專題61圖形的相似（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（蘇科版）

專題6.1圖形的相似（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)1】比例線段定義：在四條線段中，如果與的比等于與的比，即，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．【知識(shí)點(diǎn)2】比例線段的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：；（2）合比性質(zhì)：?＝；（3）等比性質(zhì)：；【知識(shí)點(diǎn)3】平行線分線段成比例定理兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若l3∥l4∥l5，則，.【知識(shí)點(diǎn)4】平行線分線段成比例推論推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若∥，則，.【知識(shí)點(diǎn)5】黃金分割點(diǎn)把線段分成兩條線段和，如果，那么線段被點(diǎn)黃金分割．其中點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，與的比叫做黃金比．【知識(shí)點(diǎn)6】相似多邊形的性質(zhì)（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.（2）相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【知識(shí)點(diǎn)7】相似多邊形的判定(1)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似．(4)滿足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.【知識(shí)點(diǎn)8】相似三角形的性質(zhì)（1）對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例．（2）周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方．（3）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比．【知識(shí)點(diǎn)9】相似三角形的應(yīng)用測(cè)量物體的高度：利用影長(zhǎng)、利用標(biāo)桿、利用鏡子.【知識(shí)點(diǎn)10】相似三角形的常見模型“A“A”型斜“A”型“母子型”字型““X”型斜“X”（蝴蝶）型射影定理模型一線一線三直角型一線三等角【知識(shí)點(diǎn)11】位似圖形的定義性質(zhì)與畫法定義如果兩個(gè)圖形不僅形狀相似，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比.位似圖形性質(zhì)：位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.位似圖形的畫法：（1）確定位似中心；（2）確定原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；（3）描出新圖形.【考點(diǎn)一】比例的基本性質(zhì)與成比例線段【例1】（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）（1）若，則___________；（2）若，則___________；（3）若，則___________．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）對(duì)化簡(jiǎn)得，再把代入，即可；（2）根據(jù)，得，把的值代入，即可；（3）對(duì)化簡(jiǎn)，得，把的值代入，即可解：（1）∵，∴；故答案為：．（2）∵，∴，∴，故答案為：．（3）∵，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】考查比例性質(zhì)運(yùn)用中的基本計(jì)算，關(guān)鍵是掌握比例的基本性質(zhì)．【舉一反三】【變式1】（2023下·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則的值是A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等式性質(zhì)，可用y表示x，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．解：由，得，當(dāng)時(shí)，，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了比例的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)得出y表示x是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）（1）是和的比例中項(xiàng)，則；（2）是和的比例中項(xiàng)，則；（3）線段厘米，厘米，則線段和的比例中項(xiàng)是．【答案】厘米【分析】（1）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義求出a與b的積，再整體代入求解即可．（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義即可求解．（3）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義即可求解．解：（1）由題意可知，由此，所以；故答案為：．（2）由題意可知，可解得；故答案為：．（3）因?yàn)?、都為線段，因此其比例中項(xiàng)只能是線段，取正值，即為（厘米）．故答案為：厘米．【點(diǎn)撥】本題考查了比例中項(xiàng)的定義，注意線段比例中項(xiàng)和數(shù)字比例中項(xiàng)的區(qū)別．【考點(diǎn)二】黃金分割【例2】（2022上·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段上一點(diǎn)，若滿足，則稱點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)．現(xiàn)設(shè)的長(zhǎng)為1．（1）求的長(zhǎng)；（2）若令，，記，，，，求的值．【答案】（1）；（2）5050【分析】（1）根據(jù)可得方程，解方程即可求解；（2）由，，可得，通分化簡(jiǎn)可得：，，依據(jù)規(guī)律可得：，即問題得解．解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴整理有，∴解得：，（負(fù)值不符合題意，舍去）即的長(zhǎng)為：；（2）∵，，∴，∴，，同理可得：，∴，即答案為：5050．【點(diǎn)撥】本題主要考查了解一元二次方程，分式的化簡(jiǎn)求值以及黃金分割的概念等知識(shí)，掌握分式的化簡(jiǎn)求值是解答本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)畫線段的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過點(diǎn)B作的垂線，取的中點(diǎn)M，以點(diǎn)B為圓心，為半徑畫弧交射線于點(diǎn)D，連接，再以點(diǎn)D為圓心，為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，最后，以A為圓心，“■■”的長(zhǎng)度為半徑畫弧交于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“■■”指的是線段（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)作圖可知，，，設(shè)，則，，求出，得出，即可得出結(jié)論．解：根據(jù)作圖可知，，，設(shè)，則，∴根據(jù)勾股定理可得：，∴，∴，∴以A為圓心，“”的長(zhǎng)度為半徑畫弧交于點(diǎn)H，點(diǎn)H即為的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，故A正確．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，黃金分割，解的關(guān)鍵是求出．【變式2】（2022上·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在某校的2022年新年晚會(huì)中，舞臺(tái)AB的長(zhǎng)為20米，主持人站在點(diǎn)C處自然得體，已知點(diǎn)C是線段AB上靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則此時(shí)主持人與點(diǎn)A的距離為米．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割比例進(jìn)行求解即可．解：∵C是線段AB靠近B的黃金分割點(diǎn)，∴米，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了黃金分割比例，熟知黃金分割比例是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】平行線分線段成比例及其推論【例3】（2021上·江蘇泰州·九年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí)）如圖1，在等邊中，，點(diǎn)D是直線上一點(diǎn)，在射線上取一點(diǎn)E，使，以為邊作等邊，連接．（1）若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，則__________，_________；（2）如圖2，連接，當(dāng)點(diǎn)D由中點(diǎn)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，點(diǎn)D在延長(zhǎng)線上，連接，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；；（2），見分析；（3）【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BDC=90°，CD=1，再利用勾股定理得出AE=AD=，從而得出DE的長(zhǎng)，繼而根據(jù)勾股定理即可得出EC的長(zhǎng)；（2）根據(jù)SAS得出即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，從而得出，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論解：∵等邊，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴CD=，∠BDC=90°，∴，∵等邊，且AD=AE，∴DE=2，∴；（2）∵在等邊和等邊中，∴∴∴∴（3）∵∴，又∵等邊∴∴是直角三角形，，∴又∵是等邊三角形，∴∵，∴，∴【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2021·山東德州·中考真題）將含有的三角板按如圖所示放置，點(diǎn)在直線上，其中，分別過點(diǎn)，作直線的平行線，，點(diǎn)到直線，的距離分別為，，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)交于點(diǎn)，由，得三角形BCM為等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三邊長(zhǎng)比及等腰直角三角形的邊長(zhǎng)比，設(shè)BC為x，可得MA為，再由平行線分線段成比例求解．解：設(shè)交于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，三角形為等腰直角三角形，在Rt△ABC中，設(shè)長(zhǎng)為，則，∵，∴，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，含特殊角直角三角形的性質(zhì)及平行線分線段成比例，解題關(guān)鍵是掌握含特殊角的直角三角形的邊長(zhǎng)比．【變式2】（2022下·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知，若，，則．【答案】【分析】由平行線分線段成比例定理得到，再代入計(jì)算即可．解：，，即，∴，故答案是：．【點(diǎn)撥】考查了平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是運(yùn)用其定理得到．【考點(diǎn)四】多邊形的性質(zhì)及判定【例4】（2022上·浙江杭州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若矩形的一個(gè)短邊與長(zhǎng)邊的比值為，（黃金分割數(shù)），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形（1）操作：請(qǐng)你在如圖所示的黃金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短邊AD為一邊作正方形AEFD．（2）探究：在（1）中的四邊形EBCF是不是黃金矩形？若是，請(qǐng)予以證明；若不是，請(qǐng)說明理由．（3）歸納：通過上述操作及探究，請(qǐng)概括出具體有一般性的結(jié)論（不需證明）【答案】（1）見分析；（2）矩形EBCF不是黃金矩形，理由見分析；（3）若以黃金矩形的短邊為邊在矩形內(nèi)作（截割）正方形，則剩余矩形必為黃金矩形.【分析】（1）如圖，分兩種情況：正方形中，AD的對(duì)邊在矩形的內(nèi)部或外部；（2）矩形EBCF不是黃金矩形，設(shè)AB=a，AD=b（a＞b），則BE=BA+AE=a+b，BE′=BAE′A=ab，由已知得=，所以==÷（1+）=÷（1+）=≠，對(duì)應(yīng)邊不成比例，故矩形EBCF不是黃金矩形；矩形E′BCF′是黃金矩形，理由：==（1）÷=（1）÷=，即對(duì)應(yīng)邊成比例，故兩個(gè)矩形相似.（3）由（1）、（2）可發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若以黃金矩形的短邊為邊在矩形內(nèi)作（截割）正方形，則剩余矩形必為黃金矩形.解：（1）以AD為邊可作出兩個(gè)正方形AEFD與AE′F′D′（AB＞AD），如圖所示（2）矩形EBCF不是黃金矩形，理由如下：設(shè)AB=a，AD=b（a＞b），則BE=BA+AE=a+b，BE′=BAE′A=ab，由ABCD為黃金矩形，得=∴==÷（1+）=÷（1+）=≠∴矩形EBCF不是黃金矩形;矩形E′BCF′是黃金矩形.證明：如圖，∵==（1）÷=（1）÷=∴E′BCF′是黃金矩形（3）由（1）、（2）可發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若以黃金矩形的短邊為邊在矩形內(nèi)作（截割）正方形，則剩余矩形必為黃金矩形.【點(diǎn)撥】本題考核知識(shí)點(diǎn)：相似多邊形.解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記對(duì)應(yīng)邊成比例且對(duì)應(yīng)角相等的多邊形相似.【舉一反三】【變式1】（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，將沿折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．直線為線段的垂直平分線 B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：AB=AF，BE=FE，所以AE垂直平分線段BF，從而可判斷選項(xiàng)A正確；由E是BC的中點(diǎn)，則BE=EC，故有BE=FE=EC，從而可分別判斷選項(xiàng)B、C均正確，從而選項(xiàng)D錯(cuò)誤．解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：AB=AF，BE=FE∴AE垂直平分線段BF∴選項(xiàng)A正確∵E是BC的中點(diǎn)∴BE=EC∴BE=FE=EC∴選項(xiàng)C正確∵FE=EC∴∠EFC=∠ECF∴選項(xiàng)B正確則選項(xiàng)D錯(cuò)誤事實(shí)上，過點(diǎn)E作EG⊥FC于點(diǎn)G∴CF=2GF，∠FEG=∠CEG根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得：∠BEA=∠FEA，∠AFE=∠B=90°∵2∠FEA+2∠FEG=180°∴∠FEA+∠FEG=90°∵∠FEA+∠EAF=∠AFE=90°∴∠FEG=∠EAF∴△FEG∽△EAF∴∵FE=BE=3，AB=4∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE=5∴∴CF=2GF=則選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：D【點(diǎn)撥】本題主要考查了圖形折疊的性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是抓住折疊中的不變量．【變式2】（2022上·陜西西安·九年級(jí)?？计谀捙c長(zhǎng)的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形．古希臘很多矩形建筑中寬與長(zhǎng)的比都等于黃金比，如圖，矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，以AB為邊在矩形ABCD內(nèi)部作正方形ABEF，若AD＝1，則DF＝．【答案】【分析】先根據(jù)黃金矩形求出AB，再利用正方形的性質(zhì)求出AF，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：∵矩形ABCD為黃金矩形，AB＜AD，∴，∴，∵四邊形ABEF是正方形，∴AB=AF=，∴DF=ADAF=，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了黃金分割，相似多邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】相似三角形的性質(zhì)及判定【例5】（2021·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖所示，在平行四邊形中，于，平分交線段于．（1）如果，求證：；（2）一般的情況下，如果，試探究線段、與之間的所滿足的等量關(guān)系（其中，是已知數(shù)）．【答案】（1）證明見分析；（2）nCD=mAF+nBE．【分析】（1）延長(zhǎng)EA到G，使得，連接DG，根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，推出，求出，根據(jù)SAA證明，推出，，求出，推出即可；（2）延長(zhǎng)EA到G，使得，連接DG，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等，兩三角形相似，推出，推出，代入即可求出答案．解：（1）過D作DH⊥BC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，并截取HG=AF，連接DG∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∵于點(diǎn)E∴∴∴在△ABE和△DGA中∴∴∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∵∴∴∴∴（2）nCD=mAF+nBE.理由是：延長(zhǎng)EA到G，使得，連接DG，即因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形所以AB=CD，，AD=BC，因?yàn)橛邳c(diǎn)E所以∠AEB=∠AEC=90°所以∠AEB=∠DAG=90°所以∠DAG=90°，即∠AEB=∠GAD=90°因?yàn)樗运浴?=∠2，，所以∠GFD=90°∠3因?yàn)镈F平分∠ADC所以∠3=∠4所以∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°∠FAD∠3=90°∠3所以∠GDF=∠GFD所以DG=GF因?yàn)?，AB=CD（已證）所以nCD=mDG=m即nCD=mAF+nBE.【點(diǎn)撥】本題考查了三角形綜合問題，掌握平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、相似三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022·四川德陽·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形中，點(diǎn)G是上一點(diǎn)，且，連接交對(duì)角線于F點(diǎn)，過D點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)求得，根據(jù)，求得，從而求得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，在中，勾股定理即可求解．解：如圖，過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，中，，，，，，，，，中，．故選D【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2021·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）如圖，在中，，，，過點(diǎn)作，且，過作，交于點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)，，得到，再根據(jù)，得到點(diǎn)在線段的垂直平分線上，從而得到，，因此得到當(dāng)與重合時(shí)，最小，根據(jù)，，可得，，根據(jù)，由相似三角形的判定定理得到，從而可得DP的長(zhǎng)．解：如圖，連接．∵，，∴．又∵，∴DE是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上．∴，，∴要使的周長(zhǎng)最小，只要最小即可．∵，∴當(dāng)與重合時(shí)，最小．∵，，∴，．∵，∴，∴．∴，即．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，垂直平分線的判定與性質(zhì)等知識(shí)．正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六】位似圖形【例6】（2021下·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為AM上一點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N．（1）試探究△ABM與△EDN是否相似，并說明理由．（2）如果F是AM的中點(diǎn)且AB＝12，BM＝5，求CN的長(zhǎng)．【答案】（1）相似，理由見分析；（2）【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出∠EDN=∠B=90°，由余角的性質(zhì)得出∠DEN=∠BAM，即可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，得出DE的長(zhǎng)，再根據(jù)△ABM∽△EDN求出DN的長(zhǎng)即可求解．解：證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EDN=∠B=90°，∴∠BAM+∠DAF=90°，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠E+∠DAF=90°，∴∠E=∠BAM，∴△ABM∽△EDN；（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中點(diǎn)，∴AF=AM=，∵∠E=∠BAM，∠AFE=∠B=90°，△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=，∴DE=AEAD=12=，∵△ABM∽△EDN，∴，即，∴DN=，∴CN=CDDN=12=．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2022上·遼寧阜新·九年級(jí)阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，正方形和正方形是位似圖形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則這兩個(gè)正方形位似中心的坐標(biāo)為（

）

A．或 B．或C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，分兩種情況：一種是當(dāng)點(diǎn)E和C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，G和A是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；另一種是A和E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，C和G是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，分別求出直線的函數(shù)解析式，然后求交點(diǎn)即可．解：∵正方形和正方形中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，（1）當(dāng)點(diǎn)E和C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，G和A是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，位似中心就是與的交點(diǎn).設(shè)所在的直線的解析式為解得∴所在的直線的解析式為當(dāng)時(shí)，，所以與的交點(diǎn)為；（2）A和E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，C和G是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).，則位似中心就是與的交點(diǎn)設(shè)所在的直線的解析式為解得∴所在的直線的解析式為設(shè)所在的直線的解析式為解得∴CG所在的直線的解析式為聯(lián)立解得∴與的交點(diǎn)為綜上所述，兩個(gè)正方形的位似中心的坐標(biāo)是或故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查位似圖形，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析，求位似中心，正確分情況討論是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022上·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市北雅中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角是等腰直角以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為：，點(diǎn)，，在，則點(diǎn)坐標(biāo)為．

【答案】【分析】先把點(diǎn)和點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以得到，，則，接著證明，所以，然后把點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以得到點(diǎn)的坐標(biāo)．解：等腰直角是等腰直角以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為：，而點(diǎn)，，，，，為等腰直角三角形，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了位似變換：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．【考點(diǎn)六】相似三角形綜合——幾何模型【例7】（2020上·四川·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)為在線段上一點(diǎn)，和都是等邊三角形，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）判斷的形狀，并說明理由．【答案】（1）見分析；（2）；（3）見分析【分析】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）由三角形與三角形都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩條邊對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)角相等都為，利用“”即可得到三角形與三角形全等；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可；（3）三角形為等邊三角形，理由為：由第一問三角形與三角形全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，再由，利用平角的定義得到，再由，利用“”可得出三角形與三角形全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到，再由，利用有一個(gè)角為的等腰三角形為等邊三角形可得出三角形為等邊三角形．解：（1）證明：和都是等邊三角形，，，，由平角的定義得，，，在和中，，；（2）由（1）得，，，在中，，，∴在中，；（3）為等邊三角形，理由為：證明：，，又，，即，在和中，，，，，則為等邊三角形．【舉一反三】【變式1】（2020上·四川遂寧·九年級(jí)射洪中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，，點(diǎn)，分別是射線，射線上的點(diǎn)，，與交于點(diǎn)．過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，則的