重慶市南開(kāi)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題

高2027級(jí)高一入學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)學(xué)科試題（時(shí)間：120分鐘，滿(mǎn)分150分）一、選擇題（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將正確答案填寫(xiě)在對(duì)應(yīng)括號(hào)里．1.的絕對(duì)值是（）A.2024 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義解答即可．【詳解】的絕對(duì)值是2024．故選：A．2.下面圖形中，中心對(duì)稱(chēng)圖形的個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義判斷.【詳解】在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形．根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義可知，前3個(gè)圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形.故選：C.3.已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（）A. B.3 C. D.6【答案】C【解析】【分析】把點(diǎn)代入反比例函數(shù)中，可直接求的值．【詳解】根據(jù)題意知，將點(diǎn)代入反比例函數(shù)中，可得，化簡(jiǎn)可得.故選：C4.已知，直線，把一塊含有角的直角三角板如圖放置，，三角板的斜邊所在直線交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”求解即可．【詳解】，，直線，，故選：B．5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，位似中心為點(diǎn)O．若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)的坐標(biāo)求出相似比，再根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】∵與是位似圖形，位似中心為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴與的相似比為1:2，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，故選：A6.如圖是由一些同樣大小的三角形按照一定規(guī)律所組成的圖形，第1個(gè)圖有4個(gè)三角形，第2個(gè)圖有7個(gè)三角形，第3個(gè)圖有10個(gè)三角形……按照此規(guī)律排列下去，第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知圖找到圖中三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律，即可求得答案.【詳解】由圖可知：第1個(gè)圖中有個(gè)三角形，第2個(gè)圖中有個(gè)三角形，第3個(gè)圖中有個(gè)三角形，依此類(lèi)推，可知第n個(gè)圖中有個(gè)三角形，故第674個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)是.故選：B7.如圖，估計(jì)的值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能落在（）A.點(diǎn)A處 B.點(diǎn)B處 C.點(diǎn)C處 D.點(diǎn)D處【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，計(jì)算給定式子并估計(jì)即可判斷得解.【詳解】依題意，，而，則，，所以的值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能落在點(diǎn)B處.故選：B8.兩個(gè)半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個(gè)直徑端點(diǎn)與半圓O的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，作于點(diǎn)B，得三角形是等邊三角形，求出，再根據(jù)，即可解答．【詳解】如圖：連接，作于點(diǎn)B，因?yàn)椋芍切问堑冗吶切?，則，可得，則,所以．故選：C．9.如圖，在中，，，將沿BD翻折后得到，將線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段DF，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接EF，ED．若，則的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先證明，得出，再證明≌，得出，再根據(jù)三角形面積公式得出的面積.【詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴,∴，∵，∴，∴，∵，∴≌，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，，∴的面積.故選：A10.如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AB上，，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后停止，連接DP．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，為y．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿BC勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，y與t的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個(gè)結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y的最小值為；④動(dòng)點(diǎn)P沿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)時(shí)刻，分別對(duì)應(yīng)和，若，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】由圖知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，作于點(diǎn)，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判斷①，當(dāng)時(shí)，證明是等邊三角形，即可判斷②，當(dāng)時(shí)，且時(shí)，最小，求出最小值即可判斷③，利用勾股定理分別表示出和進(jìn)行比較，即可判斷④．【詳解】對(duì)于①：由圖知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，作于點(diǎn)，因?yàn)槭堑冗吶切?，點(diǎn)在邊上，，則，可得，所以，故①正確；對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)椋芍堑冗吶切?，則，即，故②正確；對(duì)于③：當(dāng)時(shí)，且時(shí)，最小，因?yàn)?，則，，所以的最小值為，故③正確；對(duì)于④：動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)?，則，由，可知點(diǎn)在上，由①可得：；由，可知點(diǎn)在上，由③可得：；則，即，故④正確；綜上所述：正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4個(gè).故選：D．二、填空題（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將正確答案直接填寫(xiě)在答題卡對(duì)應(yīng)的橫線上．11.計(jì)算：______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)次冪計(jì)算法則求解.【詳解】原式.故答案為：.12.有4張分別印有卡通西游圖案的卡片：唐僧、孫悟空、豬八戒、沙悟凈．現(xiàn)將這4張卡片（除圖案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中隨機(jī)取出1張卡片，然后放回并攪勻，再?gòu)闹须S機(jī)取出1張卡片，則兩次取到相同圖案的卡片的概率為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【分析】寫(xiě)出兩次取到的卡片總情況，再求得相同圖案的卡片的情況，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得兩次取到的卡片總情況由如下16種：（唐僧，唐僧）、（唐僧，孫悟空）、（唐僧，豬八戒）、（唐僧，沙悟凈）；（孫悟空，唐僧）、（孫悟空，孫悟空）、（孫悟空，豬八戒）、（孫悟空，沙悟凈）；（豬八戒，唐僧）、（豬八戒，孫悟空）、（豬八戒，豬八戒）、（豬八戒，沙悟凈）、（沙悟凈，唐僧）、（沙悟凈，孫悟空）、（沙悟凈，豬八戒）、（沙悟凈，沙悟凈）、其中相同圖案的卡片共有4種，即（唐僧，唐僧）、（孫悟空，孫悟空）、（豬八戒，豬八戒）、（沙悟凈，沙悟凈）；因此兩次取到相同圖案的卡片的概率為.故答案為：13.如圖，直線與交于與x軸交于，則不等式組的解集為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】滿(mǎn)足不等式組就是一次函數(shù)的圖象位于正比例函數(shù)的圖象的下方且位于軸的上方部分的取值范圍，據(jù)此求解.【詳解】∵直線與交于與x軸交于，∴不等式組的解集為：.故答案為：.14.如果關(guān)于x的分式方程的解為負(fù)數(shù)，且關(guān)于x的不等式組的解集為，那么符合條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)是__________．【答案】2【解析】【分析】首先解方程和解不等式組得到且，即可得到答案.【詳解】，因?yàn)榍?，所以?因?yàn)?，且的解集為，所以，?所以且，又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以或.符合條件的整數(shù)a的個(gè)數(shù)為2.故答案為：215.已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，那么的值為_(kāi)_________．【答案】1【解析】【分析】把代入計(jì)算即可得解.【詳解】由，得，所以.故答案為：116.如圖，中，，．正方形DEFG的邊長(zhǎng)為，它的頂點(diǎn)D，E，G分別在的邊上，則BG的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)G作于H，可知為等腰直角三角形，又推出≌，可得對(duì)應(yīng)線段相等，結(jié)合勾股定理求出AH的長(zhǎng)，即可求得答案.【詳解】過(guò)點(diǎn)G作于H，由中，，，即為等腰直角三角形，可得，則為等腰直角三角形，則，四邊形為正方形，故，所以≌，則，所以，設(shè)，因?yàn)檎叫蜠EFG的邊長(zhǎng)為，即，因?yàn)?，所以，解得（?fù)值舍），即，所以，又，故，故答案為：17.數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)1…n這n個(gè)自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于n的取法種數(shù)k進(jìn)行了探究.發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，只有一種取法，即；當(dāng)時(shí)，有和兩種取法，即；當(dāng)時(shí)，可得；……若，則k的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，從中，取兩個(gè)數(shù)的和大于，根據(jù)規(guī)律可得.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，從中，取兩個(gè)數(shù)的和大于，這兩個(gè)數(shù)分別是：，，，，，所以.故答案為：.18.如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，連接AE，AF．若，，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)可證得進(jìn)而根據(jù)題意可求,，進(jìn)而可求AB.【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)四邊形是菱形,是CD的中點(diǎn),(ASA),在Rt中,,由勾股定理得.易知,在Rt中,由勾股定理得.設(shè),則,解得.19.一個(gè)兩位正整數(shù)，若滿(mǎn)足各數(shù)位上的數(shù)字均不為，稱(chēng)為“公能數(shù)”，將的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)得到一個(gè)新數(shù)，把放在的左邊組成第一個(gè)四位數(shù)，把放在的右邊組成第二個(gè)四位數(shù)，記．若，都是“公能數(shù)”，個(gè)位上的數(shù)字等于十位上的數(shù)字，且被除余，，則滿(mǎn)足條件的所有的和為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)題意設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為，十位上的數(shù)字為，個(gè)位上的數(shù)字為，可得，，根據(jù)可得或，再結(jié)合被除余可得.【詳解】由題意，設(shè)十位上的數(shù)字為，個(gè)位上的數(shù)字為，則，，，，所以，其中，，設(shè)個(gè)位上的數(shù)字為，十位上的數(shù)字為，個(gè)位上的數(shù)字為，取值分別為中的某個(gè)整數(shù)，則，，因?yàn)?，所以，故或，?dāng)時(shí)，，因被除余，故，當(dāng)時(shí)，，因被除余，故，故所有可能值為、，和為，故答案為：20.如圖，在中，，以其三邊為邊在的同側(cè)作三個(gè)正方形，點(diǎn)I在上，以為直徑的圓交直線于點(diǎn)．若I為的中點(diǎn)，，則__________．【答案】【解析】【分析】利用三角形全等的判定得出，結(jié)合I的位置及勾股定理得出，連接，利用正方形性質(zhì)得出共線，從而判定直徑及圓心的位置，結(jié)合平行線分線段成比例計(jì)算圓心到的距離，再由垂徑定理計(jì)算弦長(zhǎng)即可.詳解】由題意易知，則，而I為DE的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，連接，易知，所以共線，即直徑，假設(shè)圓心為O，分別過(guò)作直線的垂線，垂足依次為，同上易證，可得，所以，解之得，則.故答案為：三、解答題（本大題共7個(gè)小題，每小題各10分，共70分）解答時(shí)每小題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫(huà)出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過(guò)程書(shū)寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置．21.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平方差公式、完全平方公式及多項(xiàng)式與單項(xiàng)式的除法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的除法法則計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】.22.某學(xué)校舉辦的“青春飛揚(yáng)”主題演講比賽分為初賽和決賽兩個(gè)階段.（1）初賽由10名教師評(píng)委和45名學(xué)生評(píng)委給每位選手打分（百分制），對(duì)評(píng)委給某位選手打分進(jìn)行整理、描述和分析下面給出了部分信息.a.教師評(píng)委打分：86889091919191929298b.學(xué)生評(píng)委打分的頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組）；

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)教師評(píng)委9191m學(xué)生評(píng)委90.8n93c.評(píng)委打分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如上：根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：①m的值為_(kāi)_____，n的值位于學(xué)生評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第______組；②若去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評(píng)委打分的平均數(shù)為，則______91（填“”“”或“”）；（2）決賽由5名專(zhuān)業(yè)評(píng)委給每位選手打分（百分制）.對(duì)每位選手，計(jì)算5名專(zhuān)業(yè)評(píng)委給其打分的平均數(shù)和方差.平均數(shù)較大的選手排序靠前，若平均數(shù)相同，則方差較小的選手排序靠前，5名專(zhuān)業(yè)評(píng)委給進(jìn)入決賽的甲、乙、丙三位選手的打分如下：

評(píng)1評(píng)委2評(píng)委3評(píng)委4評(píng)委5甲9390929392乙9192929292丙90949094k若丙在甲、乙、丙三位選手中的排序居中，則這三位選手中排序最靠前的是______，表中k（k為整數(shù)）的值為_(kāi)_____.【答案】（1）①91；4；②（2）甲；92【解析】【分析】（1）①根據(jù)眾數(shù)以及中位數(shù)的定義解答即可；②根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的定義求出8名教師評(píng)委打分的平均數(shù)，即可得出答案；（2）根據(jù)方差的定義和平均數(shù)的意義求解即可.【小問(wèn)1詳解】①由題意得，教師評(píng)委打分中91出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)；45名學(xué)生評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)是第23個(gè)數(shù)，故的值位于學(xué)生評(píng)委打分?jǐn)?shù)據(jù)分組的第4組；②若去掉教師評(píng)委打分中的最高分和最低分，記其余8名教師評(píng)委打分的平均數(shù)為，則，.【小問(wèn)2詳解】甲選手的平均數(shù)為，乙選手的平均數(shù)為，因?yàn)楸诩?、乙、丙三位選手中的排序居中，所以三位選手中排序最靠前的是甲，且丙的平均數(shù)大于或等于乙的平均數(shù)，因?yàn)?名專(zhuān)業(yè)評(píng)委給乙選手的打分為，乙選手的方差，5名專(zhuān)業(yè)評(píng)委給丙選手的打分為，所以乙選手的方差小于丙選手的方差，所以丙選手的平均數(shù)大于乙選手的平均數(shù)，小于或等于甲選手的平均數(shù)，，，為整數(shù)，的值為92.23.為優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對(duì)A，B兩個(gè)小麥品種進(jìn)行種植對(duì)比實(shí)驗(yàn)研究．去年A，B兩個(gè)品種各種植了10畝．收獲后A，B兩個(gè)品種的售價(jià)均為2.4元，且B的平均畝產(chǎn)量比A的平均畝產(chǎn)量高100kg，A，B兩個(gè)品種全部售出后總收入為21600元．（1）請(qǐng)求出A，B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別多少？（2）今年，科技小組加大了小麥種植的科研力度，在A，B種植畝數(shù)不變的情況下，預(yù)計(jì)A，B兩個(gè)品種平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上分別增加和．由于B品種深受市場(chǎng)的歡迎，預(yù)計(jì)每千克價(jià)格將在去年的基礎(chǔ)上上漲，而A品種的售價(jià)不變．A，B兩個(gè)品種全部售出后總收入將在去年的基礎(chǔ)上增加．求a的值．【答案】（1）A，B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別為400kg，500kg；（2）10.【解析】【分析】（1）設(shè)A，B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是千克和千克；根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】設(shè)A，B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別為，.由題得，得所以A，B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別為，.【小問(wèn)2詳解】由題意知，A，B兩個(gè)品種今年平均畝產(chǎn)量分別為，且A，B兩個(gè)品種今年的售價(jià)分別為元/kg，元/kg.兩品種全部售出后總收入較去年基礎(chǔ)上增加，所以可得關(guān)系式：由上述關(guān)系式，解得.所以的值為10.24.如圖1，在矩形ABCD中，，EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，GH分別交AB、DC于點(diǎn)G、H．（1）求證：；（2）如圖2，將矩形ABCD沿EF折疊．使得點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，得到四邊形EFPG，若，，，求PF的長(zhǎng)度．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【解析】【分析】（1）如圖，過(guò)作交于，過(guò)作交于，由矩形ABCD，可得四邊形均為平行四邊形，則，又可得，則可得，則得，.（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作交于，由（1）知，可得，則，在中，由勾股定理可得，由，可得，由，即可求得.【小問(wèn)1詳解】如圖，過(guò)作交于，過(guò)作交于，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，，則，，所以四邊形均為平行四邊形，，，，，，又，，，.【小問(wèn)2詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作交于，則，，由折疊的性質(zhì)得，由（1）知，，又，，，所以，則，所以在中，，則，由折疊的性質(zhì)得，，設(shè)，則，所以在中，，，解得，，，，又，，，則，，，，，又，，，則，解得.25.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上．點(diǎn)B，C在第一象限，四邊形OABC是平行四邊形，點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3．（1）如圖1，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，且在反比例函數(shù)圖象上，求平行四邊形OABC的面積；（2）如圖2，將直線向上平移6個(gè)單位得到直線，直線與函數(shù)圖象交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)N．請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)和的值．【答案】（1）9（2）,【解析】【分析】（1）易求得，代入可得反比例函數(shù)解析式為，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)坐標(biāo)，得出平行四邊形OABC的面積；（2）作輔助線并利用勾股定理求得，聯(lián)立直線和反比例函數(shù)方程即可得出，可求出，即可求出.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意因?yàn)辄c(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2．點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3，四邊形OABC是平行四邊形，可得，由點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，可得，可得；即反比例函數(shù)解析式為；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，因?yàn)樗倪呅蜲ABC是平行四邊形，所以，又點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3，所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)D在反比例函數(shù)的圖象上，即，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，所以，解得或（舍），即平行四邊形OABC的面積.【小問(wèn)2詳解】將直線向上平移6個(gè)單位得到直線，可得；設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，則，作于點(diǎn)，如下圖所示：因?yàn)橛邳c(diǎn)N，所以，在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，即；所以，在中，由勾股定理可得，由三角形面積公式可得，所以，可得；聯(lián)立方程組，解得或，即，又點(diǎn)P為的中點(diǎn)，所以，因此，所以.26.已知在中，，，點(diǎn)D是邊AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在直線BC上運(yùn)動(dòng)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段DF，點(diǎn)F落在直線AB．（1）如圖1，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AB上，若，連接EF，，，求BF的長(zhǎng)度；（2）如圖2，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AB上，作交AB于點(diǎn)G，請(qǐng)猜想線段AF、AB、FG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若，點(diǎn)E在直線BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】（1）（2），理由見(jiàn)解析（3）或或【解析】【分析】（1）由題意可得，，結(jié)合可得四邊形為平行四邊形，即可借助含的直角三角形的邊的性質(zhì)及平行四邊形計(jì)算得解；（2）作出相應(yīng)輔助線，結(jié)合題意可得與相似，與相似，即可借助相似三角形的性質(zhì)得到相應(yīng)邊的比例，計(jì)算即可得解；（3）由題意構(gòu)造相應(yīng)輔助線可得點(diǎn)在的角平分線上，再分點(diǎn)所處位置，結(jié)合等腰三角形分類(lèi)討論并逐項(xiàng)計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，則，由，故，故有，故，故四邊形為平行四邊形，則，則，故，故；【小問(wèn)2詳解】，理由如下：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，由題意可得，，則，又，則，由，故，又，故與相似，故有，由，故，又為中點(diǎn)，故，則，故，又，故與相似，故有，即，即，即，又，故，即可得，即；【小問(wèn)3詳解】的值可能為或或，理由如下：①連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意可得，，則，故當(dāng)點(diǎn)在線段上且不與端點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，如下圖：若為等腰三角形，則有，，又，，故與全等，故，，故點(diǎn)在的角平分線上，即有，則，，，此時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，由，且點(diǎn)在直線上，故，故點(diǎn)在點(diǎn)處，如下圖：此時(shí)中有，符合要求，則點(diǎn)，即；③若點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，由①可知，此時(shí)，即為包含角的直角三角形，故舍去；④若點(diǎn)在射線上且不在線段上時(shí)，如下圖：此時(shí)，，，不可