專題16相似三角形（6類重點考向）

主題四平面幾何專題16相似三角形目錄一覽知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考解密（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點）重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一黃金分割?考向二平行線分線段成比例?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)?考向四相似三角形的應(yīng)用?考向五位似變換?考向六相似形綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）1.了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例線段；通過建筑、藝術(shù)上的實例了解黃金分割；2.掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例；3.了解相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理；4.通過具體實例認(rèn)識圖形的相似；了解相似多邊形和相似比；5.會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題．該板塊內(nèi)容主要考查相似的性質(zhì)和判定，2024年各地中考仍以考查基礎(chǔ)為主，在選擇題中單獨考查，是廣大考生的得分點，相似應(yīng)用的考查，主要體現(xiàn)在綜合題中，作為綜合題的一部分，在解決求線段長問題時和勾股定理、三角函數(shù)一起運用，此時解答題的難度變大，綜合性就較強了，分值在15分左右，為避免丟分，應(yīng)扎實掌握，靈活應(yīng)用。?考向一黃金分割1．（2023?綿陽）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a【思路點撥】設(shè)AB＝x，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC＝x，然后根據(jù)黃金矩形的定義可得＝，從而可得，最后進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：設(shè)AB＝x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝x，∵矩形ABFG是黃金矩形，∴＝，∴＝，解得：x＝（2+2）a，經(jīng)檢驗：x＝（2+2）a是原方程的根，∴AB＝（2+2）a，故選：D．【真題點撥】本題考查了黃金分割，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023?泰安）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于FG的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結(jié)論：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④當(dāng)AC＝2時，AD＝﹣1．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】根據(jù)角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，可得到△BCD也是含有36°角的等腰三角形，進而得出AD＝BD＝BC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的判定，進一步得出AE＝AD＝BD＝BC，對①作出判斷；在根據(jù)平行線的判定方法可得出DE∥BC，對①作出判斷；由AE≠BE，可得DE不是△ABC的中位線，對③作出判斷，最后再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，得出△BCD∽△ABC，進而求出BC，即AD即可對④作出判斷．【規(guī)范解答】解：由題意可知，BD是∠ABC的平分線，MN是線段BD的中垂線，∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴AD＝BD，在△BCD中，∠C＝72°，∠CBD＝36°，∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，∵MN是BD的中垂線，∴EB＝ED，∴∠BDE＝∠ABD＝36°＝∠CBD，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，因此①正確，∴AE＝AD＝BD＝BC，因此②正確；由于DE不是△ABC的中位線，因此③不正確；∵∠CBD＝∠BAC＝36°，∠BCD＝∠ACB＝72°，∴△BCD∽△ABC，∴＝，即BC2＝AC?CD，設(shè)BC＝x，則CD＝2﹣x，∴x2＝2×（2﹣x），解得x＝﹣1﹣（舍去）或x＝﹣1，即BC＝﹣1＝AD，因此④正確，綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，共有3個，故選：C．【真題點撥】本題考查角平分線，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和是180°以及相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提．3．（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當(dāng)m＝1時，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計；我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．（1）求黃金分割數(shù)；（2）已知實數(shù)a，b滿足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知兩個不相等的實數(shù)p，q滿足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．【思路點撥】（1）依據(jù)題意，將m＝1代入然后解一元二次方程x2+x﹣1＝0即可得解；（2）依據(jù)題意，將b2﹣2mb＝4變形為（﹣）2+m?（﹣）﹣1＝0，從而可以看作a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的兩個根，進而可以得解；（3）依據(jù)題意，將已知兩式相加減后得到，兩個關(guān)系式，從而求得pq，進而可以得解．【規(guī)范解答】解：（1）由題意，將m＝1代入x2+mx﹣1＝0得，x2+x﹣1＝0，∴x1，2＝＝．∵黃金分割數(shù)大于0，∴黃金分割數(shù)為．（2）∵b2﹣2mb＝4，∴b2﹣2mb﹣4＝0．∴（﹣）2+m?（﹣）﹣1＝0．又b≠﹣2a，∴a，﹣是一元二次方程x2+mx﹣1＝0的兩個根．∴a?（﹣）＝﹣1．∴ab＝2．（3）由題意，令p2+np﹣1＝q①，q2+nq﹣1＝p②，∴①+②得，（p2+q2）+n（p+q）﹣2＝p+q，（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．又①﹣②得，（p2﹣q2）+n（p﹣q）＝﹣（p﹣q），∵p，q為兩個不相等的實數(shù)，∴p﹣q≠0，∴（p+q）+n＝﹣1．∴p+q＝﹣n﹣1．又（p+q）2﹣2pq+n（p+q）﹣2＝p+q．∴（﹣n﹣1）2﹣2pq+n（﹣n﹣1）﹣2＝﹣n﹣1．∴n2+2n+1﹣2pq﹣n2﹣n﹣2＝﹣n﹣1．∴pq＝n．∴pq﹣n＝0．【真題點撥】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運用所學(xué)知識解決問題．?考向二平行線分線段成比例解題技巧/易錯易混1．比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項．兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項．2．對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a∶b=c∶d（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統(tǒng)一線段的長度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．4．（2022?麗水）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB＝3，則線段BC的長是（）A． B．1 C． D．2【思路點撥】過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．【規(guī)范解答】解：過點A作平行橫線的垂線，交點B所在的平行橫線于D，交點C所在的平行橫線于E，則＝，即＝2，解得：BC＝，故選：C．【真題點撥】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（2022?襄陽）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為5．【思路點撥】如圖，過點F作FM⊥AB于點M，F(xiàn)N⊥AC于點N，過點D作DT∥AE交BC于點T．證明AB＝3AD，設(shè)AD＝CD＝a，證明ET＝CT，設(shè)ET＝CT＝b，則BE＝3b，求出a+b，可得結(jié)論．【規(guī)范解答】解：如圖，過點F作FM⊥AB于點M，F(xiàn)N⊥AC于點N，過點D作DT∥AE交BC于點T．∵AE平分∠BAC，F(xiàn)M⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，設(shè)AD＝DC＝a，則AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，設(shè)ET＝CT＝b，則BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周長＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案為：5．【真題點撥】本題考查平行線分線段成比例定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．6．（2023?岳陽）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點C為的中點，以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長是π（結(jié)果保留π）；（2）若＝，則＝．【思路點撥】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理可得∠BOC＝60°，利用弧長公式即可求出的長；（2）連接OC，根據(jù)垂徑定理得到OC⊥BD，再由切線得到EC∥BD，利用平行線分線段成比例得出，再根據(jù)勾股求出EC＝2x，代入比例式即可解決問題．【規(guī)范解答】解：（1）如圖，連接OC，∵∠A＝30°，AB＝6，∴∠BOC＝60°，OB＝3，∴的長＝＝π；故答案為：π；（2）如圖，連接OC，∵點C為的中點，∴＝，∴OC⊥BD，又∵EC是⊙O的切線，∴OC⊥EC，∴EC∥BD，∵＝，∴，設(shè)EB＝x，則AB＝3x，BO＝OC＝x，EO＝x，AE＝4x，∴EC＝＝＝2x，∴＝＝．故答案為：．【真題點撥】本題考查的是平行線分線段成比例定理、圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，弧長的計算，掌握圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．?考向三相似三角形的判定與性質(zhì)解題技巧/易錯易混1．相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．2．相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；②三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；④兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．3.相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；4.相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．5．如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．7．（2023?重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【思路點撥】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形周長的比等于相似比，求解即可．【規(guī)范解答】解：∵兩個相似三角形周長的比為1：4，∴這兩個三角形對應(yīng)邊的比為1：4，故選：B．【真題點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點（不與點B，C重合）．過點D作DE∥AB交AC于點E；過點D作DF∥AC交AB于點F、N是線段BF上的點，BN＝2NF：M是線段DE上的點，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積 B．△BDF的面積 C．△BCN的面積 D．△DCE的面積【思路點撥】如圖所示，連接ND，證明△FBD∽△EDC，得出＝，由已知得出，則，又∠NFD＝∠MEC，則△NFD∽△MEC，進而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，結(jié)合題意得出，即可求解．【規(guī)范解答】解：如圖所示，連接ND，∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．∴＝，∵DM＝2ME，BN＝2NF，∴，ME＝DE，∴∴，又∵∠NFD＝∠MEC，∴△NFD∽△MEC．∴∠ECM＝∠FDN．∵∠FDB＝∠ECD，∴∠MCD＝∠NDB．∴MC∥ND．∴S△MNC＝S△MDC．∵DM＝2ME，∴．故選：D．【真題點撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．9．（2023?蘇州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，AC＝，BC＝2，點F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長．【思路點撥】（1）根據(jù)圓周角定理得∠BDE＝∠BAC，進而可以證明結(jié)論；（2）過點C作CG⊥AB，垂足為G，證明△DBE∽△ABC，得＝，代入值即可解決問題．【規(guī)范解答】（1）證明：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∵BE⊥CD，∴∠BED＝90°，∵所對的圓周角為∠BDE和∠BAC，∴∠BDE＝∠BAC，∴△DBE∽△ABC；（2）解：如圖，過點C作CG⊥AB，垂足為G，∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，∴AB＝＝5，∵CG⊥AB，∴AG＝ACcosA＝×＝1，∵AF＝2，∴FG＝AG＝1，∴AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，∵△DBE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴ED＝．【真題點撥】本題考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識點，解決本題的關(guān)鍵是得到△DBE∽△ABC．?考向四相似三角形的應(yīng)用10．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m【思路點撥】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△ABC∽△EDC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．【規(guī)范解答】解：如圖：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴，即，∴DE＝8（m），故選：B．【真題點撥】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．應(yīng)用鏡面反射的基本性質(zhì)，得出三角形相似，再運用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解答．11．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，用一個卡鉗（AD＝BC，＝＝）測量某個零件的內(nèi)孔直徑AB，量得CD長度為6cm，則AB等于18cm．【思路點撥】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得AB的長．【規(guī)范解答】解：∵＝＝，∠COD＝∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴AB：CD＝3，∵CD＝6cm，∴AB＝6×3＝18（cm），故答案為：18．【真題點撥】本題考查相似三角形的應(yīng)用，求出AB的值是解答本題的關(guān)鍵．12．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．【思路點撥】設(shè)BD＝xm，則BC＝（x+48）m，通過證明△ABD∽△EFD，得到，即，同理得到，則可建立方程，解方程即可得到答案．【規(guī)范解答】解：設(shè)BD＝xm，則BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴△ABD∽△FED，∴，即，同理可證△ABC∽△HGC，∴，即，∴，解得x＝48，經(jīng)檢驗，x＝48是原方程的解，∴＝，∴AB＝36m，∴該古建筑AB的高度為36m．【真題點撥】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程是解題的關(guān)鍵．?考向五位似變換解題技巧/易錯易混位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或–k．13．（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（2，2），B（4，1），以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）【思路點撥】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案．【規(guī)范解答】解：∵以原點O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，點A的坐標(biāo)為（2，2），∴點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），故選：D．【真題點撥】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．14．（2023?綏化）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△AB′C′的相似比為1：2，點A是位似中心，已知點A（2，0），點C（a，b），∠C＝90°．則點C′的坐標(biāo)為（6﹣2a，﹣2b）.（結(jié)果用含a，b的式子表示）【思路點撥】過C作CM⊥AB于M，過C′⊥AB′于N，則∠ANC′＝∠AMC＝90°，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：過C作CM⊥AB于M，過C′⊥AB′于N，則∠ANC′＝∠AMC＝90°，∵△ABC與△AB′C′的相似比為1：2，∴，∵∠NAC′＝∠CAM，∴△ACM∽△AC′N，∴，∵點A（2，0），點C（a，b），∴OA＝2，OM＝a，CM＝b，∴AM＝a﹣2，∴，∴AN＝2a﹣4，C′N＝2b，∴ON＝AN﹣OA＝2a﹣6，∴點C′的坐標(biāo)為（6﹣2a，﹣2b），故答案為：（6﹣2a，﹣2b）．【真題點撥】本題考查的是位似變換和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)邊的比相等是解題的關(guān)鍵．15．（2023?盤錦）如圖，△ABO的頂點坐標(biāo)是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點O為位似中心，將△ABO縮小為原來的，得到△A′B′O，則點A′的坐標(biāo)為（，2）或（﹣，﹣2）．【思路點撥】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算，得到答案．【規(guī)范解答】解：∵以原點O為位似中心，把△ABC縮小為原來的，可以得到△A'B'O，點A的坐標(biāo)為（2，6），∴點A'的坐標(biāo)是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（，2）或（﹣，﹣2）．故答案為：（，2）或（﹣，﹣2）．【真題點撥】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．?考向六相似形綜合題16．（2023?菏澤）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點G．求證：△ADE∽△DCF．【問題解決】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF，延長BC到點H，使CH＝DE，連接DH．求證：∠ADF＝∠H．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的長．【思路點撥】（1）由矩形的性質(zhì)得∠C＝∠ADE＝90°，再證∠AED＝∠DFC，即可得出結(jié)論；（2）證Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），得DE＝CF，再證△DCF≌△DCH（SAS），得∠DFC＝∠H，然后由平行線的性質(zhì)得∠ADF＝∠DFC，即可得出結(jié)論；（3）延長BC至點G，使CG＝DE＝8，連接DG，△ADE≌△DCG（SAS），得∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，再證△DFG是等邊三角形，得FG＝DF＝11，即可解決問題．【規(guī)范解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°，∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF，∵CH＝DE，∴CF＝CH，∵點H在BC的延長線上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°，又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H；（3）解：如圖3，延長BC至點G，使CG＝DE＝8，連接DG，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS），∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等邊三角形，∴FG＝DF＝11，∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的長為3．【真題點撥】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．17．（2023?湖州）【特例感知】（1）如圖1，在正方形ABCD中，點P在邊AB的延長線上，連結(jié)PD，過點D作DM⊥PD，交BC的延長線于點M．求證：△DAP≌△DCM．【變式求異】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D在邊AB上，過點D作DQ⊥AB，交AC于點Q，點P在邊AB的延長線上，連結(jié)PQ，過點Q作QM⊥PQ，交射線BC于點M．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB，求的值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點P在邊AB的延長線上，點Q在邊AC上（不與點A，C重合），連結(jié)PQ，以Q為頂點作∠PQM＝∠PBC，∠PQM的邊QM交射線BC于點M．若AC＝mAB，CQ＝nAC（m，n是常數(shù)），求的值（用含m，n的代數(shù)式表示）．【思路點撥】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及角的和差推出∠A＝∠DCM，AD＝DC，∠ADP＝∠CDM，利用ASA即可證明△DAP≌△DCM；（2）作QN⊥BC于點N，則四邊形DBNQ是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)推出∠DQN＝90°，QN＝DB，根據(jù)角的和差推出∠DQP＝∠MQN，結(jié)合∠QDP＝∠QNM＝90°，推出△DQP∽△NQM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出AB＝6，則DB＝2，根據(jù)矩形的性質(zhì)推出DQ∥BC，進而推出△ADQ∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；（3）根據(jù)題意推出CQ＝mnAB，AQ＝（m﹣mn）AB，根據(jù)勾股定理求出BC＝AB，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理及鄰補角定義推出∠AQP＝∠NQM，結(jié)合∠A＝∠QNM＝90°，推出△QAP∽△QNM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)題意推出△QCN∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，據(jù)此求解即可．【規(guī)范解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC，∴∠DCM＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠A＝∠DCM，∵DM⊥PD，∴∠ADP+∠PDC＝∠CDM+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDM，在△DAP和△DCM中，，∴△DAP≌△DCM（ASA）；（2）解：如圖2，作QN⊥BC于點N，∵∠ABC＝90°，DQ⊥AB，QN⊥BC，∴四邊形DBNQ是矩形，∴∠DQN＝90°，QN＝DB，∵QM⊥PQ，∴∠DQP+∠PQN＝∠MQN+∠PQN＝90°，∴∠DQP＝∠MQN，∵∠QDP＝∠QNM＝90°，∴△DQP∽△NQM，∴，∵BC＝8，AC＝10，∠ABC＝90°，∴，∵AD＝2DB，∴DB＝2，∵∠ADQ＝∠ABC＝90°，∴DQ∥BC，∴△ADQ∽△ABC，∴，∴，∴；（3）解：∵AC＝mAB，CQ＝nAC，∴CQ＝mnAB，∴AQ＝AC﹣CQ＝（m﹣mn）AB，∵∠BAC＝90°，∴，如圖3，作QN⊥BC于點N，∵∠BAC+∠ABN+∠BNQ+∠AQN＝360°，∠BAC＝90°，∴∠ABN+∠AQN＝180°，∵∠ABN+∠PBN＝180°，∴∠AQN＝∠PBN，∵∠PQM＝∠PBC，∴∠PQM＝∠AQN，∴∠AQP＝∠NQM，∵∠A＝∠QNM＝90°，∴△QAP∽△QNM，∴，∵∠A＝∠QNC＝90°，∠QCN＝∠BCA，∴△QCN∽△BCA，∴，∴，∴．【真題點撥】此題是相似綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練運用相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．1．（2023?濟南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．【思路點撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根據(jù)題意可得：CP平分∠ACB，從而可得∠BCE＝∠ACE＝36°，然后利用等量代換可得∠A＝∠ACE＝36°，從而可得AE＝CE，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠B＝∠CEB＝72°，從而可得CB＝CE，進而可得AE＝CE＝CB，最后根據(jù)黃金三角形的定義可得＝，從而可得＝，再利用三角形的面積可得＝＝，從而進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，由題意得：CP平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，∴∠A＝∠ACE＝36°，∴AE＝CE，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠B＝∠CEB＝72°，∴CB＝CE，∴AE＝CE＝CB，∵△BCE是頂角為36°的等腰三角形，∴△BCE是黃金三角形，∴＝，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，故A、B、D不符合題意，C符合題意；故選：C．【真題點撥】本題考查了黃金分割，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，作圖﹣基本作圖，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022?紹興）將一張以AB為邊的矩形紙片，先沿一條直線剪掉一個直角三角形，在剩下的紙片中，再沿一條直線剪掉一個直角三角形（剪掉的兩個直角三角形相似），剩下的是如圖所示的四邊形紙片ABCD，其中∠A＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，則剪掉的兩個直角三角形的斜邊長不可能是（）A． B． C．10 D．【思路點撥】根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)和分類討論的方法，求出剪掉的兩個直角三角形的斜邊長，然后即可判斷哪個選項符合題意．【規(guī)范解答】解：如圖1所示，由已知可得，△DFE∽△ECB，則，設(shè)DF＝x，CE＝y(tǒng)，則，解得，∴DE＝CD+CE＝6+＝，故選項B不符合題意；EB＝DF+AD＝+2＝，故選項D不符合題意；如圖2所示，由已知可得，△DCF∽△FEB，則，設(shè)FC＝m，F(xiàn)D＝n，則，解得，∴FD＝10，故選項C不符合題意；BF＝FC+BC＝8+7＝15；如圖3所示：此時兩個直角三角形的斜邊長為6和7；故選：A．【真題點撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用分類討論的方法解答．3．（2022?連云港）△ABC的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形DEF，其最長邊為12，則△DEF的周長是（）A．54 B．36 C．27 D．21【思路點撥】（1）方法一：設(shè)2對應(yīng)的邊是x，3對應(yīng)的邊是y，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等列等式，解出即可；方式二：根據(jù)相似三角形的周長的比等于相似比，列出等式計算．【規(guī)范解答】解：方法一：設(shè)2對應(yīng)的邊是x，3對應(yīng)的邊是y，∵△ABC∽△DEF，∴＝＝，∴x＝6，y＝9，∴△DEF的周長是27；方式二：∵△ABC∽△DEF，∴＝，∴＝，∴C△DEF＝27；故選：C．【真題點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．4．（2023?東營）如圖，△ABC為等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2【思路點撥】先證∠CAD＝∠BDE，再根據(jù)∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AD的長．【規(guī)范解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠CAD+∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°．∴∠BDE+∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴，∵BD＝4DC，∴設(shè)DC＝x，則BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴，∴AD＝3，故選：C．【真題點撥】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握有兩個角相等的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵．5．（2023?東營）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，連接DF，分別交AE，AC于點G，M．P是線段AG上的一個動點，過點P作PN⊥AC，垂足為N，連接PM．有下列四個結(jié)論：①AE垂直平分DM；②PM+PN的最小值為3；③CF2＝GE?AE；④S△ADM＝6．其中正確的是（）A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③【思路點撥】①先根據(jù)正方形的性質(zhì)證得△ADE和△DCF全等，再利用ASA證得△AGM和△AGD全等，即可得出AE垂直平分DM；②連接BD與AC交于點O，交AG于點H，連接HM，根據(jù)題意當(dāng)點P與點H重合時，PM+PN的值最小，即PM+PN的最小值是DO的長，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BD的長，從而得出，即PM+PN的最小值；③先證△DGE∽△ADE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及CF＝DE，即可判斷；④先求出AM的長，再根據(jù)三角形面積公式計算即可．【規(guī)范解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BF＝CE，∴BC﹣BF＝DC﹣CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠DAE+∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD，∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG，又AG為公共邊，∴△AGM≌△AGD（ASA），∴GM＝GD，又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，故①正確；②如圖，連接BD與AC交于點O，交AG于點H，連接HM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，∵AE垂直平分DM，∴HM＝HD，當(dāng)點P與點H重合時，PM+PN的值最小，此時PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小值是DO的長，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AC＝BD＝，∴，即PM+PN的最小值為，故②錯誤；③∵AE垂直平分DM，∴∠DGE＝90°，∵∠ADC＝90°，∴∠DGE＝∠ADE，又∵∠DEG＝∠AED，∴△DGE∽△ADE，∴，即DE2＝GE?AE，由①知CF＝DE，∴CF2＝GE?AE，故③正確；④∵AE垂直平分DM，∴AM＝AD＝4，又，∴，故④錯誤；綜上，正確的是：①③，故選：D．【真題點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，最短路徑問題等知識點，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．6．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【思路點撥】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【規(guī)范解答】解：∵△ABC與△A′B′C′位似，△A′B′C′與△ABC的相似比為2：1，∴△ABC與△A′B′C′位似比為1：2，∵點C的坐標(biāo)為（3，2），∴點F的坐標(biāo)為（3×2，2×2），即（6，4），故選：C．【真題點撥】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．7．（2022?巴中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC：OC＝1：2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標(biāo)分別為1、3，則B點的縱坐標(biāo)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【思路點撥】根據(jù)CD∥OB得出，根據(jù)AC：OC＝1：2，得出，根據(jù)C、D兩點縱坐標(biāo)分別為1、3，得出OB＝6，即可得出答案．【規(guī)范解答】解：∵CD∥OB，∴，∵AC：OC＝1：2，∴，∵C、D兩點縱坐標(biāo)分別為1、3，∴CD＝3﹣1＝2，∴，解得：OB＝6，∴B點的縱坐標(biāo)為6，故選：C．【真題點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，根據(jù)題意得出，是解題的關(guān)鍵．8．（2023?達(dá)州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為（80﹣160）cm．（結(jié)果保留根號）【思路點撥】根據(jù)黃金分割的定義，進行計算即可解答．【規(guī)范解答】解：∵點C是靠近點B的黃金分割點，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵點D是靠近點A的黃金分割點，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撐點C，D之間的距離為（80﹣160）cm，故答案為：（80﹣160）．【真題點撥】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．9．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．【思路點撥】根據(jù)題意求出AF，再根據(jù)平行線分線段成比例定理計算即可．【規(guī)范解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故答案為：．【真題點撥】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2023?懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點A的坐標(biāo)為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進行變換：第一次變換將△AOB繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點O順時針旋轉(zhuǎn)60°，同時邊長擴大為△A1OB1邊長的2倍，得到△A2OB2，…．依次類推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長為22023，點A2023的坐標(biāo)為（22022，﹣22022）．【思路點撥】利用等邊三角形的性質(zhì)，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問題．【規(guī)范解答】解：由題意OA＝1＝20，OA1＝2＝21，OA2＝4＝22，OA3＝8＝23，…OAn＝2n，∴△A2023OB2023的邊長為22023，∵2023÷6＝337…1，∴A2023與A1都在第四象限，坐標(biāo)為（22022，﹣22022?）．故答案為：22023，（22022，﹣22022）．【真題點撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)，規(guī)律型—點的坐標(biāo)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．11．（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點坐標(biāo)分別是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，則第一象限內(nèi)點B′的坐標(biāo)為（4，6）．【思路點撥】根據(jù)四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，可得四邊形OA′B′C′與四邊形OABC的位似比是2：1，進而得出各對應(yīng)點位置，進而得第一象限內(nèi)點B′的坐標(biāo)．【規(guī)范解答】解：∵四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，∴四邊形OA′B′C′與四邊形OABC的位似比是2：1，∵點B（2，3），∴第一象限內(nèi)點B′的坐標(biāo)為（4，6）．故答案為：（4，6）．【真題點撥】本題考查作圖﹣位似變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．12．（2023?黑龍江）如圖①，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接DC，點F，G，H分別是DE，DC和BC的中點，連接FG，F(xiàn)H．易證：FH＝FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，如圖②；若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，如圖③；其他條件不變，判斷FH和FG之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進行證明．【思路點撥】如圖②；連接AH，CE，AF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AH⊥BC，AF⊥DE，，求得∠CAH＝∠EAF＝45°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CE＝FH，根據(jù)三角形中位線定理得到CE＝2FG，于是得到FH＝FG；如圖③；連接AH，CE，AF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AFD＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF＝，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CE＝2FH，根據(jù)三角形中位線定理得到CE＝2FG，于是得到FH＝FG．【規(guī)范解答】解：如圖②；FH＝FG，證明：連接AH，CE，AF，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，F(xiàn)，H分別是DE，BC的中點，∴AH⊥BC，AF⊥DE，，∴∠CAH＝∠EAF＝45°，∴∠HAF＝∠EAC，，∴△AHF∽△ACE，∴，∴CE＝FH，∵點F，G分別是DE，DC的中點，∴CE＝2FG，∴FH＝FG；如圖③；FH＝FG，證明：連接AH，CE，AF，∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠AED＝∠ADE＝∠ACB＝∠B＝30°，∵點F，H分別是DE，BC的中點，∴AH⊥BC，AF⊥DE，∠CAH＝∠EAF＝，∴∠HAF＝∠EAC，，∴△AHF∽△ACE，∴＝，∴CE＝2FH，∵點F，G分別是DE，DC的中點，∴CE＝2FG，∴FH＝FG；【真題點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023?婁底）鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，為了增強學(xué)生的國家榮譽感、民族自豪感等，數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生對五角星進行了較深入的研究，延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個標(biāo)準(zhǔn)五角星，如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長線相交于點F，∠EAF的平分線交EF于點M．（1）求證：AE2＝EF?EM；（2）若AF＝1，求AE的長；（3）求的值．【思路點撥】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得∠BAE＝∠AED＝108°，從而利用平角定義可得∠FAE＝∠AEF＝72°，進而利用三角形內(nèi)角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分線的定義可得∠FAM＝∠MAE＝36°，從而可得∠F＝∠MAE，進而可證△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性質(zhì)進行計算，即可解答；（2）設(shè)AE＝x，利用（1）的結(jié)論可得：∠F＝∠FAM＝36°，從而可得FM＝AM，在利用（1）的結(jié)論可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，從而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠AME＝∠AEF＝72°，從而可得AM＝AE，進而可得AM＝AE＝FM＝x，再利用線段的和差關(guān)系可得ME＝1﹣x，最后利用（1）的結(jié)論可得：AE2＝EF?EM，從而可得x2＝1?（1﹣x），進行計算即可解答；（3）連接BE，CE，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，從而可得△ABE≌△DCE，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，從而可得∠EBC＝∠ECB＝72°，然后利用（1）的結(jié)論可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，從而可證利用ASA可證△FAE≌△EBC，再利用（2）的結(jié)論可得：＝，從而可得＝，進而可得＝，最后設(shè)△ABE的面積為（﹣1）k，則△AEF的面積為2k，從而可得△ABE的面積＝△DEC的面積＝（﹣1）k，△AEF的面積＝△BCE的面積＝2k，進而可求出五邊形ABCDE的面積＝2k，再進行計算即可解答．【規(guī)范解答】（1）證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝∠AED＝108°，∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，∵AM平分∠FAE，∴∠FAM＝∠MAE＝∠FAE＝36°，∴∠F＝∠MAE，∵∠AEM＝∠AEF，∴△AEM∽△FEA，∴＝，∴AE2＝EF?EM；（2）解：設(shè)AE＝x，由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，∴FM＝AM，由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，∴FA＝FE＝1，∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，∴∠AME＝∠AEF＝72°，∴AM＝AE，∴AM＝AE＝FM＝x，∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，由（1）可得：AE2＝EF?EM，∴x2＝1?（1﹣x），解得：x＝或x＝（舍去），∴AE＝，∴AE的長為；（3）連接BE，CE，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，∴△ABE≌△DCE（SAS），∵AB＝AE，ED＝DC，∠BAE＝∠CDE＝108°，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，∠ECB＝∠BCD﹣∠DCE＝72°，由（1）可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，∴∠FAE＝∠EBC，∠FEA＝∠ECB，∴△FAE≌△EBC（ASA），由（2）得：＝，∴＝，∴＝，∴設(shè)△ABE的面積為（﹣1）k，則△AEF的面積為2k，∴△ABE的面積＝△DEC的面積＝（﹣1）k，△AEF的面積＝△BCE的面積＝2k，∴五邊形ABCDE的面積＝△ABE的面積+△DCE的面積+△BCE的面積＝2k，∴＝＝，∴的值為．【真題點撥】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，正多邊形和圓，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．14．（2023?江西）課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．定理證明（1）為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：在?ABCD中，對角線BD⊥AC，垂足為O．求證：?ABCD是菱形．知識應(yīng)用（2）如圖2，在?ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．①求證：?ABCD是菱形；②延長BC至點E，連接OE交CD于點F，若∠E＝∠ACD，求的值．【思路點撥】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知條件判定AC是BD的垂直平分線，推出AB＝AD后利用菱形的定義即可判定?ABCD是菱形；（2）①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出AO、DO的長，然后根據(jù)勾股定理逆定理判定∠AOD，然后根據(jù)“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．”即可得證；②設(shè)CD的中點為G，連接OG，根據(jù)已知條件求出OG、CE的長，判定△OGF∽△ECF，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出的值．【規(guī)范解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝DO，又∵BD⊥AC，垂足為O，∴AC是BD的垂直平分線，∴AB＝AD，∴?ABCD是菱形．（2）①證明：∵?ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AC＝8，BD＝6，∴AO＝CO＝AC＝4，DO＝BD＝3，又∵AD＝5，∴在三角形AOD中，AD2＝AO2+DO2，∴∠AOD＝90°，即BD⊥AC，∴?ABCD是菱形；②解：如圖，設(shè)CD的中點為G，連接OG，∴OG是△ACD的中位線，∴OG＝AD＝，由①知：四邊形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠ACB，又∵∠E＝∠ACD，∴∠E＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠E+∠COE，∴∠E＝∠COE，∴CE＝CO＝4，∵OG是△ACD的中位線，∴