專題229相似形章末十大題型總結（培優(yōu)篇）（滬科版）

專題22.9相似形章末十大題型總結（培優(yōu)篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】 1【題型2由平行判斷成比例的線段】 1【題型3黃金分割】 1【題型4證明兩三角形相似】 2【題型5證明三角形的對應線段成比例】 2【題型6確定相似三角形的點的個數(shù)】 2【題型7相似與翻折】 2【題型8利用相似求坐標】 2【題型9在網(wǎng)格中作位似圖形】 2【題型10相似三角形的應用】 3【題型1由比例的性質(zhì)求值或證明】【例1】（2023秋·安徽馬鞍山·九年級安徽省馬鞍山市第七中學?？计谥校┮阎猘+bc=b【答案】8或-【分析】觀察(a+b)c=(b+c)a=(c+a)b與(a+b)(b【詳解】設a則a(a+2(即(所以a+b當a+ba+bc=-1所以(a+b)(當k=2(所以(a+故答案為8或1【點睛】做好本題的關鍵是找出a、b、c三個變量間的關系，因而假設a+【變式11】（2023秋·安徽六安·九年級?？计谥校┮阎猘、b、c為△ABC的三邊長，且a【答案】△ABC三邊的長為6，8，【分析】設a3=b4=c5=k，則a【詳解】解：設a3=b4=c5∵a∴3k解得：k=2∴a=3k=6，∴△ABC三邊的長為6，8，10【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式12】（2023秋·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考期中）已知線段a、b滿足a(1)求a、(2)若線段c是線段a、b的比例中項，求【答案】(1)a(2)c【分析】（1）利用a:b=1:2，可設a=k,b=2k（2）根據(jù)比例中項的定義得到c2=ab【詳解】（1）∵∴設a=∵a∴k∴k∴（2）∵c是a、b∴c∵c是線段，c∴c【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a,b,c,d【變式13】（2023秋·廣東珠海·九年級統(tǒng)考期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正數(shù).（1）若ab=2，cd=2，則badc，acbd（用“＞（2）若ab=cd,（3）令ac=bd=t,若分式【答案】（1）=；=；（2）ba+b=【分析】（1）由ab=2，cd=2，得到a=2b，（2）設ab=t，則cd=t，得到a=（3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化簡后解方程即可得出結論.【詳解】（1）∵ab=2，∴a=2b，c=2d，∴ba=d故答案為：==；（2）ba+b=設ab=t∴a=bt，c=dt，∴badc∴ba+b（3）∵ac∴a=ct，b=dt.∵2a+∴2t解得：t=12經(jīng)檢驗：t=12是原方程的解【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)以及解分式方程.設參法是解答本題的關鍵.【題型2平行判斷成比例的線段的運用】【例2】（2023秋·安徽六安·九年級校考期中）如圖，點D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，點M是EF的中點，連接BM

A．320 B．29 C．16【答案】A【分析】過點F作FG∥BN交AC于點G,可證EN=GN．同理，可得AEEC=ADDB=13，EC=3AE，AEEC=BFFC=【詳解】解：過點F作FG∥BN交AC于點∴EN∴EN=∵DE∥∴AEEC∴EC=3∵EF∥∴AEEC∵FG∥∴BFFC∴GC=3設EN=NG=∴EC∴EC=3∴AE=∴AC=∴ENAC故選：A【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理；由平行線得到線段間的數(shù)量關系是解題的關鍵．【變式21】（2023秋·陜西榆林·九年級校考期中）如圖，AD與BC相交于點E，點F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF=2

【答案】6【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論——“平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例”，先由EF∥CD，得EFCD=BF【詳解】解：∵△BCD中，EF∴EFCD∵EF=2，CD∴23∴DFDB∵AB∥∴EFAB∴AB=3【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題的關鍵是從圖形中找準成比例的線段．【變式22】（2023春·安徽合肥·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點，E在BC上，且EC=2BEA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】取CE的中點M，連接DM，根據(jù)三角形中位線定理得DM∥AE，【解答】解：如圖，取CE的中點M，連接DM，∵D是AC邊上的中點，∴DM∥AE∵EC=2∴EFDM=∴EF=∴12∴AE=4∴AFFE故選:B．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和三角形中位線定理，本題輔助線的作法是解題的關鍵．【變式23】（2023秋·四川成都·九年級?？计谥校┤鐖D，已知△ABC，△DCE，△FEG是三個全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG在同一直線上，且AB=3，BC=1，BF分別交AC，DC，DE于P，Q，【答案】1【分析】過點F作FH⊥BG于點H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出EH=HG=12EG=12，F(xiàn)H=EF2-EH2【詳解】解：過點F作FH⊥BG于點∵△ABC，△DCE，∴BC=CE=∠ABC∵FH⊥∴EH=∴FH=∴BH=∴BF=∵∠ACB∴AC∥同理可得：DE∥∴AC∥∴BPBC∵BC=∴BP=∵BP+∴BP=∵∠BCD=180°-∠DCE又∵∠DCE∴∠BCD∴CD∥∴BQQP∴BQ=∴PQ=故答案為：12【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，解題的關鍵是作出輔助線，求出BP=1，BQ【題型3黃金分割的運用】【例3】（2023秋·河南鄭州·九年級河南省實驗中學?？计谥校┪褰切鞘俏覀兩钪谐Ｒ姷囊环N圖形，在如圖所示的正五角星中，點C，D為線段AB的黃金分割點，且AB=2，則圖中五邊形CDEFG的周長為（

A．25-2 B．103 C．【答案】C【分析】根據(jù)點C，D分別為線段AB的右側和左側的黃金分割點，可得AC=BD=5-12AB=【詳解】解：∵點C，D分別為線段AB的右側和左側的黃金分割點，∴AC=BD=5∴CD=BD∴五邊形CDEFG的周長525故選：C．【點睛】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點把線段分為較長線段和較短線段，若較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，則這個點叫這條線段的黃金分割點．【變式31】（2023春·山東威?！ぞ拍昙壭Ｂ?lián)考期末）在學習畫線段AB的黃金分割點時，小明過點B作AB的垂線BC，取AB的中點M，以點B為圓心，BM為半徑畫弧交射線BC于點D，連接AD，再以點D為圓心，DB為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與AD交于E，F(xiàn)兩點，最后，以A為圓心，“■■”的長度為半徑畫弧交AB于點H，點H即為AB的其中一個黃金分割點，這里的“■■”指的是線段．

【答案】AF【分析】根據(jù)作圖可知，∠ABD=90°，DB=DF=BM=12AB，設【詳解】解：根據(jù)作圖可知，∠ABD=90°，設DB=DF=∴根據(jù)勾股定理得，AD=∴AF∴AF∴以A為圓心，“AF”的長度為半徑畫弧交AB于點H，點H即為AB的其中一個黃金分割點．故答案為：AF．【點睛】本題主要考查了勾股定理，黃金分割，解的關鍵是求出AFAB【變式32】（2023秋·遼寧錦州·九年級統(tǒng)考期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，黃金分割在日常生活中處處可見；例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長AB=20米，主持人從舞臺一側B進入，她至少走

【答案】30-10【分析】根據(jù)黃金分割的概念，可求出AP，【詳解】由題意知AB=20BPAP∴AP∴BP=20-(105故主持人從舞臺一側點B進入，則他至少走(30-105)故答案為：30-105【點睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵．【變式33】（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州市立達中學校校考期末）已知線段AB=2，點P是線段AB的黃金分割點（AP

(1)求線段AP的長；(2)以AB為三角形的一邊作△ABQ，使得BQ=AP，連接QP，若QP平分∠【答案】(1)5(2)2【分析】（1）根據(jù)黃金分割點的定義得出BP=（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出P到AQ、BQ的距離相等，可得出S△PAQS【詳解】（1）解：∵點P是線段AB的黃金分割點（AP>∴AP=（2）解：∵QP平分∠AQB∴P到AQ、BQ的距離相等，∴S△又由（1）AP=∵AB=2∴PB=∴AQ=【點睛】本題考查黃金分割點的定義，角平分線的性質(zhì)等知識，解題時要熟練掌握并靈活運用．【題型4證明兩三角形相似】【例4】（2023秋·廣東清遠·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點E，將△BCE繞點C順時針旋轉到△DCF的位置，并延長BE交DF

(1)△BDG(2)BG⊥【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先判斷出∠FDC=∠EBC（2）由三角形的內(nèi)角和定理可求∠DGE【詳解】（1）證明：由旋轉可知：△BCE∴∠FDC∵BE平分∠∴∠DBE∴∠FDC∵∠DGE∴△BDG（2）證明：∵∠EBC=∠GDE∴∠DGE∴BG【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關鍵．【變式41】（2023秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知∠B=∠E(1)求CE的長；(2)求證：△ABC【答案】(1)CE(2)見解析【分析】（1）利用勾股定理求出EF，再用EF-CF即可求出（2）先求出BC的長，得到ABDE=BC【詳解】（1）解：∵DE=15,∴EF=∴CE=（2）證明：∵BF=3，CF∴BC=∵ABDE=6∴ABDE∵∠B∴△ABC【點睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定．熟練掌握勾股定理，相似三角形的判定方法，是解題的關鍵．【變式42】（2023秋·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點D，點M是AC上的一點，連接BM，作（1）求證：ΔBCP~（2）除（1）中的相似三角形外，圖中還有其它的相似三角形嗎？若有，請將它們?nèi)恐苯訉懗鰜?【答案】（1）詳見解析；（2）ΔACD~ΔABC；ΔACD~ΔBCD；ΔBCD【分析】（1）由∠ACB=90°，CD⊥AB證得∠A（2）利用直角與公共角的關系得到ΔACD~ΔABC；ΔACD~ΔBCD；【詳解】（1）∵AB∴∠∴∠A又∵NM∴∠∴∠AMN∴ΔAMN（2）∵AB∴∠ACB=∠ADC=∠BCD=90°，∵∠A=∠A,∴ΔACD~∵∠ABC=∠CBD,∴ΔBCD~∴ΔACD~∵MN⊥∴∠BMN=∠BDP=90°，又∵∠DBP=∠MBN,∴ΔBDP~∴共4對相似三角形：ΔACD~ΔABC；ΔACD~ΔBCD；【點睛】此題考查相似三角形的判定，注意公共角在證明三角形相似中的作用，再由已知條件所給的都是關于角的條件，因此通過證明兩組角分別相等證明兩個三角形相似比較簡單.【變式43】（2023秋·安徽阜陽·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F(1)求證：△ABF(2)若AB=23，AD=4(3)當點F是線段BC的中點時，求證：AF【答案】(1)證明見解析(2)2(3)證明見解析【分析】（1）利用同角的余角相等，先說明∠BAF=∠（2）先利用勾股定理求出BF，再利用相似三角形的性質(zhì)得方程，求解即可．（3）由△ABF∽△FCE，可得ABCF=BFCE=AFEF，結合【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠∵△ADE沿AE翻折得到△AFE∴∠D=∠∵∠BAF+∠∴∠BAF=∠又∵∠B=∠∴△ABF（2）∵四邊形ABCD是矩形，AB=23，∴AB=CD=23∵△ADE沿AE翻折得到△AFE∴AD=AF=4，在Rt△ABF中，BF設CE的長為x，則DE=EF∵△ABF∽△∴BFCE=∴CE?AF即4x=2∴x=即EC=（3）∵△ABF∴ABCF∵F為BC的中點，∴BF=∴ABBF∵∠AFE∴△ABF∴ABAF∴AF【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“矩形的四個角都是直角、矩形的對邊相等”、“折疊前后的兩個圖形全等”、“兩角對應相等的兩個三角形相似”及“相似三角形的對應邊的比相等”是解決本題的關鍵．【題型5證明三角形的對應線段成比例】【例5】（2023春·江蘇·九年級專題練習）如圖，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取【答案】見解析【分析】過點E作EM//AB交BC于點M，可得到△CEM～△CAB，△FEM～△FDB，進而有EM【詳解】如圖，過點E作EM//AB交BC于點∵EM//∴△CEM～△CAB∴EMAB=CEAC∴AB?即ABAC=∵BD∴EMCE=∴ABAC∴AB【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法和性質(zhì)．【變式51】（2023春·江西南昌·九年級統(tǒng)考期末）(1)已知拋物線y=ax2-6x+(2)

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E分別是BC，AB邊上的點，且∠ADE=∠C．求證：BD【答案】（1）y=-3x2-【分析】1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）由AB=AC可得∠B=∠C，由已知條件∠ADE=∠C可證∠BDE=∠CAD，根據(jù)相似三角形的判定定理即可證△BDE∽△CAD，由相似三角形的性質(zhì)可得結論．【詳解】（1）解：由題意得，4a+12+∴拋物線的解析式為y=-3（2）證明：∵AB=AC

∴∠B=∠C∵∠ADB=∠C+∠DAC

∠ADE=∠C．

∠ADB=∠ADE+∠BDE∴∠DAC=∠BDE∴△BDE∽△CAD

∴AC∴BD·故答案為（1）y=-3x2-【點睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關鍵是能夠掌握并熟練運用所學知識．【變式52】（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是邊AB上一點，CE與對角線BD交于點F，且求證：(1)△ABD(2)BD?【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由BE2=EF?EC可證△BEF～△CEB（2）由△BEF～△CEB得到BFBC=BECE，△【詳解】（1）∵BE∴BE∵∠BEF∴△∴∠∵AD∥∴∠∴△ABD（2）∵△BEF∴BF∵△ABD∴AB∴BF∴BE∴BE?【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形判定方法是解題的關鍵．【變式53】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，已知，在△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于D，過B作BE∥CD交AC的延長線于點E.求證：ADDB【答案】證明見解析.【分析】根據(jù)CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，故BC=CE；根據(jù)平行線的性質(zhì)及BC=CE可得出結論．【詳解】解：證明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD．又∵BE∥CD，∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．∵∠ACD=∠BCD，∴∠CBE=∠CEB．∴BC=CE．∵BE∥CD，∴ADDB又∵BC=CE，∴ADDB【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定及性質(zhì)和角平分線定理、平行線分線段成比例定理，關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理和平行線的性質(zhì)．【題型6確定相似三角形的點的個數(shù)】【例6】（2023春·江蘇蘇州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，已知點A（1，0），點B（b，0）（b＞1），點P是第一象限內(nèi)的動點，且點P的縱坐標為b4，若△POA和△PAB相似，則符合條件的P

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用相似三角形的對應邊成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP兩種情況分別求解即可.【詳解】∵點P的縱坐標為b4∴點P在直線y＝b4①當△PAO≌△PAB時，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，則P(1，12)②∵當△PAO∽△BAP時，PA：AB＝OA：PA，∴PA2＝AB?OA，∴b216＝b﹣∴(b﹣8)2＝48，解得b＝8±43，∴P(1，2+3)或(1，2﹣3)，綜上所述，符合條件的點P有3個，故選D．

【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確地分類討論是解題的關鍵.【變式61】（2023春·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）下列五幅圖均是由邊長為1的16個小正方形組成的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的三角形的頂點都在小正方形的頂點上，那么在下列右邊四幅圖中的三角形，與左圖中的△ABC相似的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】可利用正方形的邊把對應的線段表示出來，利用三邊對應成比例兩個三角形相似，分別計算各邊的長度即可解題．【詳解】解：根據(jù)題意得：AC=∴AC∴該三角形為直角三角形，且兩直角邊的比為BCAC第1個圖形中，有兩邊為2，4，且為直角三角三角形，則兩直角邊的比為2，故第1個圖形中三角形與△ABC相似；第2個圖形中，三邊長分別為12+22=∵52則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為1，故第2個圖形中三角形不與△ABC相似；第3個圖形中，三邊長分別為12+22=∵52則該三角形不是直角三角形，故第3個圖形中三角形不與△ABC相似；第4個圖形中，三邊長分別為12+22=∵52則該三角形是直角三角形，兩直角邊的比為2，故第4個圖形中三角形與△ABC相似；故選：B．【點睛】此題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，三角形對應邊比值相等判定三角形相似的方法，本題中根據(jù)勾股定理計算三角形的三邊長是解題的關鍵．【變式62】（2023秋·九年級單元測試）如圖，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=6cm，D是AC上一點，AD=2cm，點P從C出發(fā)沿C→B→A方