專題147全等三角形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（滬科版）

專題14.7全等三角形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】 1【題型2由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】 5【題型3由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】 15【題型4尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】 22【題型5三角形的三邊關(guān)系與全等三角形的綜合】 30【題型6全等三角形的動(dòng)態(tài)問題】 40【題型7全等三角形與坐標(biāo)系的綜合運(yùn)用】 47【題型8全等三角形中的多結(jié)論問題】 57【題型1由全等三角形的判定與性質(zhì)求最值】【例1】（2023春·北京朝陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E為AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD=BE，連接CD，CE，若【答案】4【分析】過點(diǎn)A，B分別作AC的垂線和BC的垂線交于點(diǎn)M，連接MC，ME，先證△ACB≌△MBC，得AB=MC，再證△CAD≌△MBE，得CD=ME，進(jìn)而得出CD+CE=ME+CE，當(dāng)C，E，【詳解】過點(diǎn)A，B分別作AC的垂線和BC的垂線交于點(diǎn)M，連接MC，ME，∵∠ACB=90°，∴AM∥∵M(jìn)B∴AC∥MB，∴∠CAB∵BC=CB，∴△ACB∴AB=∵AD=∴△CAD∴CD=∴CD+當(dāng)C，E，M三點(diǎn)不共線時(shí)，ME+當(dāng)C，E，M三點(diǎn)共線時(shí)，ME+∴CD+CE的最小值是∵∠B=30°，∴AB=2∵AC=2∴AB=4∴MC=∴CD+CE的最小值是故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線找出恰當(dāng)?shù)娜热切问墙獗绢}的關(guān)鍵．【變式11】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長線于點(diǎn)G，若AC=8，AB【答案】22【分析】通過證明△BMH?△CMG可得BH=CG，可得四邊形ACGH的周長即為AC+AB+GH【詳解】解：∵CG∴∠B∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM=在△BMH和△∠B∴△BMH?△CMG∴HM=GM，∵AC=8，AB∴四邊形ACGH的周長=AC∴當(dāng)GH最小時(shí)，即MH⊥AB時(shí)四邊形∵∠A=90°，∴GH∥∴四邊形ACGH為矩形，∴GH=∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8=22，故答案為：22．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定HG的最小值是解題的關(guān)鍵．【變式12】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，連接BD，BD⊥CD，BD平分∠ABC．若P是【答案】3【分析】過D作DE⊥BC于E，DE即為DP長的最小值，由題意可以得到△BAD≌△BED，從而得到DE的長度．【詳解】解：如圖，過D作DE⊥BC于E，DE即為DP長的最小值，由題意知在△BAD和△BED中，∠A∴△BAD≌△BED，∴ED=AD=3，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式13】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，AD平分∠BAC，N是AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,C重合），M【答案】12【分析】在AB取點(diǎn)E，使AE=AN，連接ME，過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，證明△AMN≌△AME，可得CM+MN=CM+MF≤CE，即當(dāng)點(diǎn)C，M，E【詳解】解：如圖，在AB取點(diǎn)E，使AE=AN，連接ME，過點(diǎn)C作CF⊥AB∵AD平分∠BAC∴∠MAN∵AM=∴△AMN∴EM=∴CM+即當(dāng)點(diǎn)C，M，E三點(diǎn)共線時(shí)，CM+∵點(diǎn)到直線，垂線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F重合時(shí)，CE的值最小，即CM+MN的最小值為∵S△即12解得：CF=125，即CM故答案為：12【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，最短距離問題，證明△AMN≌△AME，得到當(dāng)點(diǎn)C，M，E【題型2由全等三角形的判定與性質(zhì)探究線段的和差關(guān)系】【例2】（2023春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）回答問題（1）【初步探索】如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E（3）【拓展延伸】已知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD，若點(diǎn)E在CB的延長線上，點(diǎn)F在CD的延長線上，如圖3【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2【分析】（1）根據(jù)SAS可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG,AE（2）延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，先根據(jù)SAS可判定△ABE≌△ADG，進(jìn)而得出∠BAE=∠DAG（3）在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，先根據(jù)SAS可判定△ABE≌△ADG，再根據(jù)SAS判定△AEF【詳解】解：（1）結(jié)論：∠BAE如圖1，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接在△ABE和△AB=∴△ABE∴∠BAE∵EF=∴EF=在△AEF和△AE=∴△AEF∴∠EAF故答案為：∠BAE（2）仍成立，理由：如圖2，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接∵∠B∴∠B在△ABE和△AB=∴△ABE∴∠BAE∵EF=∴EF=在△AEF和△AE=∴△AEF∴∠EAF（3）結(jié)論：∠EAF如圖3，在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接∵∠ABC∴∠ADC在△ABE和△AB=∴△ABE∴∠BAE∵EF=∴EF=在△AEF和△AE=∴△AEF∴∠FAE∵∠FAE∴2∠FAE∴2∠FAE即2∠FAE∴∠EAF【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．【變式21】（2023春·上?！て吣昙?jí)期末）已知：等邊△ABC邊長為3，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在射線AB、射線BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），將直線DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到直線EF交直線AC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，說明BD+CF＝3的理由．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，請(qǐng)判斷線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．(3)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長線上時(shí)，線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系又如何？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫圖探究，并直接寫出線段BD，CF之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)BD＝CF﹣3，理由見解析(3)若E在線段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延長線上，CF﹣BD＝3【分析】（1）根據(jù)AAS證△DBE≌△ECF，得BD+CF＝CE+BE＝BC＝3即可；（2）根據(jù)AAS證△DBE≌△ECF，得BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，即可得出BD＝CF﹣3；（3）分點(diǎn)E在線段BC上和在BC延長線上兩種情況討論即可．【詳解】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE且∠DEF﹣60°＝∠B，∴∠BDE＝∠FEC，又∵BD＝CE，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴CF＝BE，∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；（2）如下圖，設(shè)G點(diǎn)在FE的延長線，AF與DE交點(diǎn)為H，∴∠DEG＝∠F+∠FHE＝60°，∠BCA＝∠FHE+∠BED＝60°，∴∠F＝∠BED，又∵∠B＝∠FCE＝60°，CE＝BD，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴CF＝BE，∴BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，即BD＝CF﹣3；（3）①若E在線段BC上，設(shè)DE延長線交AC于點(diǎn)I，∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠IEF＝∠IEC+∠CEF＝60°，∠BED＝∠IEC，∴∠BDE＝∠CEF，又∵∠DBE＝∠ECF＝120°，CE＝BD，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴CF＝BE，∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；②若E在BC延長線上，∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠FED＝∠FEC+∠BED＝60°，∴∠BDE＝∠FEC，又∵∠DBE＝∠FCE＝120°，BD＝CE，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴CF＝BE，∴CF﹣BD＝BE﹣CE＝BC＝3；綜上，若E在線段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延長線上，CF﹣BD＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何變換綜合題，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式22】（2023春·陜西西安·八年級(jí)西安益新中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線l，CE⊥直線l（2）組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線l上，并且有∠BDA=∠（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題：如圖3，過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC邊上的高，延長HA交EG于點(diǎn)I，求證：I【答案】（1）見解析；（2）成立，證明見解析；（3）見解析【分析】（1）由條件可證明△ADB≌△CEAAAS，可得（2）由條件可知∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE（3）過E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延長線于N．由條件可知EM=AH=GN，可得【詳解】解：（1）如圖1，∵BD⊥直線l，CE⊥直線∴∠BDA∵∠BAC∴∠∵∠BAD∴∠CAE在△ADB和△∠ABD∴△ADB∴AE=∴DE=（2）DE=如圖2，證明如下：∵∠BDA∴∠DBA∴∠DBA在△ADB和△∠BDA∴△ADB∴AE=BD∴DE=（3）證明：過E作EM⊥HI于M，GN⊥∴∠EMI由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=∴EM=在△EMI和△∠EIM∴△EMI∴EI=∴I是EG的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2023春·上海靜安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=10.5°，AD是∠BAC的平分線，過點(diǎn)A作DA的垂線交BC延長線于點(diǎn)M，若BM

【答案】53°【分析】延長BA至點(diǎn)E，使AE=AC，先求得∠DAC=∠BAD，進(jìn)而證得△【詳解】如圖所示，延長BA至點(diǎn)E，使AE=

∵BE=BA+∴BE=∴∠AEM∵∠BAC=10.5°，AD是∴∠DAC∴∠CAM∠EAM∴∠CAM在△CAM和△AE∴△CAM=△∴∠ACM∴∠ACM∵∠ACM∴3∠AEM∴∠AEM∴∠ABC故答案為：53°．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的定義、多邊形內(nèi)角和等，能根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．【題型3由全等三角形的判定與性質(zhì)求面積】【例3】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，BC=10，AC-AB=5，AD是∠BAC的角平分線，

【答案】12.5【分析】延長AB，CD交點(diǎn)于E，可證△ADE≌△ADCASA，得出AC=AE，DE=CD，則【詳解】解：如圖：延長AB，CD交點(diǎn)于E，

∵AD平分∠∴∠CAD∵CD∴∠ADC在△ADE和△∠ADE∴△ADE∴AC=AE∵AC∴AE-AB=5∵DE∴S∴當(dāng)BE⊥BC時(shí)，S△S△BDC故答案為：12.5．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用三角形中線的性質(zhì)得到S△【變式31】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知四邊形ABCD，連接AC、BD，∠BAC=∠ADC=90°，AB=

【答案】25【分析】如圖，將AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AE，連接DE、CE，則AE=AD=5，∠EAD=∠ADC，【詳解】解：如圖，將AD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AE，連接DE、CE，

∴AE=AD=5∴CD∥∴∠BAC+∠CAD∵AB=AC，∠BAD∴△ABD∴S△故答案為：252【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的判定，平行線間距離相等，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于正確的添加輔助線構(gòu)造全等三角形．【變式32】（2023春·江蘇南京·八年級(jí)南京市科利華中學(xué)校考期中）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，分別以AB、AC、BC為邊在AB同側(cè)作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分面積分別為S1、S2、S3、【答案】6【分析】把圖中四塊陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為三角形面積，通過三角形全等即可轉(zhuǎn)化為S2【詳解】解：連接PE，過點(diǎn)E作EF⊥AM于點(diǎn)F，記DE,AM的交點(diǎn)為K，AE∵AB=BD,∠ACB∴∠CBA=∠∴△CBA≌△故S4=又∵EA=AB,∠AEK=∠BAE∴∠EAK=∠∴△EAK≌△∴EK=而AE=DE，則∵∠MKD∴∠PTE=∠MKD，∴△EPT同理可證△EQA≌△∴S1+∵S1∴2S∴S4故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，利用AAS（或ASA）證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵．【變式33】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)景山中學(xué)校考期末）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，在直線AC右側(cè)作AE⊥AD，且AE=AD．連接BE交直線AC

【答案】45或【分析】添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出線段間的數(shù)量關(guān)系，最后進(jìn)行分類討論即可求解．【詳解】①如圖，過E作EG⊥AC于點(diǎn)

∴∠ACB∴∠DAC∵AE⊥∴∠DAE=90°，即：∴∠ADC在△ADC和△∠ACD∴△ADC∴AC=GE，∴△BMC∴GM=設(shè)CM=2a，則∴GM=CM=2∴AG=∴BD=BC-則S△②如圖，過E作EH⊥AC交AC延長線于點(diǎn)

∴∠ACB∴∠DAC∵AD⊥∴∠DAE=90°，即：∴∠ADC在△ADC和△∠ACD∴△ADC∴AC=HE，∴AC=在△BMC和△∠BMC∴△BMC∴HM=設(shè)CM=2m，則∴HM=CM=2∴AH=∴BD=CD-則S△故答案為：45或4【點(diǎn)睛】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，有關(guān)三角形的面積的求解，解題的關(guān)鍵是正確作出所需要的輔助線．【題型4尺規(guī)作圖與全等三角形的綜合】【例4】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B在直線l上，分別以線段BA的端點(diǎn)為圓心，以BC（小于線段BA）長為半徑畫弧，分別交直線l，線段BA于點(diǎn)C，D，E，再以點(diǎn)E為圓心，以CD長為半徑畫弧交前面的弧于點(diǎn)F，畫射線AF．若∠BAF的平分線AH交直線l于點(diǎn)H，∠ABC=70°，則∠AHB的度數(shù)為．【答案】35°【分析】連接CD，EF．由題目中尺規(guī)作圖可知：BD=BC=AE=AF，CD=EF．可證△CDB≌△FAE，所以∠CBA【詳解】解：連接CD，EF由題目中尺規(guī)作圖可知：BD=BC在△CDB和△CD∴△∴∠∴AF∴∠∵AH平分∠∴∠∵∠∴∠故答案為：35°．【點(diǎn)睛】本題主要考查知識(shí)點(diǎn)為，全等三角形的性質(zhì)及判定、定點(diǎn)為圓心定長為半徑的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．能看懂尺規(guī)作圖，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)及判定、平行線的性質(zhì)及判定，角平分線的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．【變式41】（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）我們通過“三角形全等的判定”的學(xué)習(xí)，可以知道“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等”是一個(gè)基本事實(shí)，用它可以判定兩個(gè)三角形全等；而滿足條件“兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等”的兩個(gè)三角形卻不一定全等．下面請(qǐng)你來探究“兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一個(gè)△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等）．(1)動(dòng)手畫圖：請(qǐng)依據(jù)下面的步驟，用尺規(guī)完成作圖過程（保留作圖痕跡）：①畫EF=BC；②在線段EF的上方畫∠F=∠C；③畫DE=AB；④順次連接相應(yīng)頂點(diǎn)得所求三角形．(2)觀察：觀察你畫的圖形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有____個(gè)；其中三角形____（填三角形的名稱）與△ABC明顯不全等；(3)小結(jié)：經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：______．【答案】(1)見解析(2)2，D'(3)兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作線段，作一個(gè)角等于已知角的步驟作圖即可；（2）根據(jù)所畫圖形填空即可；（3）根據(jù)探究過程結(jié)合全等三角形的判定可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）觀察所畫的圖形，發(fā)現(xiàn)滿足條件的三角形有2個(gè)；其中三角形D'EF（填三角形的名稱）與△故答案為：2，D'（3）經(jīng)歷以上探究過程，可得結(jié)論：兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故答案為：兩邊和其中一邊所對(duì)的角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定，熟練掌握尺規(guī)作圖的方法和全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式42】（2023春·山西·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐：在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們?cè)谝阎切蔚幕A(chǔ)上，經(jīng)過畫圖，探究三角形邊之間存在的關(guān)系．如圖，已知點(diǎn)D在ΔABC的邊BC的延長線上，過點(diǎn)D作∠BDM=∠B且DM//AB，在DM上截取DE=AB

實(shí)踐操作（1）尺規(guī)作圖：作出符合上述條件的圖形；探究發(fā)現(xiàn)（2）勤奮小組在作出圖形后，發(fā)現(xiàn)AC//EF，探究應(yīng)用（3）縝密小組在勤奮小組探究的基礎(chǔ)上，測(cè)得DF=5，CF=1，求線段【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）線段BD的長為9【分析】（1）以B為圓心，任意為半徑畫弧，交AB,BD于G,H,以D為圓心，同等長為半徑畫弧,交DC于L,以L為圓心，GH為半徑，與前弧交于K,連接DK并延長至M,以D為圓心，AB長為半徑，與DM交于E，以A為圓心，任意長為半徑畫弧交AB,AC于點(diǎn)I,J,以E為圓心，同等長為半徑，交EF于N，以N為圓心，IJ長為半徑交前弧于M,（2）根據(jù)平行和（1）中作的圖證明ΔABC≌（3）由（2）的全等得出DF=BC，再根據(jù)線段之間的關(guān)系算出【詳解】（1）以B為圓心，任意為半徑畫弧，交AB,BD于G,H,以D為圓心，同等長為半徑畫弧,交DC于L,以L為圓心，GH為半徑，與前弧交于K,連接DK并延長至M,以D為圓心，AB長為半徑，與DM交于E，以A為圓心，任意長為半徑畫弧交AB,AC于點(diǎn)I,J,以E為圓心，同等長為半徑，交EF于N，以N為圓心，IJ長為半徑交前弧于M

（2）理由如下：在ΔABC和ΔEDF中，∠∴ΔABC≌∴AC=EF，∴AC//（3）由（2）得，ΔABC≌∴DF=∵DF=5∴BC=5∵CF=1∴BD=∴線段BD的長為9．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握尺規(guī)作圖和全等三角形的邊角代換是解題關(guān)鍵．【變式43】（2023春·北京·八年級(jí)校考期中）尺規(guī)作圖之旅下面是一副純手繪的畫作，其中用到的主要工具就是直尺和圓規(guī)，在數(shù)學(xué)中，我們也能通過尺規(guī)作圖創(chuàng)造出許多帶有美感的圖形．尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，只允許使用圓規(guī)和直尺，來解決平面幾何作圖問題．【作圖原理】在兩年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里中，我們認(rèn)識(shí)了尺規(guī)作圖，并學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖完成一些作圖問題，請(qǐng)仔細(xì)思考回顧，判斷以下操作能否通過尺規(guī)作圖實(shí)現(xiàn)，可以實(shí)現(xiàn)的畫√，不能實(shí)現(xiàn)的畫×．（1）過一點(diǎn)作一條直線．()（2）過兩點(diǎn)作一條直線．()（3）畫一條長為3㎝的線段．()（4）以一點(diǎn)為圓心，給定線段長為半徑作圓．()【回顧思考】還記得我們用尺規(guī)作圖完成的第一個(gè)問題嗎？那就是“作一條線段等于已知線段”，接著，我們學(xué)習(xí)了使用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，作角平分線，過直線外一點(diǎn)作垂線……而這些尺規(guī)作圖的背后都與我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)原理密切相關(guān)，下面是用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的方法及說理，請(qǐng)補(bǔ)全過程．已知：∠AOB．求作：∠A'作法：（1）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；（2）畫一條射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交（3）以點(diǎn)C'為圓心，____________________（4）過點(diǎn)D'畫射線O'B說理：由作法得已知：OC求證：∠證明：∵∴ΔOCD?Δ所以∠A'O【小試牛刀】請(qǐng)按照上面的范例，完成尺規(guī)作