《數(shù)學(xué)分析I》課程教學(xué)大綱

《數(shù)學(xué)分析Ⅰ》教學(xué)大綱課程編號：122206A課程類型：通識教育必修課□通識教育選修課□學(xué)科基礎(chǔ)課□專業(yè)核心課□專業(yè)提升課□專業(yè)拓展課總學(xué)時：96講課學(xué)時：96實驗（上機）學(xué)時：0學(xué)分：6考試類型：eq\o\ac(□,√)考試□考查適用對象：經(jīng)濟統(tǒng)計學(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)、統(tǒng)計學(xué)、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（金融方向）□是eq\o\ac(□,√)否適合作為其他專業(yè)學(xué)生的個性化選修課先修課程：無一、教學(xué)目標(biāo)《數(shù)學(xué)分析》是大學(xué)數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)與大數(shù)據(jù)技術(shù)專業(yè)最重要的一門基礎(chǔ)課程，是幾乎所有后繼課程的必備基礎(chǔ)，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)至關(guān)重要。通過本課程的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會極限的思想和方法，掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論和論證方法，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)瑾的邏輯思維能力和推理論證能力、演算技能和應(yīng)用能力等數(shù)學(xué)素質(zhì)，為學(xué)習(xí)后繼課程打下扎實的基礎(chǔ)?！稊?shù)學(xué)分析I》是其第一部分。目標(biāo)1：通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握《數(shù)學(xué)分析I》的基本理論和方法。目標(biāo)2：培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和推理論證能力。目標(biāo)3：提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)工具來觀察問題、思考問題、分析問題和解決問題的能力，為進一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)科學(xué)和應(yīng)用科學(xué)打下扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。目標(biāo)4：培育有堅定理想信念、深厚愛國主義情懷、高尚道德情操，具有扎實基礎(chǔ)學(xué)識，堅韌奮斗進取品格的社會主義新青年。二、教學(xué)內(nèi)容及其與畢業(yè)要求的對應(yīng)關(guān)系（一）教學(xué)內(nèi)容及要求《數(shù)學(xué)分析I》主要教學(xué)內(nèi)容包括實數(shù)集與函數(shù)、數(shù)列極限、函數(shù)極限、函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理及其應(yīng)用、實數(shù)的完備性、不定積分、定積分及其應(yīng)用、反常積分等。在教學(xué)過程中要細(xì)講極限理論，為本課程學(xué)習(xí)打下扎實的理論基礎(chǔ)；精講極限、導(dǎo)數(shù)、微分、不定積分和定積分等基本概念、基本性質(zhì)及相關(guān)理論，使學(xué)生建立基本的知識框架；對于難點，如極限理論、微分中值定理和實數(shù)完備理論，需要講透理論，并且結(jié)合實例加深理解。（二）教學(xué)方法和教學(xué)手段在課堂教學(xué)中，以啟發(fā)式教學(xué)為主進行課堂講授，板書教學(xué)和多媒體教學(xué)結(jié)合。課堂上加強與學(xué)生的互動，引導(dǎo)學(xué)生探索討論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，提高課堂學(xué)習(xí)效率。（三）實踐教學(xué)環(huán)節(jié)本課程的實踐教學(xué)環(huán)節(jié)以習(xí)題評析、實例討論和應(yīng)用研究為主，使學(xué)生能夠理論聯(lián)系實際，學(xué)以致用，從而逐步提高學(xué)生的知識運用能力和應(yīng)用創(chuàng)新能力。（四）學(xué)習(xí)要求學(xué)生需要做好課前預(yù)習(xí)、課堂學(xué)習(xí)、課后復(fù)習(xí)、做作業(yè)等學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，以掌握本課程所學(xué)內(nèi)容。（五）考核方式本課程采用閉卷考試的方式進行考核?？己顺煽儼ㄆ綍r成績與期末考試成績。平時成績（包括作業(yè)、考勤、課堂表現(xiàn)及期中考試）占40%，期末考試成績占60%。三、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配以表格方式表現(xiàn)各章節(jié)的學(xué)時分配，表格如下：教學(xué)課時分配（單位：課時）序號章節(jié)內(nèi)容講課實驗其它合計1第一章實數(shù)集與函數(shù)第一節(jié)實數(shù)第二節(jié)數(shù)集、確界原理第三節(jié)函數(shù)概念第四節(jié)具有某些特性的函數(shù)6062第二章數(shù)列極限第一節(jié)數(shù)列極限概念第二節(jié)收斂數(shù)列的性質(zhì)第三節(jié)數(shù)列極限存在的條件993第三章函數(shù)極限第一節(jié)函數(shù)極限概念第二節(jié)函數(shù)極限的性質(zhì)第三節(jié)函數(shù)極限存在的條件第四節(jié)兩個重要的極限第五節(jié)無窮小量與無窮大量12124第四章函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)連續(xù)性概念第二節(jié)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)初等函數(shù)的連續(xù)性665第五章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)求導(dǎo)法則第三節(jié)參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第五節(jié)微分10106第六章微分中值定理及其應(yīng)用第一節(jié)拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性第二節(jié)柯西中值定理和不定式極限第三節(jié)泰勒公式第四節(jié)函數(shù)的極值與最值第五節(jié)函數(shù)的凸性與拐點第六節(jié)函數(shù)圖像的討論14147第七章實數(shù)的完備性第一節(jié)基本定理第二節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明448第八章不定積分第一節(jié)不定積分概念與基本積分公式第二節(jié)換元積分法與分部積分法第三節(jié)有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分第八章習(xí)題課10109第九章定積分第一節(jié)定積分概念第二節(jié)可積條件第三節(jié)定積分的性質(zhì)第四節(jié)微積分學(xué)基本定理、牛頓-萊布尼茨公式第五節(jié)定積分計算121210第十章定積分的應(yīng)用第一節(jié)平面圖形的面積第二節(jié)由平行截面面積求體積第三節(jié)平面曲線的弧長與曲率第四節(jié)旋轉(zhuǎn)曲面的面積第五節(jié)定積分在物理中的某些應(yīng)用第六節(jié)定積分的近似計算6611第十一章反常積分第一節(jié)反常積分概念第二節(jié)無窮積分的性質(zhì)與收斂判別第三節(jié)瑕積分的性質(zhì)與收斂判別5512總復(fù)習(xí)22合計9696四、教學(xué)內(nèi)容第一章實數(shù)集與函數(shù)第一節(jié)實數(shù)1、實數(shù)的概念2、實數(shù)的性質(zhì)3、絕對值與不等式第二節(jié)數(shù)集確界理論1、區(qū)間與鄰域2、有界集與無界集3、上確界與下確界4、確界原理第三節(jié)函數(shù)概念1、函數(shù)的定義2、函數(shù)的表示法3、分段函數(shù)4、函數(shù)的四則運算5、復(fù)合函數(shù)6、反函數(shù)7、初等函數(shù) 第四節(jié)具有某些特性的函數(shù)1、有界函數(shù)2、單調(diào)函數(shù)3、奇函數(shù)與偶函數(shù)4、周期函數(shù)教學(xué)重點、難點：確界概念、確界原理和函數(shù)概念課程的考核要求：了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史與實數(shù)的概念，理解絕對值不等式的性質(zhì)，會解絕對值不等式；弄清區(qū)間和鄰域的概念,理解確界概念、確界原理，會利用定義證明一些簡單數(shù)集的確界；掌握函數(shù)的定義及函數(shù)的表示法，了解函數(shù)的運算；理解和掌握一些特殊類型的函數(shù)。課程思政切入點：（1）數(shù)學(xué)分析的發(fā)展歷程與前沿；（2）理性思考的重要性。復(fù)習(xí)思考題：如何證明函數(shù)在某集合上無界？如何用定義驗證某數(shù)集的上確界和下確界？并舉例說明。常見的非初等函數(shù)有哪些？第二章數(shù)列極限第一節(jié)數(shù)列極限的概念1、數(shù)列的定義2、數(shù)列極限的概念3、無窮小數(shù)列第二節(jié)收斂數(shù)列的性質(zhì)1、唯一性2、有界性3、保號性4、單調(diào)性5、四則運算法則6、數(shù)列收斂與子列收斂的關(guān)系第三節(jié)數(shù)列極限存在的條件1、單調(diào)有界準(zhǔn)則2、迫斂性法則3、柯西收斂準(zhǔn)則教學(xué)重點、難點：數(shù)列極限概念與性質(zhì)，單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則課程的考核要求：逐步透徹理解和掌握數(shù)列極限的概念；掌握并能運用e-N語言處理極限問題；掌握收斂數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界函數(shù)和迫斂性定理)，并能靈活運用；理解數(shù)列極限的柯西收斂準(zhǔn)則,理解子列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系；理解無窮小數(shù)列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系；掌握數(shù)列極限的求解方法。課程思政切入點：整體與個體的關(guān)系。復(fù)習(xí)思考題：在數(shù)列極限的定義中，和的作用是什么？二者有什么關(guān)系？用該定義驗證數(shù)列極限的方法是什么？若兩個數(shù)列的收斂性不確定，討論二者的和、差、積、商的收斂性。用柯西收斂準(zhǔn)則敘述數(shù)列發(fā)散的充要條件，并舉例說明。第三章函數(shù)極限第一節(jié)函數(shù)極限概念1、函數(shù)極限的概念2、單側(cè)極限的概念第二節(jié)函數(shù)極限的性質(zhì)1、唯一性2、局部有界性3、局部保號性4、不等式性5、迫斂性第三節(jié)函數(shù)極限存在的條件1、歸結(jié)原則（Heine定理）2、柯西準(zhǔn)則第四節(jié)兩個重要的極限第五節(jié)無窮小量與無窮大量1、無窮小量2、無窮小量階的比較3、無窮大量教學(xué)重點、難點：函數(shù)極限概念及其性質(zhì)，兩個重要極限，等價無窮小量，歸結(jié)原則課程的考核要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念；掌握并能應(yīng)用e-d,e-X語言處理函數(shù)極限問題；理解函數(shù)的單側(cè)極限，函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則；掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和歸結(jié)原則；熟練掌握兩個重要極限和等價無窮小量來處理極限問題。課程思政切入點：數(shù)學(xué)知識的發(fā)展。復(fù)習(xí)思考題：在函數(shù)極限的定義中，和的作用是什么？二者有什么關(guān)系？用該定義驗證函數(shù)極限的方法是什么？根據(jù)函數(shù)極限的柯西收斂準(zhǔn)則，敘述函數(shù)極限不存在的充要條件，并舉例說明。討論無窮大量與無界變量的關(guān)系。第四章函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)連續(xù)性概念1、一點連續(xù)的定義2、區(qū)間連續(xù)的定義3、單側(cè)連續(xù)的定義4、間斷點及其分類；第二節(jié)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1、局部性質(zhì)及運算性質(zhì)2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)3、反函數(shù)的連續(xù)性4、一致連續(xù)性第三節(jié)初等函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)重點、難點：連續(xù)性的定義，間斷點的分類，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，一致連續(xù)性課程的考核要求：理解與掌握一元函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義及其證明，理解與掌握函數(shù)間斷點及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；理解單側(cè)連續(xù)的概念；能正確敘述和簡單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)的連續(xù)性，理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。課程思政切入點：不間斷的中國文明復(fù)習(xí)思考題：在定義區(qū)間上每一點處均不連續(xù)的函數(shù)存在嗎？連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別與關(guān)系是什么？第五章導(dǎo)數(shù)和微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念1、導(dǎo)數(shù)的定義2、單側(cè)導(dǎo)數(shù)3、導(dǎo)函數(shù)4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二節(jié)求導(dǎo)法則1、導(dǎo)數(shù)的四則運算2、求導(dǎo)法則（反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則）3、導(dǎo)數(shù)公式第三節(jié)參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第四節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第五節(jié)微分1、微分的定義2、微分的運算法則3、高階微分4、微分的應(yīng)用教學(xué)重點、難點：導(dǎo)數(shù)定義，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)，微分的定義課程的考核要求：理解和掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念，了解它們的幾何意義；能熟練地運用導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，高階導(dǎo)數(shù)的求法；了解導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，微分在近似計算中的應(yīng)用。課程思政切入點：中國絲綢盡享絲滑復(fù)習(xí)思考題：導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是什么？如何用定義判斷分段函數(shù)在分段點的可導(dǎo)性？微分的實質(zhì)是什么？微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是什么？一階微分形式的不變性是什么？高階微分為什么不具有形式不變性？并舉例說明。第六章微分中值定理及其應(yīng)用第一節(jié)拉格朗日中值定理和函數(shù)的單調(diào)性1、羅爾定理2、拉格朗日中值定理3、拉格朗日中值定理第二節(jié)柯西中值定理和不定式極限1、柯西中值定理2、不定式極限第三節(jié)泰勒公式第四節(jié)函數(shù)的極值與最值1、函數(shù)的極值2、函數(shù)的最值第五節(jié)函數(shù)的凸性與拐點第六節(jié)函數(shù)圖像的討論教學(xué)重點、難點：中值定理，洛必達法則，函數(shù)極值與凸性，泰勒公式課程的考核要求：掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開；能熟練地運用洛必達法則求不定式的極限；了解和掌握函數(shù)的某些特性(單調(diào)性、極值與最值、凹凸性、拐點)及其判斷方法，能利用函數(shù)的特性解決相關(guān)的實際問題。課程思政切入點：一橋飛架南北，天塹變通途復(fù)習(xí)思考題：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理四個中值定理的條件和結(jié)論是什么？如何證明？主要應(yīng)用是什么？七種未定式極限用洛必達法則來求解的方法一般有哪些？如何應(yīng)用泰勒公式求極限和近似計算？第七章實數(shù)的完備性第一節(jié)關(guān)于實數(shù)完備性的基本定理第二節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明教學(xué)重點、難點：實數(shù)完備性的六個基本定理及應(yīng)用課程的考核要求：了解實數(shù)連續(xù)性的幾個定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明課程思政切入點：超越自己，成為更好的自己復(fù)習(xí)思考題：實數(shù)完備性的六個定理的內(nèi)容是什么？如何證明其相互等價性？如何應(yīng)用實數(shù)完備性的基本定理證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)？第八章不定積分第一節(jié)不定積分概念與基本積分公式第二節(jié)換元積分法與分部積分法第三節(jié)有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分教學(xué)重點、難點：原函數(shù)與不定積分概念，換元積分法與分部積分法，有理函數(shù)積分法課程的考核要求：理解原函數(shù)和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、簡單無理式和三角有理式積分法。課程思政切入點：科學(xué)的可重復(fù)、可驗證、可回溯復(fù)習(xí)思考題：不定積分的實質(zhì)是什么？換元積分法和分部積分法的基本類型有哪些？有理函數(shù)積分的主要步驟是什么？第九章定積分第一節(jié)定積分概念1、概念的引入2、黎曼積分定義3、定積分的幾何意義第二節(jié)可積條件1、可積的必要條件和充要條件2、達布上和與達布下和3、可積函數(shù)類第三節(jié)定積分的性質(zhì)1、定積分的基本性質(zhì)2、積分中值定理第四節(jié)微積分學(xué)基本定理1、變限積分2、原函數(shù)存在定理（微積分學(xué)基本定理）3、牛頓-萊布尼茲公式4、積分第二中值定理第五節(jié)定積分的計算1、換元積分法2、分部積分法教學(xué)重點、難點：定積分的定義，變限積分，牛頓—萊布尼茨公式，微積分學(xué)基本定理，定積分的計算課程的考核要求：理解定積分概念及函數(shù)可積的條件；熟悉一些可積分函數(shù)類，會一些較簡單的可積性證明；掌握定積分與可變上限積分的性質(zhì)；能較好地運用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計算一些定積分。課程思政切入點：泰山不辭土壤，故能成其高復(fù)習(xí)思考題：定積分的概念是什么？可積的條件是什么？常見的可積函數(shù)類有哪些？微積分基本定理是什么？變限積分的導(dǎo)數(shù)如何求？比較定積分和不定積分的換元積分法和分部積分法的異同。第十章定積分的應(yīng)用第一節(jié)平面圖形的面積第二節(jié)由平面截面面積求體積第三節(jié)平面曲線的弧長與曲率第四節(jié)旋轉(zhuǎn)曲面的面積第五節(jié)定積分在物理中的某些應(yīng)用第六節(jié)定積分的近似計算教學(xué)重點、難點：定積分的幾何應(yīng)用，微元法課程的考核要求：重點掌握定積分的幾何應(yīng)用；理解定積分在物理上的應(yīng)用