重慶市長(zhǎng)壽區(qū)七校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末檢測(cè)（B）數(shù)學(xué)試題2

重慶市長(zhǎng)壽區(qū)2023—2024學(xué)年下學(xué)期高一期末檢測(cè)卷（B）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的意義求解即得.【詳解】由，得，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C2.已知向量滿足，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積即可求解.【詳解】，，，.又，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.3.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求出當(dāng)時(shí)的m值即可得解.【詳解】由題當(dāng)時(shí)，，或，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.在中，、、分別是內(nèi)角、、所對(duì)的邊，若，，，則邊（）A. B.或 C.或 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)椋?，，由余弦定理可得，即，即，解得?故選：C.5.科技是一個(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器，2022年5月，“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9050米，超過(guò)珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇長(zhǎng)53米，高18米，若將它近似看作一個(gè)半球，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，軸截面圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇的體積約為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)球、圓柱、圓臺(tái)的體積公式可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，該組合體的直觀圖如圖所示：半球的半徑為9米，圓柱的底面半徑為9米，母線長(zhǎng)為14米，圓臺(tái)的兩底面半徑分別為9米和1米，高為30米.則，，，所以.故選:A.6.如圖，在長(zhǎng)方體中，若分別是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.四邊形是矩形 B.四邊形是正方形C. D.平面平面【答案】A【解析】【分析】充分利用中點(diǎn)的特征，通過(guò)證明，，來(lái)得到四邊形是矩形，從而確定選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C、D可利用反證法.【詳解】在長(zhǎng)方形中，因?yàn)辄c(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以，.在長(zhǎng)方體中，有平面，又，所以平面，又平面，所以.在長(zhǎng)方形中，同理可得，.所以，，又，所以四邊形是矩形.故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.若，則由知，，又點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以.由圖知和為相交直線，矛盾.故假設(shè)不成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.由圖知，和為相交直線，所以平面與平面不會(huì)平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.7.對(duì)一個(gè)樣本容量為100的數(shù)據(jù)分組，各組的頻數(shù)如表：區(qū)間[17,19)[19,21)[21,23)[23,25)[25,27)[27,29)[29,31)[31,33]頻數(shù)113318162830估計(jì)小于29的數(shù)據(jù)大約占總體的A.16% B.40% C.42% D.58%【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由表格可以看出，樣本在區(qū)間[17，29）上的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，樣本容量為100，進(jìn)而得到小于29的數(shù)據(jù)大約占總體的42%．詳解：由表格可以看出，樣本在區(qū)間[17，29）上的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為1+1+3+3+18+16=42個(gè)數(shù)據(jù)，∵樣本容量為100，∴樣本在區(qū)間[17，29）上的頻率為，則估計(jì)小于29的數(shù)據(jù)大約占總體的42%，故選C．點(diǎn)睛：本題考查頻率的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．8.一個(gè)電路如圖所示，A，B，C，D，E，F(xiàn)為6個(gè)開(kāi)關(guān)，其閉合的概率為，且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】設(shè)與中至少有一個(gè)不閉合的事件為與至少有一個(gè)不閉合的事件為，則，所以燈亮的概率為，故選B.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件、對(duì)立事件的概率公式，屬于難題.解答這類(lèi)綜合性的概率問(wèn)題一定要把事件的獨(dú)立性、互斥性與對(duì)立性結(jié)合起來(lái)，要會(huì)對(duì)一個(gè)復(fù)雜的隨機(jī)事件進(jìn)行分析，也就是說(shuō)能把一個(gè)復(fù)雜的事件分成若干個(gè)互斥事件的和，再把其中的每個(gè)事件拆成若干個(gè)相互獨(dú)立的事件的積，這種把復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件，綜合事件轉(zhuǎn)化為單一事件的思想方法在概率計(jì)算中特別重要.二、多選題：本題共3小題，每題6分，共16分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.如圖，在菱形中，，延長(zhǎng)邊至點(diǎn)，使得.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿菱形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到點(diǎn)，若，則（）A.滿足的點(diǎn)有且只有一個(gè)B.滿足的點(diǎn)有兩個(gè)C.存在最小值D.不存在最大值【答案】BC【解析】【分析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，然后利用點(diǎn)的四種位置進(jìn)行分類(lèi)討論即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為1，，則，所以，，由，得，所以，所以，①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，且，所以；②當(dāng)點(diǎn)在（不含點(diǎn)B）上時(shí)，則，所以，化簡(jiǎn)，所以，因?yàn)?，所以，即；③?dāng)點(diǎn)在（不含點(diǎn)C）上時(shí)，，且，所以，即，所以；④當(dāng)點(diǎn)在（不含點(diǎn)A、D）上時(shí)，則，所以，化簡(jiǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以；?duì)于A，由①知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合；由④可知當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)在的中點(diǎn)處；其它均不可能，所以這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由②知，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)在的中點(diǎn)；由③知，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)點(diǎn)點(diǎn)處；其它均不可能，所以這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，所以B正確，對(duì)于CD，由①②③④可得：當(dāng)，即點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，取到最小值0；當(dāng)，即點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，取到最大值3，所以C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，然后分類(lèi)討論，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.10.如圖，AC為圓錐SO底面圓O的直徑，點(diǎn)B是圓O上異于A，C的點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓錐SO的側(cè)面積為B.三棱錐SABC體積的最大值為C.的取值范圍是D.若AB=BC，E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則SE+CE的最小值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知條件求出圓錐的側(cè)面積，棱錐的體積判斷AB，利用求得后可得其范圍判斷C，把棱錐的兩個(gè)面和攤平，利用平面上的性質(zhì)求的最小值判斷D．【詳解】由已知，圓錐側(cè)面積為，A錯(cuò)；在圓周上，易得，．B正確；，又中，，所以，所以．C錯(cuò)；時(shí)，把和攤平，如圖，的最小值是，此時(shí)，，，，，D正確．故選：BD．11.一工廠將兩盒產(chǎn)品送檢，甲盒中有4個(gè)一等品，3個(gè)二等品和3個(gè)三等品，乙盒中有5個(gè)一等品，2個(gè)二等品和3個(gè)三等品．先從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)產(chǎn)品放入乙盒，分別以，和表示由甲盒取出的產(chǎn)品是一等品，二等品和三等品的事件；再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一產(chǎn)品，以表示由乙盒取出的產(chǎn)品是一等品的事件．則下列結(jié)論中正確的是（）A.； B.；C.事件與事件相互獨(dú)立； D.，，是兩兩互斥的事件．【答案】ABD【解析】【分析】有條件概率的定義可得B正確；利用全概率公式進(jìn)行計(jì)算，可得A正確；有相互獨(dú)立事件的判定方法可得C錯(cuò)誤；有互斥事件的定義易得D正確.【詳解】因?yàn)榧缀兄杏?個(gè)一等品，3個(gè)二等品和3個(gè)三等品，則,乙盒中有5個(gè)一等品，2個(gè)二等品和3個(gè)三等品,則,則，故A，B正確；因?yàn)?又，，則，則兩事件不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；根據(jù)互斥事件的定義可知，，，是兩兩互斥的事件，故D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)復(fù)數(shù)、，滿足，，則______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等可得出、以及的值，再利用復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得的值.【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，則，又因?yàn)椋?，，即，由，可得，故，解得，由，可得，所以，，所以?故答案為：.13.若一組數(shù)據(jù)的方差是5，則數(shù)據(jù)的方差是__________．【答案】45【解析】【分析】利用方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】若數(shù)據(jù)方差為，則數(shù)據(jù)的方差為，所以當(dāng)數(shù)據(jù)的方差是5時(shí)，可得數(shù)據(jù)的方差是，故答案為：.14.已知平面向量，，滿足，，且，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】設(shè)，分析可知點(diǎn)C在以為直徑的圓上，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意可設(shè)：，則，若，即，則，可知點(diǎn)C在以為直徑的圓上，即圓心為，半徑，則在方向上的投影數(shù)量的最大值為，所以的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題根據(jù)向量運(yùn)算的幾何意義把題意轉(zhuǎn)化為圖形，結(jié)合圖形分析求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.在中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年之際，某校舉辦了“強(qiáng)國(guó)有我，挑戰(zhàn)答題”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，已知甲、乙兩隊(duì)參加，每隊(duì)3人，每人回答且僅回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得1分，答錯(cuò)得0分.假設(shè)甲隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，乙隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，且各人回答問(wèn)題正確與否互不影響.（1）分別求甲隊(duì)總得分為1分和2分的概率；（2）求活動(dòng)結(jié)束后，甲、乙兩隊(duì)共得4分的概率.【答案】（1）甲隊(duì)總得分為分的概率為，分的概率為；（2）【解析】【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件和互斥事件概率公式計(jì)算可得；（2）首先求出活動(dòng)結(jié)束甲、乙兩隊(duì)得分及所對(duì)應(yīng)的概率，再利用相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：依題意記甲隊(duì)總得分為分為事件，甲隊(duì)總得分為分為事件，則，，所以甲隊(duì)總得分為分的概率為，分的概率為；【小問(wèn)2詳解】解：依題意甲隊(duì)總得分為分的概率為，得分的概率為，得分的概率為，得分的概率為；乙隊(duì)總得分為分的概率為，得分的概率為，得分的概率為，得分的概率為；則活動(dòng)結(jié)束后，甲、乙兩隊(duì)共得4分的概率.16.某種經(jīng)濟(jì)樹(shù)木根據(jù)其底部周長(zhǎng)的不同售價(jià)有所差異，底部周長(zhǎng)在為三類(lèi)樹(shù)，底部周長(zhǎng)在為二類(lèi)樹(shù)，底部周長(zhǎng)大于或等于為一類(lèi)樹(shù)．為了解一大片該經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況，隨機(jī)測(cè)量其中100株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)（單位：），數(shù)據(jù)均落在之間，按照分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中二類(lèi)樹(shù)約占多少；（2）將同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間中點(diǎn)的數(shù)值代替，試估計(jì)該經(jīng)濟(jì)林中樹(shù)木的平均底部周長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求解，即可求解二類(lèi)樹(shù)的頻率，（2）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可得，所以，解得．因?yàn)榈撞恐荛L(zhǎng)在為二類(lèi)樹(shù)，所以由圖可得，．答：該片經(jīng)濟(jì)林中二類(lèi)樹(shù)木約占．【小問(wèn)2詳解】由題意可得，答：估計(jì)該經(jīng)濟(jì)林中樹(shù)木的平均底部周長(zhǎng)為．17.在中，設(shè)為外接圓的圓心.（1）求；（2）若，設(shè)，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合即可算出，同理可以求得；（2）結(jié)合（1）和，利用數(shù)量積的定義解出即可.【詳解】（1）如圖，由于為外接圓的圓心，所以設(shè)的中點(diǎn)分別為，連接，則，故同理可得.（2）由（1）可得,即，解得18.如圖1，在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，將沿向上折起，得到圖2的四棱錐.（1）證明：平面；（2）若，求二面角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用平面幾何的知識(shí)證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得解；（2）在圖2中證得平面，從而證得平面，進(jìn)而得到為二面角的平面角，由此求得所需線段的長(zhǎng)即可得解.【小問(wèn)1詳解】在題干圖1中連接，如圖，由已知得是CD的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，同理，四邊形是平行四邊形，又，且，四邊形是正方形，，所以在題干圖2中，，又平面，平面，又，平面.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵谡叫沃?，，，又是等邊三角形，在題干圖2中，過(guò)作于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，如圖，平面平面，，又平面，平面，又平面，，又平面，平面，又平面，，為二面角的平面角，在等邊中，，則，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，易得，又，可得，在中，，所以二面角的正切值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)的解決關(guān)鍵是利用二面角的定義，結(jié)合線面垂直的判定定理在圖2中作出二面角的平面角，從而得解.19.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求.（2）若，點(diǎn)是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的取值范圍.（3）若點(diǎn)是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記.若恒成立，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理與同角關(guān)系求得，利用余弦定理和正弦定理計(jì)算即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)正弦定理可得、，進(jìn)而的面積，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即