停留在原來的靜止位置，這是因?yàn)楫?dāng)運(yùn)動(dòng)幅值為X時(shí)，恢復(fù)力kx比摩擦力uWx小，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)就逐漸靜止第五節(jié)簡諧激勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)一．簡諧激勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)在上節(jié)的圖示系統(tǒng)所示的運(yùn)動(dòng)方程中：mx+cx+kx=FsinwtF為激勵(lì)力振幅，w為激勵(lì)頻率。方程為一個(gè)非齊次方程。其通解為:x（t）二Ae-絢sin?+p）hd上述式子用復(fù)數(shù)的方法表示:F(k-w2m)2+w2c2其中r=改寫為：X=X= e=其中r=(1-r2)2+(2gr)2當(dāng)r=1時(shí)，若g=0,在理論上M趨近于0。這就意味著，當(dāng)系統(tǒng)中不存在阻尼時(shí)，激勵(lì)頻率和系統(tǒng)的固有頻率一致，振幅將趨于無窮大，這種現(xiàn)象叫做共振。二．旋轉(zhuǎn)不平衡質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)。在許多旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，轉(zhuǎn)動(dòng)部分總存在質(zhì)量不平衡。由于這一點(diǎn)，系統(tǒng)將發(fā)生強(qiáng)迫振動(dòng)，振動(dòng)的頻率就是機(jī)器的角速度。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅決定于不平衡質(zhì)量m,m與旋轉(zhuǎn)中心O的偏心距離e和角速度的平方。三．基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起的強(qiáng)迫振動(dòng)事實(shí)上，在許多情況下，支撐或基礎(chǔ)是運(yùn)動(dòng)的，并引起了系統(tǒng)的振動(dòng)，并且，基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)可能使系統(tǒng)受到兩個(gè)作用力或幾個(gè)作用力的作用。第六節(jié)簡諧激勵(lì)強(qiáng)迫振動(dòng)理論的應(yīng)用一．隔振隔振有兩種：把振源與地基隔離開來以減少它對周圍的影響而采取的措施叫做積極隔振；為了減少外界振動(dòng)對設(shè)備的影響而采取的隔振措施叫做消極隔振。（1） 積極隔振：將機(jī)器安裝在合理設(shè)計(jì)的柔性支撐上，這一支撐叫做隔振裝置或隔著基礎(chǔ)。（2） 消極隔振：周圍的振動(dòng)經(jīng)過地基傳遞會(huì)是機(jī)器產(chǎn)生振動(dòng)。在實(shí)際工作中，機(jī)器有個(gè)啟動(dòng)過程，將通過共振區(qū)。因而，小量的阻尼是人們期望的。不過，零阻尼情況只是在理想情況，實(shí)際上小阻尼總是存在的。二．振動(dòng)測試儀器振動(dòng)測試儀器有三種基本形式：測試加速度、速度和位移的儀器。它們都是根據(jù)基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)引起系統(tǒng)振動(dòng)的原理工作的。第七節(jié)非簡諧激勵(lì)作用下的系統(tǒng)響應(yīng)

一．周期激勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)一個(gè)有阻尼彈簧----質(zhì)量系統(tǒng)，受到周期激勵(lì)力F的作用，其運(yùn)動(dòng)方程為mx+cx+kx=F(t)且F(T+1)=F(t)把該周期激勵(lì)展成Fourier級數(shù)，把級數(shù)的每一項(xiàng)是做一簡諧激勵(lì)，確定穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并把每個(gè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)加起來，就得到了系統(tǒng)對該周期激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：x(t)二a+藝 a cos(nrot-0)+藝 a sin(nrot-0)2kn=1kJ(a-r2)2+(2^r)2 ”=1kJ(a-r2)2+(2gr)2n n n n為一個(gè)無窮級數(shù)。二．非周期激勵(lì)作用下的系統(tǒng)響應(yīng)非周期激勵(lì)力作用下的系統(tǒng)響應(yīng)在許多工程問題中，會(huì)碰到對系統(tǒng)的激勵(lì)不是周期的，而是任意的時(shí)間函數(shù)。脈動(dòng)就是指很短時(shí)間內(nèi)非常大的力作用時(shí)的有限沖量。非周期基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)作用下的系統(tǒng)響應(yīng)脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻響函數(shù)脈動(dòng)函數(shù)h(t)是系統(tǒng)特性在時(shí)域中的表現(xiàn)，頻響應(yīng)函數(shù)是系統(tǒng)特性在頻域中的表現(xiàn)。它們在現(xiàn)代機(jī)械機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性分析中，有著重要的作用第三章兩自由度系統(tǒng)概述：系統(tǒng)的自由度數(shù)就是描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)所必須的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。如果一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)需要兩個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)來描述，那么這個(gè)系統(tǒng)就是一個(gè)兩自由度系統(tǒng)。第一節(jié)無阻尼自由振動(dòng)1)凡需要要用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來描述其運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)都是兩自由度系統(tǒng)。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的一般形式可表示為k)(x) (F(t))12k22丿22(第一節(jié)無阻尼自由振動(dòng)1)凡需要要用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來描述其運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)都是兩自由度系統(tǒng)。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的一般形式可表示為k)(x) (F(t))12k22丿22(2

廠m11im21rrn合與)兩自由度(k11lk21m12m)221IX2丿1lF2(t)丿又可以表示為：[m]{x}+[k]{x}={f(t)}式中：2丿常數(shù)矩陣［m］和［k］分別叫做質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。3)(ml0(k+k12lka-kb112111 22 1ka2+kb2II01121(0)0該式兩個(gè)方程不能單獨(dú)求解的l0丿狀況叫做坐標(biāo)耦合。方程通過剛度項(xiàng)相互耦合叫做靜耦合。在矩陣方程中，質(zhì)量矩陣IM]具有非零的對角元，兩運(yùn)動(dòng)方程通過慣性項(xiàng)而相互耦合的叫做慣性耦合‘結(jié)論：1).描述一個(gè)兩自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)是確定的.唯一的，就是自由度數(shù)2，但描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)可選擇的坐標(biāo)不是只有唯一的一組。2).若方程中存在耦合，則各個(gè)方程不能單獨(dú)求解。(1o'q(w20、(q)(0'1+n11—<01丿Iq丿'2y10w2丿n2Iq丿2<0丿6)主坐標(biāo)：能使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程不存在耦合，成為相互獨(dú)立方程的坐標(biāo)。第二節(jié)無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)第二節(jié)無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)1)對于兩自由度系統(tǒng)，無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的一般形式為：'m11.m21m'm11.m21m12m22(kiiIk21kx\12k22丿22iIX2丿(F(t))1IF(t)丿'2y(2)簡諧外激勵(lì)力：F(t)二Fsinwt13)兩自由度系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)力作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將是與激勵(lì)力相同頻率的簡諧函數(shù)第三節(jié)無阻尼吸振器在激勵(lì)力J)二Fsdt的作用下，該系統(tǒng)發(fā)生了強(qiáng)迫振動(dòng)。為了減小其振動(dòng)強(qiáng)度，不能采用改變主參數(shù)m1和%的方法，而應(yīng)設(shè)計(jì)安裝一個(gè)由質(zhì)量m2和勺組成的輔助系統(tǒng)——吸振器。運(yùn)動(dòng)方程：(m1I00X\(k+運(yùn)動(dòng)方程：(m1I00X\(k+k12<—k2m丿2712丿—k)(x\2k2丿21IX2丿sinwt第四節(jié)有阻尼振動(dòng).自由振動(dòng)：對于有阻尼系統(tǒng)，自由振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的一般形式可表示為[m] {x}+[c]{x}+[k]{x}={o}

m、rx)rcc、rx)rkk)rx)rf(t))121+11121+11121=1m丿22Ix?丿Ic21c丿22yIx丿Ik21k丿22yIx丿、2ZLF(t)丿、2z/m⑵.強(qiáng)迫振動(dòng)： 11(m21第五節(jié)有阻尼振動(dòng)吸振器有些設(shè)備的工作速度是在一個(gè)比較大的范圍變動(dòng)，要消除器振動(dòng)，就產(chǎn)生了有阻尼振動(dòng)吸振器。為了在相當(dāng)寬的工作范圍內(nèi)，使主系統(tǒng)的振動(dòng)能夠減小到要求的強(qiáng)度，設(shè)計(jì)了由質(zhì)量m.2彈簧k2和粘性阻尼器C組成的系統(tǒng)’叫做有阻尼吸振器。運(yùn)動(dòng)方程：\~c1IX2運(yùn)動(dòng)方程：\~c1IX2丿'k+k12<—k2—krx)21k2丿Lx丿'2ysinwt第六節(jié)位移方程(1)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程表示為：[m]{x}+[c]{x}+[k]{x}={f(t)}x⑵柔度影響系數(shù)：d== i,j=l,2 即，只在j點(diǎn)作用一單位力時(shí)，在i引起的位移ijFj的大小。⑶剛度影響系數(shù)：對于系統(tǒng)的剛度矩陣，其元素k..就叫做剛度影響系數(shù)。ijFk i,j=1,2......即，只在j點(diǎn)作用一單位力時(shí)，在i點(diǎn)需要施加的力的大小。ijxj第四章多自由度系統(tǒng)第一節(jié)lagrange方程

lagrange方程的一般形式可表示為dlagrange方程的一般形式可表示為d何、ST6D 6U()-++-dtSq Sq Sq Sqiiii=Fi=l,2,---,ni式中q是廣義坐標(biāo)，對于n自由系統(tǒng)有n個(gè)廣義坐標(biāo)。F沿廣義坐標(biāo)q方向作用廣義力（力iii矩）。T是系統(tǒng)的動(dòng)能函數(shù)，U是系統(tǒng)的勢能函數(shù)，D是系統(tǒng)的散逸函數(shù)（對于粘性阻尼）。對于線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的勢能lu二2{q}T[k]{q}U=2工藝(-S^Ulu二2{q}T[k]{q}2 SqSqij2ijiji=1j=1ij i=1j=1對于線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的動(dòng)能T=1HKmqq或tJ{qT[M]{q}2 ijij 2i=1j=1對于線性系統(tǒng)，粘性阻尼的散逸函數(shù)為d=1HZqq或d=；{q}T[C]{q}2 ijij 2i=1j=1列出了系統(tǒng)的勢能、動(dòng)能和散逸函數(shù)后，由lagrange方程可得n自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程[M]{q+C]q（+}Kq=}F{t第二節(jié)無阻尼自由振動(dòng)和特征值問題N自由度無阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：[M]{q}+[K]{q}={0}它表示由下面n個(gè)齊次微分方程組成的方程組工m+工kq=0 i=1,2,---,nij ijji=1 j=1首先，寫出系統(tǒng)的特征行列式 IK-九M=]I,0解該方程得出系統(tǒng)的固有頻率w,w，…w。n1n2 nn然后，將w,w，…w代入方程（[K]-X[M]）{u}={0}求得{u}，{u}叫做特征n1n2 nn r r rr向量、固有向量或模態(tài)向量。最后，求得方程的通解

{q(t)}={q(t)}=工{q(t)}=》rA{u}sin(wt+屮)rrnrrr=1 r=1=[u]{Asin(wt+屮)}n第三節(jié)特征向量的正交性和主坐標(biāo)對于一個(gè)n自由度系統(tǒng)，其第r階特征值九=W2對應(yīng)的特征向量為{u},其第s階特征TOC\o"1-5"\h\zrnr r值九=W2對應(yīng)特征向量為{u}，它們都滿足方程([K]-X[M]){u}={0}，因而有sns s r r[K]{u}=w2[M]{u}r nr r\o"CurrentDocument"[K]{u}=w2[M]{u}s ns s經(jīng)過一些列變換得到{u}t[M]{u}=0r豐ssr{u}t[K]{u}=0r豐ssr這兩個(gè)式子表示了系統(tǒng)特征向量的正交關(guān)系，是對質(zhì)量矩陣[M],剛度矩陣[K]加權(quán)正交。方程[M]{q}+[K]{q}={0}存在著耦合，為了描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，我們選擇另一組廣義坐標(biāo){q}有下面的線性變換關(guān)系{q}=[u]{p}得[M][u]{p}+[K][u]{p}={0}解方程得p=Asin(wt+屮)r=1,2,---,nrrwrr或 {p}={Asin(wt+屮)}n沿著第r個(gè)廣義坐標(biāo)p(r=1,2,---,n)只發(fā)生固有頻率為w (r=1,2,---,n)的簡諧振動(dòng)，這r wr組廣義坐標(biāo){p}叫做主坐標(biāo)。這時(shí)對于廣義坐標(biāo){q}，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為{q(t)}=[u][p]=[u]{Asin(wt+屮)}n第四節(jié)對初始條件的響應(yīng)和初值問題N自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)表達(dá)式為{q(t)}==￡A{u}sin(wt+屮)=[u]{Asin(wt+屮}rrnrr nrr=1為計(jì)算A和屮做下面的變換rrAsinW片屮 手Dcow+Esiwtrnrrrnrrnr解得 {D}二[u卜i{q},{E}二[w卜i[u卜i{q}0n0第五節(jié)半確定系統(tǒng)有一個(gè)或幾個(gè)固有頻率等于零的系統(tǒng)叫做半確定系統(tǒng)。并且具有半正定剛度矩陣［K］的系統(tǒng)是一個(gè)半確定系統(tǒng)。第六節(jié)具有等固有頻率的系統(tǒng)在微分振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為mq+2kq二011mq+2kq二022它們有兩個(gè)相等的固有頻率，是一個(gè)退化的系統(tǒng)。線性代