專題23直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式8種常見考法歸類（125題）

專題2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式8種常見考法歸類（125題）題型一兩條直線的交點(diǎn)問題（一）求直線交點(diǎn)坐標(biāo)（二）由方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線的位置關(guān)系（三）由方程組解的個(gè)數(shù)求參數(shù)（四）由直線的相交關(guān)系求參數(shù)（五）由直線的交點(diǎn)位置求參數(shù)（六）求過交點(diǎn)的直線方程題型二三線圍成三角形問題題型三兩點(diǎn)間的距離公式（一）求兩點(diǎn)間的距離（二）由兩點(diǎn)間的距離求參數(shù)（三）距離公式求最值（四）判斷三角形、四邊形的形狀（五）求三角形、四邊形的周長(zhǎng)、面積題型四點(diǎn)到直線的距離（一）求點(diǎn)到直線的距離（二）已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)（三）與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的最值問題（四）求到兩點(diǎn)距離相等的直線方程題型五兩平行線間的距離（一）求平行線間的距離（二）由兩平行線間的距離求參數(shù)（三）由距離求直線的平行線（四）與兩平行直線間的距離有關(guān)的最值問題題型六距離的綜合應(yīng)用題型七直線的對(duì)稱問題（一）求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)（二）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)（三）求兩點(diǎn)的對(duì)稱軸（四）求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線（五）求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線（六）反射光線問題題型八將軍飲馬問題知識(shí)點(diǎn)1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.(2)兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系設(shè)兩直線,直線.方程組的解一組無數(shù)組無解直線l1和l2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行2．兩條直線相交的條件(1)將兩個(gè)直線方程聯(lián)立解方程組，依據(jù)解的個(gè)數(shù)判斷兩條直線是否相交．當(dāng)方程組只有一解時(shí)，兩條直線相交．(2)設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2相交的條件是A1B2－A2B1≠0或eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2，B2≠0)．(3)設(shè)兩條直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則l1與l2相交?k1≠k2.3．過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為參數(shù)，不包含l2)．題型一兩條直線的交點(diǎn)問題（一）求直線交點(diǎn)坐標(biāo)1.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【詳解】解方程組得，即直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,2)．故選：C.2.（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）兩直線和的交點(diǎn)為．【答案】【分析】聯(lián)立兩條直線的方程可得交點(diǎn).【詳解】由題意可得，解得，交點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：3.（2324高二上·重慶渝中·期中）已知直線2x+y+5=0與直線kx+2y=0互相垂直，則它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A．?1,?3 B．?2,?1C．?12,?1【解題思路】先根據(jù)垂直關(guān)系求解出k的值，然后聯(lián)立直線方程可求交點(diǎn)坐標(biāo).【解答過程】因?yàn)?x+y+5=0與kx+2y=0互相垂直，所以2k+2=0，所以k=?1，所以2x+y+5=0x?2y=0，解得x=?2所以交點(diǎn)坐標(biāo)為?2,?1，故選：B.4．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，其垂心為，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】．【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再解方程組即可作答.【詳解】依題意，直線的斜率，而，則直線的方程為，即，直線的斜率，而，則直線的方程為，即，由，解得，所以頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是.（二）由方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線的位置關(guān)系解題策略：判斷兩條直線關(guān)系的方法(1)利用方程組解的個(gè)數(shù)，將“形”的問題轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的問題．(2)利用斜截式方程中斜率和截距的關(guān)系．(3)利用一般式中系數(shù)的關(guān)系5．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）分別判斷下列直線與是否相交．如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(2)不相交(3)不相交【分析】分別聯(lián)立方程組，解方程求解即可判斷.【詳解】（1）解方程組，得，所以與相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解方程組，方程組無解，所以與無公共點(diǎn)，即與不相交．（3）解方程組，因?yàn)榉匠炭苫癁椋苑匠探M有無數(shù)組解，所以與有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，即與不相交．6.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系．如果相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)．(1)直線；(2)直線．【答案】(1)相交，交點(diǎn)是(2)答案見解析【詳解】（1）聯(lián)立，解得，所以兩直線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）當(dāng)時(shí)，，，聯(lián)立，方程組有無數(shù)組解，故兩直線重合，當(dāng)時(shí)，，，聯(lián)立，方程組無解，故兩直線平行，當(dāng)，聯(lián)立，解得，所以兩直線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為.綜上所述：當(dāng)時(shí)，兩直線重合；當(dāng)時(shí)，兩直線平行；當(dāng)時(shí)，兩直線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為.（三）由方程組解的個(gè)數(shù)求參數(shù)7.（2024·上海·高三專題練習(xí)）若關(guān)于、的方程組無解，則實(shí)數(shù)________【答案】【詳解】由題意關(guān)于、的方程組無解，即直線和直線平行，故，所以，此時(shí)直線即，確實(shí)與平行，故滿足題意，所以實(shí)數(shù).故答案為：2.8.（2024·高二校聯(lián)考課時(shí)練習(xí)）若關(guān)于，的方程組有唯一解，則實(shí)數(shù)滿足的條件是________.【答案】/【詳解】由，可得，由關(guān)于，的方程組有唯一解，可得方程有唯一解，則故答案為：9.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）關(guān)于?的二元一次方程組有無窮多組解，則與的積是_____.【答案】35【詳解】因?yàn)閤?y的二元一次方程組有無窮多組解，所以直線與直線重合，所以，解得，所以，故答案為：3510.（2324高二上·安徽蕪湖·期中）已知直線l1:mx?y+m?1=0與射線l2:x?y?2=0(x≥0)恒有公共點(diǎn)，則A．(?∞,?1]∪(1,+∞) B．(?∞,?1]∪[1,+∞)C．[?1,1) D．[?1,1]【解題思路】根據(jù)題意聯(lián)立方程得x=?m?1m?1，再解不等式【解答過程】聯(lián)立{mx?y+m?1=0x?y?2=0，得∵直線l1:mx?y+m?1=0與射線∴x=?m?1解得?1≤m<1.∴m的取值范圍是[?1,1).故選：C.11.（2324高二上·安徽·階段練習(xí)）已知三條直線2x+y?4=0,kx?y+3=0,x?y?2=0交于一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k=（

）A．?1 B．1C．?32 【解題思路】聯(lián)立不含參直線求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再代入含參直線方程求參數(shù)即可.【解答過程】由2x+y?4=0x?y?2=0?x=2代入kx?y+3=0得：2k?0+3=0?k=?3故選：C.12.（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）若三條直線，與共有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1【答案】C【詳解】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，∵直線和直線不平行，∴直線和直線平行或直線和直線平行，∵直線的斜率為1，直線的斜率為，直線的斜率為，∴或.故選：C.（四）由直線的相交關(guān)系求參數(shù)13．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）直線與直線相交，則m的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據(jù)兩直線相交的條件即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線，即相交，所以，解得.所以m的取值范圍為.故答案為：14.（2024秋·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直線與直線相交，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【詳解】因直線與直線相交，則，即，解得且，所以實(shí)數(shù)k的值為且.故選：D（五）由直線的交點(diǎn)位置求參數(shù)15.（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知兩直線和，相交于點(diǎn)，則的值分別是（

）A．7，1 B．1，7C． D．【答案】B【分析】將點(diǎn)分別代入兩直線方程即可解得，.【詳解】將點(diǎn)代入直線的方程可得，解得；將代入直線的方程可得，解得；故選：B16.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）兩直線和的交點(diǎn)在軸上，則的值是（

）A．24 B．6 C．±6 D．24【答案】C【詳解】因?yàn)閮蓷l直線和的交點(diǎn)在軸上，所以設(shè)交點(diǎn)為，所以，消去，可得．故選：．17.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【詳解】由題意，直線，令，可得；令，可得，即，如圖所示，當(dāng)直線過點(diǎn)，可得；當(dāng)直線過點(diǎn)，可得，要使得直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.18.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．【答案】D【詳解】聯(lián)立得，因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)位于第一象限，所以，解得.故選：D19．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】聯(lián)立方程組求得兩直線的交點(diǎn)為，根據(jù)題意列出不等式組，即可求解.【詳解】由方程組，解得，即兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)位于第四象限，可得且，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.20.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線相交且交點(diǎn)在第二象限內(nèi)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】若直線與直線平行或重合，則，解得，若直線與直線相交，可得且，則有：聯(lián)立方程，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得：，解得；綜上所述：k的取值范圍為.故選：C.21.（2324高二上·北京朝陽(yáng)·階段練習(xí)）若直線l：y=kx?3與直線2x+3y?6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

A．π6,πC．π3,π【解題思路】聯(lián)立兩直線方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)交點(diǎn)位于第一象限得到6+332+3k>0【解答過程】聯(lián)立y=kx?32x+3y?6=0得x=6+332+3k所以直線l的傾斜角的范圍為π6故選：B.22．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與互相垂直，垂足為，則的值為（

）A．20 B．4 C．12 D．4【答案】A【分析】根據(jù)兩直線垂直，列出方程求得的值，再由兩種的交點(diǎn)為，列出方程組求得的值，即可求解.【詳解】由兩直線與垂直，可得，即，又由兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是，可得，解得，所以.故選：A.（六）求過交點(diǎn)的直線方程解題策略：過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的求法(1)常規(guī)解法(方程組法)：一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．(2)特殊解法(直線系法)：運(yùn)用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程：若兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交點(diǎn)，則過l1與l2交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為待定常數(shù)，不包括直線l2)，設(shè)出方程后再利用其他條件求解．23.（2024秋·高二課時(shí)練習(xí)）過兩直線和的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】設(shè)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，得，解得，故所求直線方程為，即.故選：D.24.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)直線經(jīng)過和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為___________.【答案】或【詳解】方法一：由，得，所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（14，10）,由題意可得直線的斜率為1或1，所以直線的方程為或，即或.方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，由題意，得，解得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.25．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線過直線和直線的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為（）A．B．或C．或D．或【答案】C【分析】先求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意，分直線與兩坐標(biāo)軸的截距不為和直線在兩坐標(biāo)軸的截距等于，兩種情況討論，即可求解.【詳解】由方程組，解得，所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，當(dāng)直線與兩坐標(biāo)軸的截距不為時(shí)，可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過兩直線的交點(diǎn)，代入可得，所以直線的方程為；當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸的截距等于時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過兩直線的交點(diǎn)，代入可得，即直線的方程為，綜上可得，直線的方程為或.故選：C.26.（2324高二上·山東聊城·期中）經(jīng)過兩條直線l1:x+y=2，l2:2x?y=1的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量A．2x?y?1=0 B．2x+y?3=0C．3x?2y?5=0 D．2x+3y?5=0【解題思路】求出交點(diǎn)，由方向向量可得斜率，然后由點(diǎn)斜式可得方程.【解答過程】聯(lián)立x+y=22x?y=1，解得：x=1即直線l1:x+y=2,l又直線的一個(gè)方向向量v=?6,4，所以直線的斜率為故該直線方程為：y?1=?23故選：D.27.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩直線和的交點(diǎn)為．求：(1)過點(diǎn)與的直線方程；(2)過點(diǎn)且與直線平行的直線方程．【答案】(1)(2)（1）設(shè)過直線和交點(diǎn)的直線方程為，即．①把點(diǎn)代入方程①，化簡(jiǎn)得，解得，所以過點(diǎn)P與Q的直線方程為，即．（2）由兩直線平行，得，得，所以所求直線的方程為，即．28.（2024·天津·高二校聯(lián)考期末）過直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程是（

）．A． B．C． D．【答案】B【詳解】聯(lián)立方程，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為；直線的斜率為，所以所求直線方程的斜率為，由點(diǎn)斜式直線方程得：所求直線方程為，即；故選：B.29.（2324高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）經(jīng)過直線l1:y=?2x?1和l2:y=2x+3的交點(diǎn)，且傾斜角是直線A．2x+y+1=0 B．x?4y+3=0 C．4x+3y+1=0 D．3x+4y?1=0【解題思路】求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用二倍角的正切公式求出直線的斜率即可求解.【解答過程】由y=?2x?1y=2x+3，解得x=?1y=1，即所求方程的直線過點(diǎn)令直線l2:y=2x+3的傾斜角為α，則tanα=2因此所求方程的直線斜率k=tan所以所求的直線方程為y?1=?43(x+1)故選：C.30．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)是直線和的公共點(diǎn)，則相異兩點(diǎn)和所確定的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)槭侵本€和的公共點(diǎn)，所以，且，所以兩點(diǎn)和都在同一條直線上，故兩點(diǎn)和所確定的直線方程是，故選:A.31．（福建省連江第一中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且．(1)求直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知直線經(jīng)過與的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）由，可得直線的斜率，從而可得，聯(lián)立方程組即可求得交點(diǎn)；（2）由題意知的斜率k存在，設(shè)，求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】（1）（1）因?yàn)?，又直線的斜率,所以直線的斜率,則.由所以直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為.（2）由題意知的斜率k存在，設(shè)令得，令得，因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，所以，解得，，解得或，即或.題型二三線圍成三角形問題解題策略：已知三條直線相交于同一點(diǎn)，求直線方程中的參數(shù)，只需求出其中兩條直線的交點(diǎn)，利用該點(diǎn)也在第三條直線上即可求解.若已知三條直線有三個(gè)不同的交點(diǎn),則需滿足其中兩條直線的交點(diǎn)不在第三條直線上且三條直線的斜率不同，32.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）使三條直線不能圍成三角形的實(shí)數(shù)的值最多有幾個(gè)（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【詳解】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，若平行，則，即；若平行，則，即無解；若平行，則，即；若三條直線交于一點(diǎn)，，可得或；經(jīng)檢驗(yàn)知：均滿足三條直線不能圍成三角形，故m最多有4個(gè).故選：B33.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）若三條直線，，能構(gòu)成三角形，求應(yīng)滿足的條件．

【答案】且【詳解】為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點(diǎn)．①若，則由，得；②若，則由，得；③若，則由，得，當(dāng)時(shí)，與三線重合，當(dāng)時(shí)，平行．④若三條直線交于一點(diǎn)，由，解得，將的交點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程，解得(舍去)，或，所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需且．34.【多選】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）三條直線，，構(gòu)成三角形，則的值不能為（

）A． B．C． D．－2【答案】AC【詳解】直線與都經(jīng)過原點(diǎn)，而無論為何值，直線總不經(jīng)過原點(diǎn)，因此，要滿足三條直線構(gòu)成三角形，只需直線與另兩條直線不平行，所以．故選：AC.35.（2024·浙江寧波·高二期末）若三條直線與能圍成一個(gè)直角三角形，則__________．【答案】或1【詳解】顯然，3xy+1=0，x+y+3=0有交點(diǎn)，若與垂直，則；若與垂直，則．所以或1．故答案為：或136.（2024·高二校聯(lián)考課時(shí)練習(xí)）已知三條直線，，.（1）若直線，，交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若直線，，不能圍成三角形，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）或；（2）或或4或.【詳解】（1）∵直線，，交于一點(diǎn)，∴與不平行，∴，由，得，即與的交點(diǎn)為，代入的方程，得，解得或.（2）若，，交于一點(diǎn)，則或；若，則；若，則；若，則不存在滿足條件的實(shí)數(shù).綜上，可得或或4或.知識(shí)點(diǎn)2兩點(diǎn)間的距離1.兩點(diǎn)間的距離平面上任意兩點(diǎn)，間的距離公式為特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離.2.對(duì)兩點(diǎn)間距離公式的理解(1)此公式與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān)，也就是說公式也可寫成|P1P2|＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2).(2)當(dāng)直線P1P2平行于x軸時(shí)，|P1P2|＝|x2－x1|；當(dāng)直線P1P2平行于y軸時(shí)，|P1P2|＝|y2－y1|.3．點(diǎn)到幾種特殊直線的距離(1)點(diǎn)P(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|；(2)點(diǎn)P(x0，y0)到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|；(3)點(diǎn)P(x0，y0)到與x軸平行的直線y＝b(b≠0)的距離d＝|y0－b|；(4)點(diǎn)P(x0，y0)到與y軸平行的直線x＝a(a≠0)的距離d＝|x0－a|.題型三兩點(diǎn)間的距離公式（一）求兩點(diǎn)間的距離37．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知三頂點(diǎn)坐標(biāo)，試求邊上的中線的長(zhǎng)．【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由為的中點(diǎn)，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出的長(zhǎng)．【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為．由兩點(diǎn)間的距離公式得，所以邊上的中線的長(zhǎng)為．38．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則________．【答案】【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出，再有距離公式求解即可.【詳解】由已知得，解得，即，故答案為：39．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）直線和直線分別過定點(diǎn)和，則|________．【答案】【分析】求出直線、所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可求得的值.【詳解】將直線的方程變形為，由，可得，即點(diǎn)，將直線的方程變形為，由，可得，即點(diǎn)，所以，.故答案為：.40．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，AB的中點(diǎn)是，則A與B坐標(biāo)分別為________，________．【答案】，【分析】設(shè)，，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，進(jìn)而得到A，B的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.【詳解】設(shè)，，因?yàn)锳B中點(diǎn)，所以，即，，所以，，所以，故答案為：，；.41.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知，兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線和上，且線段的中點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)為（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【詳解】因?yàn)橹本€和互相垂直，所以，解得，所以線段AB的中點(diǎn)為，所以設(shè)，則，解得，所以，所以，故選：C42.（2324高三下·浙江麗水·開學(xué)考試）設(shè)點(diǎn)A,B在曲線y=log2x上．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2)，則|AB|=A．6 B．210 C．43 【解題思路】設(shè)A(x1,【解答過程】設(shè)A(x因?yàn)锳B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2)，可得x1整理得x1+x2=10,不妨設(shè)A(2,1),B(8,3)，所以AB=故選：B.（二）由兩點(diǎn)間的距離求參數(shù)解題策略：解決兩點(diǎn)間距離公式逆用問題的思路已知所求點(diǎn)的相關(guān)信息及該點(diǎn)到某點(diǎn)的距離滿足某些條件時(shí)，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式建立關(guān)于所求點(diǎn)坐標(biāo)的方程或方程組求解43．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，則________．【答案】9或【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程求解即可.【詳解】由，得，即，解得或．故答案為：9或.44.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)在軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C在x軸上，設(shè)點(diǎn)，則，所以，化簡(jiǎn)可得：，所以.故選：D.45．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）在直線上求一點(diǎn)P，使它到點(diǎn)的距離為5，并求直線PM的方程.【答案】或，對(duì)應(yīng)直線PM的方程為或.【分析】利用點(diǎn)在直線上和兩點(diǎn)距離建立方程組求解點(diǎn)的坐標(biāo)，求出斜率，代入點(diǎn)斜式求解直線方程.【詳解】設(shè)，由題意，解得或，所以或，當(dāng)時(shí)，直線PM的斜率，因此直線PM方程為，即；當(dāng)時(shí)，直線PM的斜率，因此直線PM方程為，即.（三）距離公式求最值46.（2024秋·甘肅嘉峪關(guān)·高二校考期中）函數(shù)的最小值是_____________.【答案】5【詳解】解：因?yàn)?，設(shè)，，，則表示點(diǎn)到點(diǎn)，兩點(diǎn)的距離之和，即，點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以，所以的最小值是.故答案為：47．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，看作動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和的最值，利用對(duì)稱性可得答案.【詳解】,可以看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，最小值為間的距離.故選：D.48.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）某同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，從而將函數(shù)變形為，求得的最小值為________．【答案】【詳解】由變形所得函數(shù)知：表示x軸上的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，∴當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)，有最小值為.故答案為：49．（四川省德陽(yáng)市第五中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期5月月考理科數(shù)學(xué)試題）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線與過定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是______．【答案】10【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)可得的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩直線垂直可得勾股定理，結(jié)合不等式即可求解最值.【詳解】由得，故,由得,由于直線與直線互相垂直，所以,故所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是10故答案為：10（四）判斷三角形、四邊形的形狀解題策略：判斷四邊形與三角形形狀的方法（1）利用兩點(diǎn)間距離公式判定三角形形狀的方法已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)判斷三角形的形狀時(shí)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求三邊長(zhǎng)，從邊長(zhǎng)間的關(guān)系入手如果邊長(zhǎng)相等,則可能是等腰或等邊三角形;如果滿足勾股定理,則是直角三角形.(2)判斷四邊形形狀的方法是：若兩組對(duì)邊均平行，則是平行四邊形，進(jìn)而再判斷是否是矩形、菱形或正方形；若一組對(duì)邊平行，進(jìn)而再判斷是否是等腰梯形或直角梯形；若兩組對(duì)邊均不平行，則為一般四邊形．(3)利用兩點(diǎn)間距離公式求出線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)各邊長(zhǎng)度判斷三角形或四邊形形狀是常見題型．解題時(shí)要注意方程思想和分類討論思想的應(yīng)用．50．（江蘇省鎮(zhèn)江市20232024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題）已知，，，則是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出，，的長(zhǎng)度即可判斷【詳解】，，，，，，，是直角三角形．故選：A．51．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，判斷的類型.【答案】等腰三角形【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出，再求出可得答案.【詳解】∵，，，∴，且三邊不滿足勾股定理，∵，∴，∴三點(diǎn)不共線，∴是等腰三角形．52．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），則四邊形ABCD是（

）A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正方形【答案】A【分析】利用斜率判斷直線是否平行，利用兩點(diǎn)間距離公式判斷線段是否相等.【詳解】由A（1，2），B（3，4），C（3，2），D（1，1），有，，則，，，，所以四邊形ABCD是梯形.故選：A.（五）求三角形、四邊形的周長(zhǎng)、面積53．（重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校20232024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，．(1)求的面積；(2)判斷四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？并說明理由．【答案】(1)(2)四點(diǎn)不在同一圓上，理由詳見解析【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式求得的面積.（2）先判斷過三點(diǎn)的圓的直徑，再根據(jù)的大小確定正確答案.【詳解】（1），所以，所以，所以的面積為.（2）四點(diǎn)不在同一圓上，理由如下：由于，所以過三點(diǎn)的圓（設(shè)為圓）的直徑是，由（1）知是等腰直角三角形，且，所以不是圓的圓周角，所以四點(diǎn)不在同一圓上.54．（遼寧省協(xié)作校20232024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）已知正方形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)在第四象限.(1)求正方形的面積;(2)求直線和的方程.【答案】(1)(2)直線AB的方程為，直線的方程為【分析】（1）由兩點(diǎn)間距離公式與正方形面積公式求解，（2）由垂直關(guān)系與待定系數(shù)法得點(diǎn)坐標(biāo)，再求解點(diǎn)斜式方程，【詳解】（1）由題意知，所以正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，所以正方形ABCD的面積．（2）因?yàn)锳C所在直線的方程為，且，所以BD所在直線的方程為．設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，因?yàn)?，所以，解得，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，所以直線AB的方程為，即，因?yàn)?，所以直線的方程為，即．55．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l過點(diǎn)，且分別與x，y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn).O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)當(dāng)面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)值最小時(shí)，求直線l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)直線l，分別令得出坐標(biāo)，然后得到面積表達(dá)式，利用基本不等式求得最值，即可得到此時(shí)斜率，即得到直線方程.（2）計(jì)算出，得到表達(dá)式，利用基本不等式得到最值，即可得到此時(shí)斜率，即得到直線方程.【詳解】（1）由題意得斜率設(shè)l，令，則，令，，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即（因故正值舍去）時(shí)等號(hào)成立.故直線l的方程為，即.（2），因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即1時(shí)等號(hào)成立.又，故故直線l的方程為即知識(shí)點(diǎn)3點(diǎn)到直線的距離1.點(diǎn)到直線的距離平面上任意一點(diǎn)到直線：的距離.2.應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的問題(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式，應(yīng)先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離，應(yīng)先把直線方程化為kx－y＋b＝0，得d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(k2＋1)).(2)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為零，公式仍然適用，故應(yīng)用公式時(shí)不必判定點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系．題型三點(diǎn)到直線的距離解題策略：點(diǎn)到直線的距離的求解方法(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可．(2)對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點(diǎn)P(x0，y0)到它們的距離時(shí)，既可以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．（一）求點(diǎn)到直線的距離56.（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）點(diǎn)(1,1)到直線的距離是（

）A．1 B．2 C．D.3【答案】A【詳解】，故選：A57．（上海市青浦區(qū)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）點(diǎn)到直線的距離為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.58.（2324高一下·江蘇泰州·期中）已知點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求解.【詳解】根據(jù)題意，，所以直線的方程為，即，點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.（二）已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)59.（2024·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)到直線的距離為1，則的值為（

）A或 B．或15C．5或 D．5或15【答案】D【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為1，所以,解得或5.故選:D.60.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點(diǎn)到直線的距離為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得．解得或．，．故選：C.61.（2324高一下·北京順義·階段練習(xí)）在直線上求一點(diǎn)，使它到直線的距離等于原點(diǎn)到l的距離，則此點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】或【分析】設(shè)直線上的點(diǎn)為，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】設(shè)直線上的點(diǎn)為，點(diǎn)直線的距離為，原點(diǎn)到l的距離為，所以，解得或，所以此點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故答案為：或.62.（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二瀏陽(yáng)一中?？奸_學(xué)考試）已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A．2 B． C．2或 D．2或【答案】D【詳解】（1）若在的同側(cè)，則，所以，，（2）若在的異側(cè)，則的中點(diǎn)在直線上，所以解得,故選:D.（三）與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的最值問題63.（2023春·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，則的最小值為_________.【答案】2【詳解】因?yàn)楸硎緞?dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)，所以的最小值為到線的距離.故答案為：2.64.（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)在直線上，為原點(diǎn)，則的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【詳解】原點(diǎn)到直線的距離為，根據(jù)垂線段的性質(zhì)可知的最小值是，故選：A65．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）直線過定點(diǎn)___________，原點(diǎn)到直線l的距離的最大值為___________.【答案】【分析】將化為可得直線所過定點(diǎn)；由第一空答案結(jié)合圖形，可得原點(diǎn)到直線l的距離的最大值.【詳解】由可得，則，得，故l過定點(diǎn)；如圖，設(shè)定點(diǎn)為A，當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離的最大.理由如下：設(shè)為過A點(diǎn)的除l外的一條直線，其到原點(diǎn)距離如圖為，因?yàn)橹苯侨切危瑒t.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離的最大.此時(shí)最大距離為.故答案為：；.66．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則線段AB垂直直線時(shí)，線段AB最短，根據(jù)兩直線垂直的斜率關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，當(dāng)線段AB垂直直線時(shí)，線段AB最短，由直線得其斜率為1，則，得，所以的坐標(biāo)是.故選：A67．（重慶市第十一中學(xué)校20232024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知直線：過定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線：距離的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】本題首先求出，然后發(fā)現(xiàn)直線：恒過定點(diǎn)，由圖可得點(diǎn)到直線：距離的最大值可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的距離.【詳解】由題意知，直線：恒過定點(diǎn)，直線：恒過定點(diǎn)，如圖所示，過作的垂線段，垂足為，那么必有，當(dāng)且僅當(dāng)與重合時(shí)取等號(hào)，從而的最大值為，即點(diǎn)到直線：距離的最大值是.故選：D.

68.（2324高二上·廣東廣州·期末）若點(diǎn)在直線上，則的最小值為.【答案】/0.8【分析】轉(zhuǎn)化為求直線上點(diǎn)到定點(diǎn)距離的平方的最小值，由點(diǎn)到直線距離可得解.【詳解】表示點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，又點(diǎn)在直線上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上點(diǎn)到定點(diǎn)距離的平方的最小值，，所以得最小值為.故答案為：.69．（山東省臨沂市平邑縣第一中學(xué)20232024學(xué)年高二10月月考數(shù)學(xué)試題）已知兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則的范圍是________，的范圍是________.【答案】【分析】畫出圖象，結(jié)合斜率以及兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式求得正確答案.【詳解】，表示線段上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率（），，結(jié)合圖象知：的取值范圍是.表示線段上的點(diǎn)與點(diǎn)連線的距離的平方，，直線的方程為則，到直線的距離為所以的范圍是.故答案為：；（四）求到兩點(diǎn)距離相等的直線方程70．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）過點(diǎn)且和的距離相等的直線方程是_________．【答案】或【分析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證不滿足條件；當(dāng)若斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程求得的值，即可求解.【詳解】若斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線為，此時(shí)不滿足條件；若斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的直線，即．根據(jù)題意，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，直線方程為，當(dāng)時(shí)，直線方程為綜上可得，直線方程為或．故答案為：或71.（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，若直線過點(diǎn)，且、到直線的距離相等，則直線的方程為______.【答案】或【詳解】依題意，到直線的距離相等.的中點(diǎn)為，當(dāng)過以及時(shí)，直線的方程為.直線的斜率為，當(dāng)直線過并與平行時(shí)，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.故答案為：或72.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，到直線的距離都等于2，求直線的方程．【答案】或，，．【詳解】①當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹本€的方程為，所以可設(shè)直線l的方程為．由或，即直線l的方程為或．②當(dāng)l過線段的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)l的方程為，即．點(diǎn)到l的距離，即．又當(dāng)軸時(shí)，斜率不存在，此時(shí)也符合題意．綜上直線的方程為：或，，．知識(shí)點(diǎn)4兩條平行線間的距離1.兩條平行線間的距離一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.2.對(duì)兩條平行直線間的距離公式的理解(1)求兩條平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，也可以利用公式．(2)利用公式求平行直線間的距離時(shí)，兩條直線的方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．(3)當(dāng)兩條直線都與x軸(或y軸)垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來解決．①兩條直線都與x軸垂直時(shí)，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，則d＝|x2－x1|；②兩條直線都與y軸垂直時(shí)，若l1：y＝y(tǒng)1，l2：y＝y(tǒng)2，則d＝|y2－y1|.題型四兩平行線間的距離解題策略：求兩條平行直線間距離的兩種思路(1)利用“化歸”法將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．(2)直接利用兩條平行直線間的距離公式，當(dāng)直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時(shí)，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；當(dāng)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時(shí)，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，必須注意兩條直線方程中x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．（一）求平行線間的距離73.（2024·高二課時(shí)練習(xí)）兩條平行直線與間的距離為（

）A． B．2 C．14 D．【答案】D【詳解】由距離公式可知，所求距離為.故選：D74.（2023春·河南洛陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）兩條平行線，間的距離等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依題意，將直線變?yōu)?，又，所以兩平行線間的距離為.故選：A.75．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）．A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)的值，再將直線方程化為、對(duì)應(yīng)系數(shù)一致，最后利用距離公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，所以直線，即，即，所以兩平行線之間的距離.故選：B76．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，且∥．(1)求的值；(2)求兩平行線與之間的距離．【答案】(1)1(2)【分析】（1）由兩直線平行，可得，從而可求出的值；（2）先將直線變形后，再利用兩平行線間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橹本€，且∥，所以，解得（2）由（1）知的方程為，即，所以與之間的距離為．（二）由兩平行線間的距離求參數(shù)77.（2023春·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若平面內(nèi)兩條平行線：，：間的距離為，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2【答案】A【詳解】因?yàn)閮芍本€：，：平行，可得且，解得或，當(dāng)時(shí)，，，即，可兩平行線間的距離為，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，即，可兩平行線間的距離為，不符合題意，舍去.故選：A.78.（2024·高一單元測(cè)試）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．【答案】3【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得且，所以直線為，直線化為，因?yàn)閮善叫芯€間的距離為，所以，得，因?yàn)樗?，得，所以，故答案為?79．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩條直線，，且，當(dāng)兩平行線距離最大時(shí)，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出恒過的定點(diǎn)，故，距離的最大值為，所以，求解即得出答案.【詳解】，由，解得，故過定點(diǎn)．，由，解得，故過定點(diǎn)，故，距離的最大值為．此時(shí)，，則，，解得，故．故選：C．80．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．【答案】3【分析】由兩直線平行列方程求出，再由兩平行線間的距離公式列方程可求出的值，從而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得且，所以直線為，直線化為，因?yàn)閮善叫芯€間的距離為，所以，得，因?yàn)樗裕茫?，故答案為?（三）由距離求直線的平行線81.（2324高二上·湖北十堰·階段練習(xí)）到直線3x?4y?11=0的距離為1的直線方程為（

）A．3x?4y?1=0 B．3x?4y?6=0或3x?4y?16=0C．3x?4y+1=0或3x?4y?1=0 D．3x?4y+16=0或3x?4y?3=0【解題思路】設(shè)所求的直線方程為3x?4y+C=0，根據(jù)平行線間距離公式列方程即可求出C，得出答案.【解答過程】設(shè)所求的直線方程為3x?4y+C=0，由題意得C??1132+(?4)所以所求直線方程為3x?4y?6=0或3x?4y?16=0.故選：B.82．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為__________．【答案】【分析】由平行直線系設(shè)直線的方程，由平行線間的距離公式列式求解即可．【詳解】解：依題意設(shè)直線的方程為，，則，即，解得，所以直線的方程為．故答案為：83．【多選】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）與直線平行且到的距離等于的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用平行線間的距離公式即可求解.【詳解】設(shè)所求直線方程為，由題意得，解得：或，故所求直線方程為：或.故選：AB.84．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)，且被兩平行直線和截得的線段之長(zhǎng)為5．則直線l的方程為_________．【答案】或【分析】設(shè)出直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)給定條件列式探求兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，求出直線方程作答.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于點(diǎn)，則，兩式相減得：，而，即，解得或，由，即，軸，得直線方程為，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，由，即，軸，得直線方程為，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，所以直線l的方程為或.故答案為：或

85．（上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若直線被兩平行線與所截得的線段的長(zhǎng)為2，則直線的傾斜角為______．【答案】或【分析】根據(jù)兩平行線間的距離與2的比較可得直線和兩平行線的夾角為60°，再根據(jù)傾斜角的關(guān)系求解即可．【詳解】設(shè)直線與兩平行線的交點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，如圖，兩平行線間的距離，則，又，所以直線與兩平行線的夾角滿足，則，因?yàn)閮善叫芯€斜率為，所以傾斜角為，所以直線的傾斜角為或．故答案為：或．（四）與兩平行直線間的距離有關(guān)的最值問題86.（2324高二上·天津和平·期末）設(shè)點(diǎn)P，Q分別為直線3x+4y?7=0與直線6x+8y+3=0上的任意一點(diǎn)，則PQ的最小值為（

）A．1 B．2 C．1710 D．【解題思路】因?yàn)橹本€3x+4y?7=0與直線6x+8y+3=0平行，所以PQ的最小值為直線6x+8y?14=0與直線6x+8y+3=0距離，求解即可.【解答過程】由直線3x+4y?7=0可得6x+8y?14=0，所以直線3x+4y?7=0與直線6x+8y+3=0平行，所以PQ的最小值為直線6x+8y?14=0與直線6x+8y+3=0距離，所以d=3?故選：C.87．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)，分別在直線和直線上移動(dòng)，求線段的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為________．【答案】【分析】由題意線段的中點(diǎn)的集合為與直線和直線距離相等的直線，記為，則到原點(diǎn)距離最小值為原點(diǎn)到的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求．【詳解】由題意線段的中點(diǎn)的集合為與直線和直線距離相等的直線，記為，則到原點(diǎn)距離最小值為原點(diǎn)到的距離，設(shè)直線，則，解得，所以，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，到原點(diǎn)的距離的最小值為．故答案為：．題型五距離的綜合應(yīng)用解題策略：兩種距離公式在解析幾何中的應(yīng)用(1)點(diǎn)到直線的距離公式及兩平行線間的距離公式是解析幾何的基本公式之一，在解析幾何中具有重要的作用．(2)在使用距離公式時(shí)要首先把直線方程化為一般式．88．（上海市上海中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）過點(diǎn)作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點(diǎn)平分，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】當(dāng)斜率不存在時(shí)，不符合題意，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為，進(jìn)而得出交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)為兩交點(diǎn)的中點(diǎn)建立等式，求出的值，從而即可解決問題.【詳解】如果直線斜率不存在時(shí)，直線方程為：，不符合題意；所以直線斜率存在設(shè)為，則直線方程為，聯(lián)立直線得：，聯(lián)立直線得：，，所以直線與直線，直線的交點(diǎn)為：，又直線夾在兩條直線和之間的線段恰被點(diǎn)平分，所以，解得：，所以直線的方程為：，故選：B.89．（上海師范大學(xué)附屬中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期3月第二次月考數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為______.【答案】【分析】作出圖象，易知，則然后易求得當(dāng)時(shí)，此時(shí)可過作直線與垂直，易知得的方程，然后在上，直線，之間找點(diǎn)，使得到的距離等于點(diǎn)到的距離，此時(shí)最小距離和即為，由此求解．【詳解】易知，作出圖象如下，過點(diǎn)作直線，則，直線，過作直線，與直線交于點(diǎn)，易知四邊形為平行四邊形，故，且到直線的距離等于到的距離，設(shè)，則，解得或（舍，所以，而，且（定值），故只需求出的最小值即可，顯然，故的最小值為．故答案為：．90．（山東省菏澤市鄆城縣鄆城第一中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知三條直線；，，：，且原點(diǎn)到直線的距離是．(1)求a的值；(2)若，能否找到一點(diǎn)，使同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)在第一象限；②點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍；③點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比是，若能，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說明理由．【答案】(1)(2)存在理由見詳解.【分析】（1）利用原點(diǎn)到直線的距離是求解即可；（2）假設(shè)存在滿足三個(gè)條件的點(diǎn)，然后根據(jù)三個(gè)條件聯(lián)立解出即可.【詳解】（1）因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離是，即所以（2）若，由（1）得，所以設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，則：點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍有即

①點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比是

②

③聯(lián)立①②③解的：故存在滿足上述三個(gè)條件的點(diǎn)91．（上海市青浦區(qū)2023屆高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，若動(dòng)點(diǎn)到兩直線和的距離之和為，則的最大值為___________.【答案】8【分析】由已知可知兩直線，取在的右側(cè)時(shí)，分別過作兩直線的垂線，結(jié)合幾何性質(zhì)確定點(diǎn)軌跡，即可求得的最大值,其他位置同理可得．【詳解】若動(dòng)點(diǎn)到兩直線和的距離之和為，交點(diǎn)為的斜率分別為，則，在的右側(cè)時(shí)，過分別向引垂線，垂足分別為，那么，過作軸的平行線，與交點(diǎn)為如圖，則，所以，其它位置同理，那么點(diǎn)軌跡為正方形，當(dāng)在時(shí)，取得最大值，即取得最大值8.故答案為：8．92．（河北省邢臺(tái)市第二中學(xué)20232024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）過定點(diǎn)A的直線與過定點(diǎn)的直線交于點(diǎn)與不重合），則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)方程可得定點(diǎn)A、B，并且可判斷兩直線垂直，然后利用基本不等式可得.【詳解】動(dòng)直線化為，可知定點(diǎn)，動(dòng)直線化為，可知定點(diǎn)，又所以直線與直線垂直，為交點(diǎn)，.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.即面積的最大值為2.故選：C.93.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線l：kx?y+1+2k=0(k∈R)，P3,?1，Q(1)若P、Q兩點(diǎn)到直線l的距離相等，求此時(shí)直線l的直線方程.(2)當(dāng)k為何值時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離最大(3)當(dāng)k=1時(shí)，求直線l上的動(dòng)點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值，并求此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)【解題思路】（1）分直線l過PQ的中點(diǎn)，直線l與PQ平行兩種情況討論，分別計(jì)算可得；（2）首先求出直線過定點(diǎn)N?2,1，當(dāng)直線l與ON垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離最大，即可求出k（3）首先求出直線l的方程，設(shè)Mx,x+3，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)求出OM的最小值，即可求出M【解答過程】（1）解：因?yàn)镻3,?1，Q?3,3，所以PQ的中點(diǎn)為0,1，若直線l：kx?y+1+2k=0(k∈R)過PQ的中點(diǎn)為0,1，則?1+1+2k=0，解得k=0，此時(shí)直線l為又kPQ=?1?33??3=?23，所以當(dāng)k=kPQ=?23時(shí)直線l綜上可得：直線l的方程為y=1或2x+3y+1=0；（2）解：由kx?y+1+2k=0，得k(x+2)+(?y+1)=0，聯(lián)立x+2=01?y=0，解得x=?2y=1，則直線l:kx?y+1+2k=0過定點(diǎn)由kx?y+1+2k=0，得y=kx+1+2k，當(dāng)直線l與ON垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離最大，最大值為ON=因?yàn)閗ON=?12，所以k=2，即當(dāng)（3）解：當(dāng)k=1時(shí)，直線l：x?y+3=0，設(shè)Mx,x+3，則OM=x2+x+32即直線l上的動(dòng)點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為322，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為知識(shí)點(diǎn)5對(duì)稱問題1.對(duì)稱問題(1)中心對(duì)稱①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱．若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1.))②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線方程．(2)軸對(duì)稱①點(diǎn)(x1，y1)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)(x2，y2)可由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1(AB≠0)，,A·\f(x1＋x2,2)＋B·\f(y1＋y2,2)＋C＝0))得出．對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)x2＝x1－2A·eq\f(Ax1＋By1＋C,A2＋B2)，y2＝y(tǒng)1－2B·eq\f(Ax1＋By1＋C,A2＋B2)注：②直線關(guān)于直線對(duì)稱求直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0關(guān)于l：Ax＋By＋C＝0對(duì)稱的直線l2的方程的方法：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．在l1上任取兩點(diǎn)P1和P2，求出P1，P2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)坐標(biāo)求出l2的方程．另一種方法如下：注：對(duì)稱問題(1)光線的入射、反射的問題以及在某定直線取點(diǎn)，使它與兩定點(diǎn)距離之和最小這類問題均屬于點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題．(2)常用對(duì)稱的特例①A(a，b)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(a，－b)；②B(a，b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B′(－a，b)；③C(a，b)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為C′(b，a)；④D(a，b)關(guān)于直線y＝－x的對(duì)稱點(diǎn)為D′(－b，－a)；⑤P(a，b)關(guān)于直線x＝m的對(duì)稱點(diǎn)為P′(2m－a，b)；⑥Q(a，b)關(guān)于直線y＝n的對(duì)稱點(diǎn)為Q′(a，2n－b)．2.求直線上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的最大值的方法3.求直線上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值的方法題型六直線的對(duì)稱問題（一）求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)解題策略：求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)由：94.（2324高二上·四川遂寧·期中）若A(4，0)與B點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(?2,4) D．(4,?2)【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】解：設(shè)Ba,b，由題知，點(diǎn)A和點(diǎn)B的中點(diǎn)為2,14+a2=20+b2所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2故選：B.95.（2324高二·全國(guó)·課堂例題）已知不同的兩點(diǎn)Pa,?b與Qb+1,a?1關(guān)于點(diǎn)3,4對(duì)稱，則ab=（A．?5 B．14 C．?14 D．5【分析】根據(jù)中點(diǎn)公式，列出方程，求得a,b的值，進(jìn)而求得ab的值.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)Pa,?b與Qb+1,a?1關(guān)于點(diǎn)可得a+b+12=3a?b?12=4所以ab=7×?2故選：C.96.（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)為B(x,y)，則點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)．∴3=解得x=5y=6∴點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,6)．故答案為：(5,6)．（二）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)解題策略：求點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)①設(shè)中點(diǎn)為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，將代入直線：中；②整理得：97.（2024·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，因點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，則AB中點(diǎn)在直線上且直線AB與直線垂直，則，即點(diǎn)A坐標(biāo)為.故選：C98.（2024·上海長(zhǎng)寧·高二上海市延安中學(xué)?？计谀┮阎?，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)橹本€的斜率為，則有，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：99．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________，過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為_______________.【答案】【分析】先利用對(duì)稱的性質(zhì)得到關(guān)于的坐標(biāo)的方程組，解之即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；再利用直線垂直的性質(zhì)，結(jié)合待定系數(shù)法即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，則，解得，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，設(shè)與直線垂直的直線方程為，將代入該式，得，故，所以所求直線方程為.故答案為：；.100.（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_________．【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，即點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.101．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則_________；__________．【答案】42【分析】根據(jù)給定條件，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)列出方程組，解方程組即可作答.【詳解】依題意，直線的斜率為，線段的中點(diǎn)，于是，整理得，解得，所以.故答案為：4；2102.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)是，求、的值．【答案】，.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)是，所以有，解得，.103．（江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得，結(jié)合結(jié)論兩點(diǎn)之間線段最短可求的最小值.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是4，故選：B.（三）求兩點(diǎn)的對(duì)稱軸104.（2324高二·全國(guó)·課后作業(yè)）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)3,2與點(diǎn)1,4重合，則折痕所在直線的一般式方程為.【分析】利用折痕所在直線與兩點(diǎn)連線垂直可得所求直線斜率，利用中點(diǎn)在折痕所在直線上可得所求直線方程.【詳解】∵點(diǎn)3,2與點(diǎn)1,4連線斜率k=2?43?1=?1，∴又點(diǎn)3,2與點(diǎn)1,4的中點(diǎn)為2,3，∴折痕所在直線方程為：y?3=x?2，即x?y+1=0.故答案為：x?y+1=0.105.（2324高二上·四川內(nèi)江·期中）已知點(diǎn)A1,2關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)為B3,1，則直線l的方程為（A．4x+2y?5=0 B．x?2y?5=0 C．x+2y?5=0 D．4x?2y?5=0【分析】由題意直線l為線段AB的中垂線，先求出直線AB的斜率及AB中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)得到直線l的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求出方程，化簡(jiǎn)即可得出.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A1,2關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)為B3,1，所以直線l為線段因?yàn)锳1,2，B3,1中點(diǎn)為2,3所以直線l的斜率為k=2，所以直線l的方程為y?32=2故選：D.106.（2324高一下·河北保定·期末）若點(diǎn)Aa?1,a+1，Ba,a關(guān)于直線l對(duì)稱，則A．x?y+1=0 B．x+y?1=0C．2x?2y+1=0 D．2x+y?2=0【分析】根據(jù)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，直線l經(jīng)過AB中點(diǎn)且直線l和AB垂直，可得l的方程.【詳解】由題意可知AB中點(diǎn)坐標(biāo)是2a?12kAB因?yàn)锳，B關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l經(jīng)過AB中點(diǎn)且直線l和AB垂直，所以直線l的斜率為kl所以直線l的方程為y?2a+1即x?y+1=0，故選：A.求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線解題策略：方法一：在直線上找一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，根據(jù)，再由點(diǎn)斜式求解；方法二：由，設(shè)出的直線方程，由點(diǎn)到兩直線的距離相等求參數(shù).方法三：在直線任意一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，則該點(diǎn)在直線上.107.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：對(duì)于直線，將換為，換為得到，即，所以直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線是.故選：C108.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【答案】B【詳解】設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)，則關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，又因?yàn)樵谏?，所以，即。故選：B109.（上海財(cái)經(jīng)大學(xué)附屬中學(xué)20232024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的一般式方程為______．【答案】【分析】由直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線與已知直線平行，設(shè)出所求直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到兩條直線的距離相等可解出答案.【詳解】設(shè)對(duì)稱直線為，根據(jù)點(diǎn)到兩條直線的距離相等，則有，即，解得（舍）或.所以對(duì)稱直線的方程為.故答案為：.110.（2324高二上·全國(guó)·期末）點(diǎn)P1,2在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(diǎn)0,1對(duì)稱，則一定在直線l1A．12,32 B．?1,3【分析】根據(jù)兩直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求直線l上P1,2的對(duì)稱點(diǎn)，且該點(diǎn)在直線l【詳解】由題設(shè)P1,2關(guān)于0,1對(duì)稱的點(diǎn)為(x,y)，若該點(diǎn)必在l∴1+x2=02+y2=1，解得x=?1故選：C.111.（2324高二上·江蘇常州·期中）已知直線x+2y?3=0與直線ax+4y+b=0關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)b的值為（

）A．2 B．6 C．?2 D．?6【分析】根據(jù)線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱即可得兩直線平行，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱代入求解即可.【詳解】由于直線x+2y?3=0與直線ax+4y+b=0關(guān)于點(diǎn)A(1,0)對(duì)稱，所以兩直線平行，故2a=4，則a=2，由于點(diǎn)(3,0)在直線x+2y?3=0上，(3,0)關(guān)于點(diǎn)A(1,0)的對(duì)稱點(diǎn)為(?1,0)，故(?1,0)在ax+4y+b=0上，代入可得?a+b=0，故b=a=2，故選：A.（五）求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線解題策略：1.直線：（）和：（）相交,求關(guān)于直線的對(duì)稱直線①求出與的交點(diǎn)②在上任意取一點(diǎn)(非點(diǎn)），求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)③根據(jù)，兩點(diǎn)求出直線2.直線：（）和：（）平行,求關(guān)于直線的對(duì)稱直線①②在直線上任取一點(diǎn)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式求直線.112.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，那么直線的方程是______．【答案】【詳解】解：∵直線的斜率為1，且與y軸交于（0，1）點(diǎn)，又∵直線l與直線關(guān)于y軸對(duì)稱，∴直線l的斜率為1，且過（0，1）點(diǎn)，則直線l的方程為，故答案為：113.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）兩直線方程為，，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，，則，解出點(diǎn)在直線上，將式代入，得，化簡(jiǎn)得，即為關(guān)于對(duì)稱的直線方程．故選：C114．（2024·高二課時(shí)練習(xí)）試求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線l的方程．【答案】.【分析】求出直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再在直線取點(diǎn)，并求出該點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)即可求解作答.【詳解】由，解得，即直線交于點(diǎn)，顯然點(diǎn)在直線上，在直線上取點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，點(diǎn)在直線上，因此直線的斜率，所以直線的方程為，即.

115.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是________.【答案】【詳解】設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為,如圖所示：則有，得∵點(diǎn)P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2