高考數(shù)學（新高考版）一輪復習教師用書素養(yǎng)提升5高考中圓錐曲線解答題的提分策略

素養(yǎng)提升5高考中圓錐曲線解答題的提分

策略

信畋［2019全國卷I,12分］己知拋物線。：戶=3乂的焦點為F,斜率為的直線/與C的交點為

4,8,與x軸的交點為2

(1)若|+|8F|=4,求」的方程;

(2)若4P=3PB,求|A8|.

思維導引乂1)設(shè)出直線I的方程:片彳+t,求出t值，即得直線/的方程.(2)先通過方程思想及向量

運算求出A,B兩點的縱坐標，進而得A,B兩點的橫坐標，再利用兩點間的距離公式求得M8|.

規(guī)范解答〉設(shè)直線/:y=1x+t,^(xi,yi),fi(x2,y2)...........................................①

⑴由題設(shè)得F?,0),根據(jù)拋物線的焦半徑公式可知：|〃|+|8F|=Xr*g由題設(shè)可得M+X2*

...............................................................................②

由[y-5"+"可得9x2+12(tl)x+4f2=o............................................(3

ky2=3x

則A=(12t12)2144t2>0,所以t<1

所以Xi+X2=用

從而^，得仁

所以/的方程為片，%..........................................................④

28

3

(2)由-可得y22y+2t=0,則4=(2)24x2t>0,所以fV.....................6

[y2=3x2

所以yi+/2=2.

由力P=3PB可得yi=3y2.

從而3y2+yz=2,故力=l,yi=3....................................................⑥

代入C的方程得XI=3,X2=1?........................................................(Z

故|481=J(3-?2+(3+1)2二手.................................................⑧

得分點

①利用待定系數(shù)法設(shè)出直線的方程得1分；

第⑴問

②根據(jù)拋物線的焦半徑公式求出Xi+X2考得1分；

采點得6分

③準確消元得到關(guān)于x的一元二次方程得1分；

閱卷分說明

④求得最終結(jié)果得3分.

現(xiàn)場

第⑵問⑤得到關(guān)于y的一元二次方程得1分；

采點⑥求出外力的值得2分；

6分

得分說⑦求出X1,X2的值得1分；

明⑧求出|48|得2分.

1.解決圓錐曲線解答題的關(guān)鍵點

利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系及整體思想是解題的關(guān)鍵.

2.利用待定系數(shù)法求方程

利用待定系數(shù)法求直線的方程時，若已知直線上一點，通常設(shè)點斜式方程，若已知直線的

斜率，往往設(shè)斜截式方程，如本例的第⑴問.設(shè)直線的點斜式方程時，應注意考慮直線的

滿分

斜率不存在的情況，這一點易忽視.

策略

3.圓錐曲線與其他知識的交匯問題的處理技巧

圓錐曲線問題時常與平面向量、不等式、函數(shù)與方程等內(nèi)容密切聯(lián)系，解題時應設(shè)法將

題設(shè)條件轉(zhuǎn)化到根與系數(shù)的關(guān)系上來，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入法解題，達

到設(shè)而不求的目的.

4.解決軌跡問題的常用方法

軌跡問題也是?？嫉囊环N題型,注意定義法、直接法、相關(guān)點法在求解中的靈活運用.

國/2[2017全國卷I,12分]已知橢圓C：5+專=l(a>b>0),四點

Pl(l,l),P2(0,l),P3(1凈,P4(l凈中恰有三點在橢圓C上.

(1)求C的方程；

⑵設(shè)直線/不經(jīng)過P2點且與C相交于A8兩點.若直線P2八與直線P28的斜率的和為1,證明:/

過定點.

給什么自尸2/3,打中恰有三點在橢圓C上=有且僅有一點不在橢圓C上，由于P3和P4關(guān)于y軸對稱橢圓C也關(guān)于y軸

得什么對稱，因而P3,Pa必在橢圓C上因此只需判定P1和P2哪一個不在桶圓C上即可.

求什么要證明/過定點，應先考慮/與X軸垂直時是否過定點，當/的斜率存在時，可設(shè)/的方程為y=kx+m,代入橢圓方程，

想什么利用kpzA+kp2B=1可得到k關(guān)于m的關(guān)系式,再代入/的方程中,整理后即可判斷1是否過定點.

規(guī)范解答〉⑴因為P3,P4兩點關(guān)于V軸對稱，橢圓c也關(guān)于y軸對稱，所以桶圓C經(jīng)過P3,P4兩點.

又由3+/>J+.知，橢圓C不經(jīng)過點Pl,所以點P2在橢圓C上...........11

1

=2

_居

爐-4

因此

1,3解得

12

+/113分(得分點2)

7=X-

，

故橢圓C的方程為『必二15分(得分點3)

⑵設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為kM.

如果/與x軸垂直，設(shè)/：x=t,由題意知E0,且11|<2,可得48的坐標分別為匕字),仁華).

則h+k2=3善一一包薯=1,解得匕2,不符合題意.......................6

從而可設(shè)/：y=kx+m(mwl).將y=kx+m代入3y?=i得,”2+1*+8癡*+4m?4=0.7

由題設(shè)可知4=16(4/m2+l)>0.

設(shè)4%,力),8(x2,力),則xi+x=尚哭二..............8

2*T*1*tK十1

而ki+k2d+也

*1*2

kxi+m-1.M+mT

:---------------F

X】X2

/肛了2+(什1)3+*2)

xlx2

由題意得,ki+6=1,故(2k+l)xiX2+(ml)(xi+x2)=0.

即(2A+1).蕓#(m1)含0....................................................................................10

解得k=等.

當且僅當m>1時,4>0,.............................................................................................11分(得分點8)

于是/：片啜+m,即y+l=芋(x2),

所以/過定點(2,1)....................................................................................................12

。感悟升華

本題第⑴問源于人教A版《選修21》教材第40頁例1,

主要考查利用待定系數(shù)法及方程思想求曲線方程.

教材

本題第⑵問源于人教A版《選修21》教材第41頁例3,

探源

主要考查利用斜率公式研究幾何問題，充分考查學生解決

綜合問題的能力.

素養(yǎng)考查途徑

素養(yǎng)數(shù)學運算橢圓方程的求解.

探源點與橢圓的位置關(guān)系、直線與

直觀想象

橢圓的位置關(guān)系.

1.根據(jù)點的坐標建立方程組，從

而求解參數(shù)。力.

2.聯(lián)立直線/與橢圓C的方程，

甲相

方程思想利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

方法

3.利用“斜率之和為1〃這一條

件,建立直線/的斜率與截距的

方程.

討論直線/與X軸的位置關(guān)系，

數(shù)形結(jié)

以及利用橢圓的對稱性確定

合思想

P1,P2,P3,P4中哪些點在橢圓上.

分類討對于直線/的斜率分存在和不

論思想存在兩種情況討論.

1.得步驟分:抓住得分點，”步步為贏〃.第(1)問中,分析隱含信

息，列方程組，從而求出橢圓方程.第⑵問中,通過分類討論

設(shè)出直線方程玲聯(lián)立方程今寫出根與系數(shù)的關(guān)系玲利用公

式化簡求解.

得分

2.得關(guān)鍵分:①列出方程組，②設(shè)出直線方程，③利用根與

要點

系數(shù)的關(guān)靈，④利用斜率公式.這些都是不可少的過程，有則

給分，無則沒分.

3.得計算分:解題過程中計算準確是得滿分的艱本保證，如

得分點3,5,7.

圓錐曲線中定點問題的兩種解法

1.引進參數(shù)法:先引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)，用

參數(shù)表示變化的量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，

答題找到定點.

策略2.從特殊到一般法:先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定

點,再證明該定點與變量無關(guān).

技巧:若直線方程為yyo=k(xxo),則直線過定點(xo,yo);

若直線方程為y=kx+b(b為定值),則直線過定點(0,b).

2

示例E[2018全國卷I,12分］設(shè)橢圓cAy=l的右焦點為F,過F的直線/與C交于A,B兩點,

點M的坐標為(2,0).

⑴當/與X軸垂宜時,求直線AM的方程；

⑵設(shè)。為坐標原點，證明：NO/VM=NOM8.

思維導引噂)先求出橢圓C：｝y2=i的右焦點F的坐標，因為/與x軸垂直，所以可先求出直線/

的方程，然后求出點4的坐標，再利用直線方程的兩點式，即可求出直線AM的方程;(2)對直線/

分三類討論:①當直線/與x軸重合時，直接求出NO/VW=NOM8=0。；②當直線/與x軸垂直時,

可直接證得N0M4=/0M8；③當直線/與x軸不重合也不垂直時，設(shè)/的方程為y=k(x

1)(七0),43,%),8(*2,力),利用斜率公式表示出kw+kMB,把直線/的方程代入橢圓C的方程，消去

y轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可證明加戶口8=0,從而證得

/OMAMOMB.

規(guī)范解答>(1)由已知得F(l,0),/的方程為x=l..........................................1分

代入橢圓方程可得，點A的坐標為(1凈或(1,乎)...................................21

所以直線4M的方程為丫=條+應或y4xV2.....................................3分

(2)當/與x軸重合時,NOMA=NOM8=0。..........................................4分

當/與x軸垂直時,OM為線段48的垂直平分線，所以NOMXNOM8..................5分

當/與x軸不重合也不垂直時，設(shè)/的方程為y=k(xl)(k*0),4(xi,yi),B(X2,y2)............

則y/2<xi<V2,&<X2<&,直線的斜率之和為%+如8=三+弋.

由yi=kxik,y2=kx2k得,

2〃打”2?3〃(*[+工2)+4〃

AMA+AM8=8分

(Xi-2)(x2-2)

將y=k(x1)代入三必=1得

(2k2+l)x2^k2x+2k22=0,易知4>0..................................................9分

所以XI+X2=;^,XIX2=^..........................................................10分

4fc3-4fc-12fc3+3k3+4k

則2kxixz3k(xi+X2)+4k=

2k2+1=0.

從而A/VM+AMIO,故直線MA,MB的頸斜角互補.

所以NO/VM=NOM8............................................................11分

綜上,N0M4=N0M8...........................................................12分

。感悟升華

真題互鑒:本題來源于2015年新課標全國I理科數(shù)學第20題,具體如

下.

命題在直角坐標系xOy中，曲線C：y=:與直線/:片kx+a(a>0)交于M,N兩點.

探源⑴當k=0時,分別求C在點M和/V處的切線方程.

⑵y軸上是否存在點P,使得當k變動時，總有NOPM=NOPN?說明理

由.

2018年的全國卷I的第19題只是把2015年新課標全國I的第20題

的"拋物線〃變?yōu)椤皺E圓〃，仍然考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，都是

“求方程〃與“證明等角〃問題，只是去掉了原來的是否存在型的“外包

命題裝''.在強調(diào)命題改革的今天，通過改編、創(chuàng)新等手段來賦予高考典型試

探源題新的生命，已成為高考命題的一種新走向.所以我們在復習備考的

過程中要注意對高考真題的訓練，把握其實質(zhì)，掌握其規(guī)律，規(guī)范其步

驟，做到"胸中有高考真題”,這樣我們在考場上才能做到以不變應萬

變.

1.第⑵問中沒有討論直線與X軸重合以及與X軸垂直的特殊情形.

失分

2.沒有勾畫圖開?，以致沒有將證明"NOMA=/OMB〃轉(zhuǎn)化為證明

探源“k/lM+k8M=0".

3.計算失誤:如在第⑴問中求直線方程時出錯，在第(2)問的運算過程

中出錯等.

4.得到"AM+A8M=0"后沒有說明直線AM與的傾斜角互補，直接得出

結(jié)論"NOMA=NCM8”而丟失1分.

5.最后沒有下結(jié)論，以致丟失“收官〃的1分.

1.得步驟分:抓住得分點，“步步為嬴”.第⑴問中,求出點4的坐標，從而

求得直線AM的萬程.第⑵問中，求出kMA+kM8=0,判定直線MA,MB的

傾斜角互補，從而得出NOM6NOM8.

2.得關(guān)鍵分:解題過程不可忽視關(guān)鍵點，有則給分，無則沒分.如第⑴問

滿分

中求出點八的坐標,第⑵問中討論直線與X軸是否重合或垂直，將

策略

22

y=k(x1)代入%y2=i得(2/+1*4^x+2/c2=0.

3.得計算分:解題過程中計算準確是得滿分的根本保證.如第(1)問中要

正確求出點4的坐標與直線AM的方程，第⑵問中要正確求出

Xl+X2=2：：+］，XlX2=；：z：r進而求出l(MA+l(MB=0.

破解此類圓錐曲線問題的關(guān)鍵:一是"圖形〃引路，一般需畫出大致圖

形，把已知條件翻譯到圖形中，利用直線方程的點斜式或兩點式，即可

提分

快速表示出直線方程;二是“轉(zhuǎn)化”橋梁，即先根據(jù)圖形的特征把要證的

探源

兩角相等轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系,再把直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用

根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式即可證得結(jié)論.

2

1［2020洛陽市第一次聯(lián)考,12分］已知拋物線Ci：x=4y的焦點F也是柄圓C2：^+^=l(a>b>0)

的一個焦點,G與G的公共弦的長為2遍.

(1)求橢圓C2的方程.

(2)過點F的直線/與G相交于A8兩點，與C2相交于C,D兩點，且元與而同向.

(i)若|4C|=|80|,求直線/的斜率；

(ii)設(shè)G在點A處的切線與X軸的交點為M,證明:當直線/繞點F旋轉(zhuǎn)時,Z\MFD總是鈍角三

角形.

2.[2020陜西省部分學校摸底檢測,12分]已知圓。*+尸=1和拋物線E.y=x22,O為坐標原點.

(1)己知直線/與圓。相切，與拋物線E交于M,N兩點,且滿足OMJ_OM求直線I的方程；

⑵過拋物線E上一點P(xo,yo)作兩條直線PQ,PR與圓。相切，且分別交拋物線E于Q,R兩點,

若直線QR的斜率為V5,求點P的坐標.

3.[2020江西紅色七校第一次聯(lián)考,12分]如圖51,

圖51

已知點M(2,l)在橢圓C5+：l(O>b>0)上，點4,8是長軸的兩個端點，上拓J?麗=3.

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)已知點E(l,0),過點M(2,l)且斜率為k的直線/與橢圓的另一個交點為N,若點E總在以MN

為直徑的圓內(nèi)，求直線/的斜率k的取值范圍.

4.[2019安徽宣城二模,12分]已知桶圓C的方程為?+?=1,4是橢圓上的一點，且點4在第一

象限內(nèi)，過點A且斜率等于1的直線與橢圓C交于另一點8,點A關(guān)于坐標原點的對稱點為D.

(1)證明:直線BD的斜率為定值；

(2)求△480面積的最大值.

5.[12分]已知動圓C過定點F(l,0),且與定直線x=l相切.

(1)求動圓圓心的軌跡E的方程.

⑵過點M(2Q)的直線/與軌跡E交于不同的兩點P,Q試探究在x軸上是否存在定點N(異于

點M),使得NONM+NPA/ME,若存在，求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

素養(yǎng)提升5高考中圓錐曲線解答題的提分策略

1.⑴由G：x2=4y知其焦點F的坐標為(0,1).

因為F也是橢圓C2的一個焦點，所以a2b2=1①.

又G與C2的公共弦的長為2遍,G與Ci都關(guān)于y軸對稱，且G的方程為*2=4%由此易知Ci與

C2的公共點的坐標為(土通,》

所以2+②，

由①②，解得〃=9,按=8.

故橢圓Ci的方程為g+^-=1.（4分）

9o

⑵如圖D51,設(shè)4(xi,Vi),8的,V2),C(X3，V3),0(X4,%).

圖D51

⑴因為前與而同向，且|4C|=|BD|,所以無二麗,

從而X3Xl=*4X2,即XiX2=X3X%

于是（X1+X2）24X1X2=（X3+X4）24X3*4③.

設(shè)直線/的斜率為A,則/的方程為片版+1（易知上0）.

」（y=kx+1”、

由］?.得x?4kx4=0/i>0.

W=4y,

則Xi+X2=4k,XiX2=4（4）.

（y=kx+1,

由?,/得（9+8/片+16收64=0A>0.（6分）

（—I—=L

8

則鵬=繇M=謂?-

將④⑤代入③，得16伙2+1)=0：4+占^，

即16件+1）=苓&,

所以(9+8的2=16x9,解得匕士當即直線I的斜率為卑（8分）

(ii)由x2=4y得/與所以Ci在點A處的切線方程為vyi趣xxi),

即y呼一條令片0,得x喙即M仔,0),

所以麗=借1).（10分）

又?1),于是同?前=與九+14+1>0,

24

因此N4FM是銳角，由NMFD=18(TZAFM得NMFD是鈍角.

故當直線/繞點F旋轉(zhuǎn)時,△MFD總是鈍角三角形.(12分)

2.(1)由題意知直線/的斜率存在，設(shè)l'.y=kx+b,M(xi,yi),N(X2,y2).

由直線/與圓。相切，得以=1,

所以b2=k2+l.

由，一:f：'消去y得x2kxb2=Q,A>0.

所以Xi+X2=k,XiX2=b2.(2分)

由。/14_1_。/7,得兩?而=0,即xix2+yiy2=O,

所以xiX2+(kxi+b)(kx2+b)=0,

所以(l+k2)xiX2+kb(xi+X2)+b2=0,

所以b2(b2)+(b2l)b+b2=O,

解得b=1或b=0(舍去).

所以k=0,故直線I的方程為y=1.(5分)

⑵設(shè)Q(X3M),R(x%y4),則直線RQ的斜率k叩漢=些生絲2=X3+X%

X3-X4X3-X4

所以X3+X4=V3.

由題意知直線PQ,PR的斜率均存在，即年工1.

設(shè)PQ："o=ki(xxo),由直線PQ與圓。相切，得寫圖=1,即(%l)k?2xo"ki+九1=0,

設(shè)PR：yyo=k2(xxo)洞理可得(考1)%2xoyok2+y11=0.

故Ai,kz是方程(用DMZxoyo^+yj1=0的兩個根，

所以k1+k2韋.(8分)

由｛；-:廣j*1*°'得Mhx+kixoy02=0,故x0+X3=ki,

同理可得xo+XA=k2t

貝(12x()+X3+X4=ki+k2,即2xoV3=2X02

x

所以2xoV3=2：；；2),解得x0=弓或o=V3.(11分)

當*0=.時,yo=g；當Xo=b時,yo=l.

故點P的坐標為(y,9或(百,1).(12分)

3.⑴由已知可得卸a,0),8(a,0),則稔?麗=(a2,l)(a2,1)=3,解得a2=8.

又點M(2,l)在橢圓C上，所以芍+白1,解得b2=2,

ob

所以橢圓C的標準方程為?+?1.(4分)

(2)設(shè)N(x1,yi),直線/的方程為y=k(x2)+1,代入橢圓C的方程消去y得(4K+l*+4(2k4k2)x+4(4k2

4k1)=0,ZJ>0,(6分)

則22喘2即3喘2則H嗤F(8分)

因為點E總在以MN為直徑的圓內(nèi)，

所以必有面展由<0,即(l，D(Xi1向=xi+yi1<0,(10分)

將xi,yi代入上式得筆等+寫?<0,解得k>i

4M+14Y+16

所以滿足條件的直線/的斜率k的取值范圍是(3+8).(12分)

6

4.⑴設(shè)。的必),8(X2%),則4(xi,2,直線BD的斜率k=2.

立*1

因為。,8兩點都在橢圓上,

所以9+爭1①3+.②,（2分）

由②①得箸如焉

因為Q五區(qū)1,所以匕漢=今

*1+彳2xrxi2

故直線BD的斜率為定值，（5分）

(2)連接。8,因為A,D兩點關(guān)于原點對稱，所以S"80=2S&080.

由⑴可知直線BD的斜率設(shè)直線BD的方程為片夕+t,

因為點D在第三象限，所以V2<f<l且-0.

點0到直線BD的距離（7分）

由匕9+"消去y并整理得3乂+例+4產(chǎn)8=0,易知4>0,則xi+x2=%的="2（9分）

H33

所以|8D|=J1+C）2X而+m2.4/型=[XJ（-（）2.4X警二1X理科（10分）

所以S&M