專題11解三角形綜合應(yīng)用（22題）（教師版）（01期）-2023年中考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練

專題11解三角形綜合應(yīng)用(22題)一、解答題1．(2023·新疆·統(tǒng)考中考真題)烽燧即烽火臺(tái)，是古代軍情報(bào)警的一種措施，史冊(cè)記載，夜間舉火稱“烽”，白天放煙稱“燧”．克孜爾尕哈烽燧是古絲綢之路北道上新疆境內(nèi)時(shí)代最早、保存最完好、規(guī)模最大的古代烽燧(如圖1)．某數(shù)學(xué)興趣小組利用無人機(jī)測(cè)量該烽燧的高度，如圖2，無人機(jī)飛至距地面高度米的A處，測(cè)得烽燧的頂部C處的俯角為，測(cè)得烽燧的底部B處的俯角為，試根據(jù)提供的數(shù)據(jù)計(jì)算烽燧的高度．(參數(shù)據(jù)：，，，，，)

【答案】米【分析】過點(diǎn)A作的平行線交的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作，根據(jù)題意得出邊形為矩形，，再由正切函數(shù)求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)A作的平行線交的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作，如圖所示：

根據(jù)題意得：四邊形為矩形，，∴，∴，∵，∴米，∴米．【點(diǎn)睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．2．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題)為弘揚(yáng)革命傳統(tǒng)精神，清明期間，某校組織學(xué)生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀(jì)念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀(jì)念碑的通高(碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x)，于是師生組成綜合實(shí)踐小組進(jìn)行測(cè)量．他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得碑頂?shù)难鼋菫?，在點(diǎn)處測(cè)得碑頂?shù)难鼋菫?，已知，測(cè)角儀的高度是(、、在同一直線上)，根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀(jì)念碑的通高．(，結(jié)果保留一位小數(shù))【答案】烈士紀(jì)念碑的通高約為米【分析】根據(jù)題意，四邊形是矩形，米，米，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得出，，等角對(duì)等邊得出，進(jìn)而解，求得，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】解：依題意，四邊形是矩形，米，米，∵∴∴，∴米，在中，∴米∴米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．(2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題)教室里的投影儀投影時(shí)，可以把投影光線，及在黑板上的投影圖像高度抽象成如圖所示的，．黑板上投影圖像的高度，與的夾角，求的長．(結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：，，)

【答案】的長約為【分析】在中，由，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：在中，，，，∴．∴的長約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練的利用銳角的正切求解直角三角形的邊長是解本題的關(guān)鍵．4．(2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題)圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點(diǎn)，支架交于點(diǎn)，支架平行地面，籃筺與支架在同一直線上，米，米，．

(1)求的度數(shù)．(2)某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在発子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．(參考數(shù)據(jù)：)【答案】(1)；(2)該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由見解析【分析】(1)根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余即可求解；(2)延長交于點(diǎn)，根據(jù)題意得出，解，求得，根據(jù)與比較即可求解．【詳解】(1)解：∵，∴，∵，∴．(2)該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，理由如下．如圖，延長交于點(diǎn)，

∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，∴該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．(2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題)渝昆高速鐵路的建成，將會(huì)顯著提升宜賓的交通地位．渝昆高速鐵路宜賓臨港長江公鐵兩用大橋(如圖)，橋面采用國內(nèi)首創(chuàng)的公鐵平層設(shè)計(jì)．為測(cè)量左橋墩底到橋面的距離，如圖．在橋面上點(diǎn)處，測(cè)得到左橋墩的距離米，左橋墩所在塔頂?shù)难鼋?，左橋墩底的俯角，求的長度．(結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：，)

【答案】的長度米【分析】上截取，使得，設(shè)，在中，，，則，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，上截取，使得，

∴，∵∴，設(shè)，在中，，∴又∴∴即米【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．6．(2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題)某實(shí)踐探究小組想測(cè)得湖邊兩處的距離，數(shù)據(jù)勘測(cè)組通過勘測(cè)，得到了如下記錄表：實(shí)踐探究活動(dòng)記錄表活動(dòng)內(nèi)容

測(cè)量湖邊A、B兩處的距離成員

組長：×××

組員：××××××××××××測(cè)量工具

測(cè)角儀，皮尺等測(cè)量示意圖

說明：因?yàn)楹匒、B兩處的距離無法直接測(cè)量，數(shù)據(jù)勘測(cè)組在湖邊找了一處位置C．可測(cè)量C處到A、B兩處的距離．通過測(cè)角儀可測(cè)得的度數(shù)．測(cè)量數(shù)據(jù)角的度數(shù)邊的長度米米數(shù)據(jù)處理組得到上面數(shù)據(jù)以后做了認(rèn)真分析．他們發(fā)現(xiàn)不需要勘測(cè)組的全部數(shù)據(jù)就可以計(jì)算出A、B之間的距離．于是數(shù)據(jù)處理組寫出了以下過程，請(qǐng)補(bǔ)全內(nèi)容．已知：如圖，在中，．_________．(從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線)

求：線段的長．(為減小結(jié)果的誤差，若有需要，取，取，取進(jìn)行計(jì)算，最后結(jié)果保留整數(shù)．)【答案】米，線段的約長為77米；米，線段的約長為77米【分析】填入數(shù)據(jù)米．作于點(diǎn)D，在和中，解直角三角形即可求解．【詳解】(1)當(dāng)填入米時(shí)：已知：如圖，在中，．米．(從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線)

求：線段的長．解：作于點(diǎn)D，

在中，，，∴，，在中，，，∴，∴，∴(米)，答：線段的約長為77米．(2)當(dāng)填入米時(shí)：已知：如圖，在中，．米．(從記錄表中再選一個(gè)條件填入橫線)

求：線段的長．解：作于點(diǎn)D，

在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴(米)，答：線段的約長為77米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用其他問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．(2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題)某綜合實(shí)踐研究小組為了測(cè)量觀察目標(biāo)時(shí)的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡易測(cè)角儀，如圖1所示．

(1)如圖2，在點(diǎn)觀察所測(cè)物體最高點(diǎn)，當(dāng)量角器零刻度線上兩點(diǎn)均在視線上時(shí)，測(cè)得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設(shè)仰角為，請(qǐng)直接用含的代數(shù)式示．(2)如圖3，為了測(cè)量廣場(chǎng)上空氣球離地面的高度，該小組利用自制簡易測(cè)角儀在點(diǎn)分別測(cè)得氣球的仰角為，為，地面上點(diǎn)在同一水平直線上，，求氣球離地面的高度．(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】(1)；(2)【分析】(1)如圖所示，鉛垂線與水平線相互垂直，從而利用直角三角形中兩銳角互余即可得到答案；(2)根據(jù)題意，，在中，，由等腰直角三角形性質(zhì)得到；在中，，由，解方程即可得到答案．【詳解】(1)解：如圖所示：

由題意知，在中，，則，即，；(2)解：如圖所示：

，在中，，由等腰直角三角形性質(zhì)得到，在中，，由，即，解得，氣球離地面的高度．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及直角三角形性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)和正切函數(shù)測(cè)高等，熟練掌握解直角三角形的方法及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．8．(2023·江西·統(tǒng)考中考真題)如圖1是某紅色文化主題公園內(nèi)的雕塑，將其抽象成加如圖2所示的示意圖，已知點(diǎn)，，，均在同一直線上，，測(cè)得．(結(jié)果保小數(shù)點(diǎn)后一位)

(1)連接，求證：；(2)求雕塑的高(即點(diǎn)E到直線BC的距離)．(參考數(shù)據(jù)：)【答案】(1)見解析；(2)雕塑的高約為米【分析】(1)根據(jù)等邊對(duì)等角得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，進(jìn)而得出，即可得證；(2)過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，在中，得出，則，在中，根據(jù)，即可求解．【詳解】(1)解：∵，∴∵即∴即∴；(2)如圖所示，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，

在中，∴，∴∴在中，，∴，(米)．答：雕塑的高約為米．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．9．(2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題)如圖1，某人的一器官后面處長了一個(gè)新生物，現(xiàn)需檢測(cè)到皮膚的距離(圖1)．為避免傷害器官，可利用一種新型檢測(cè)技術(shù)，檢測(cè)射線可避開器官從側(cè)面測(cè)量．某醫(yī)療小組制定方案，通過醫(yī)療儀器的測(cè)量獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用數(shù)據(jù)計(jì)算出新生物到皮膚的距離．方案如下：課題檢測(cè)新生物到皮膚的距離工具醫(yī)療儀器等示意圖

說明如圖2，新生物在處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚的夾角為；再在皮膚上選擇距離處的處照射新生物，檢測(cè)射線與皮膚的夾角為．測(cè)量數(shù)據(jù)，，請(qǐng)你根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算新生物處到皮膚的距離．(結(jié)果精確到)(參考數(shù)據(jù)：，，，，，)【答案】新生物處到皮膚的距離約為【分析】過點(diǎn)作，垂足為，在，用與的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，聯(lián)立求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為．由題意得，，，在中，．在中，．

∵，∴，∴．答：新生物處到皮膚的距離約為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形，通過三角函數(shù)求解線段是求解本題的關(guān)鍵．10．(2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題)蓮花湖濕地公園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛．如圖所示，秋千鏈子的長度為，當(dāng)擺角恰為時(shí)，座板離地面的高度為，當(dāng)擺動(dòng)至最高位置時(shí)，擺角為，求座板距地面的最大高度為多少？(結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，，)

【答案】座板距地面的最大高度為．【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，利用和的余弦值求出，，然后利用線段的和差和矩形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，

由題意可得，四邊形和四邊形是矩形，∴，，∵秋千鏈子的長度為，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．∴座板距地面的最大高度為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．11．(2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題(A卷))為了滿足市民的需求，我市在一條小河兩側(cè)開辟了兩條長跑鍛煉線路，如圖；①；②．經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的正東方，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正北方千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)C的正西方千米處，點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東方向，點(diǎn)E在點(diǎn)A的正南方，點(diǎn)E在點(diǎn)B的南偏西方向．(參考數(shù)據(jù)：

(1)求AD的長度．(結(jié)果精確到1千米)(2)由于時(shí)間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)計(jì)算說明他應(yīng)該選擇線路①還是線路②？【答案】(1)AD的長度約為千米；(2)小明應(yīng)該選擇路線①，理由見解析【分析】(1)過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可得四邊形是矩形，進(jìn)而得出，然后解直角三角形即可；(2)分別求出線路①和線路②的總路程，比較即可．【詳解】(1)解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由題意可得：四邊形是矩形，∴千米，∵點(diǎn)D在點(diǎn)A的北偏東方向，∴，∴千米，答：AD的長度約為千米；(2)由題意可得：，，∴路線①的路程為：(千米)，∵，，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，由題意可得，∴，∴，，所以路線②的路程為：千米，∴路線①的路程路線②的路程，故小明應(yīng)該選擇路線①．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的相關(guān)定義，掌握特殊角三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．12．(2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題)如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量古樹的高度，采用了如下的方法：先從與古樹底端在同一水平線上的點(diǎn)A出發(fā)，沿斜面坡度為的斜坡前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)，再沿水平方向繼續(xù)前進(jìn)一段距離后到達(dá)點(diǎn)．在點(diǎn)處測(cè)得古樹的頂端的俯角為，底部的俯角為，求古樹的高度(參考數(shù)據(jù)：，，，計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值)．

【答案】古樹的高度為【分析】延長，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，根據(jù)斜面的坡度為，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，證明四邊形為矩形，得出，根據(jù)三角函數(shù)求出，，最后求出結(jié)果即可．【詳解】解：延長，交于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，如圖所示：

則，∵斜面的坡度為，∴設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，負(fù)值舍去，即，∵為水平方向，為豎直方向，∴，∵，∴四邊形為矩形，∴，∵，∴在中，，∵，∴在中，，∴．答：古樹的高度為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角函數(shù)的定義．13．(2023·重慶·統(tǒng)考中考真題)人工海產(chǎn)養(yǎng)殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面A，B養(yǎng)殖場(chǎng)捕撈海產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)量，A在燈塔C的南偏西方向，B在燈塔C的南偏東方向，且在A的正東方向，米．

(1)求B養(yǎng)殖場(chǎng)與燈塔C的距離(結(jié)果精確到個(gè)位)；(2)甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往B處協(xié)助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米/每分鐘，請(qǐng)計(jì)算說明甲組能否在9分鐘內(nèi)到達(dá)B處？(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】(1)2545米；(2)能，說明過程見解析【分析】(1)過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得米，再解直角三角形即可得；(2)先解直角三角形求出的長，從而可得的長，再根據(jù)時(shí)間等于路程除以速度即可得．【詳解】(1)解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

由題意得：，，米，米，答：養(yǎng)殖場(chǎng)與燈塔的距離為2545米．(2)解：米，米，則甲組到達(dá)處所需時(shí)間為(分鐘)分鐘，所以甲組能在9分鐘內(nèi)到達(dá)處．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關(guān)鍵．14．(2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題)超速容易造成交通事故．高速公路管理部門在某隧道內(nèi)的兩處安裝了測(cè)速儀，該段隧道的截面示意圖如圖所示，圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，且在同一直線上．點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，且，在處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，在處測(cè)得點(diǎn)的俯角為，小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．

(1)求兩點(diǎn)之間的距離(結(jié)果精確到)；(2)若該隧道限速80千米/小時(shí)，判斷小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)是否超速？并通過計(jì)算說明理由．(參考數(shù)據(jù)：)【答案】(1)；(2)小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)沒有超速．【分析】(1)證明四邊形為矩形，可得，結(jié)合，，，可得，，再利用線段的和差關(guān)系可得答案；(2)先計(jì)算小型汽車的速度，再統(tǒng)一單位后進(jìn)行比較即可．【詳解】(1)解：∵點(diǎn)、點(diǎn)到的距離分別為，∴，，而，∴，∴四邊形為矩形，∴，由題意可得：，，，∴，，∴(2)∵小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)所用時(shí)間為．∴汽車速度為，∵該隧道限速80千米/小時(shí)，∴，∵，∴小型汽車從點(diǎn)行駛到點(diǎn)沒有超速．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解俯角的含義，熟練的運(yùn)用銳角三角函數(shù)解題是關(guān)鍵．15．(2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題)為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝避陽篷，便于社區(qū)居民休憩．如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽篷長為米，與水平面的夾角為，且靠墻端離地高為米，當(dāng)太陽光線與地面的夾角為時(shí)，求陰影的長．(結(jié)果精確到米；參考數(shù)據(jù)：)

【答案】米【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，在中，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則四邊形是矩形，

依題意，，(米)在中，(米)，(米)，則(米)∵(米)∴(米)∵，∴(米)∴(米)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．(2023·浙江·統(tǒng)考中考真題)如圖，某工廠為了提升生產(chǎn)過程中所產(chǎn)生廢氣的凈化效率，需在氣體凈化設(shè)備上增加一條管道，已知，，求管道的總長．

【答案】18m【分析】如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意易得，進(jìn)而求得，再通過解直角三角形可得，然后求出即可解答．【詳解】解：如圖：過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意，得，∵，∴．∵，∴．∴．即管道的總長為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解題意求得是解答本題的關(guān)鍵．17．(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題)如圖，是同一水平線上的兩點(diǎn)，無人機(jī)從點(diǎn)豎直上升到點(diǎn)時(shí)，測(cè)得到點(diǎn)的距離為點(diǎn)的俯角為，無人機(jī)繼續(xù)豎直上升到點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)的俯角為．求無人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度(精確到)．參考數(shù)據(jù)：，．

【答案】無人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度約為米【分析】解，求得，，在中，求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：依題意，，，，在中，，∴，，在中，，∴(米)答：無人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．18．(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題)圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)(整個(gè)頭部需在攝像頭視角圍內(nèi)才能被識(shí)別)，其示意圖如圖2，攝像頭的仰角、俯角均為，攝像頭高度，識(shí)別的最遠(yuǎn)水平距離．

(1)身高的小杜，頭部高度為，他站在離攝像頭水平距離的點(diǎn)C處，請(qǐng)問小杜最少需要下蹲多少厘米才能被識(shí)別．(2)身高的小若，頭部高度為，踮起腳尖可以增高，但仍無法被識(shí)別．社區(qū)及時(shí)將攝像頭的仰角、俯角都調(diào)整為(如圖3)，此時(shí)小若能被識(shí)別嗎？請(qǐng)計(jì)算說明．(精確到，參考數(shù)據(jù))【答案】(1)；(2)能，見解析【分析】(1)根據(jù)正切值求出長度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性質(zhì)求出的長度，從而求出蹲下的高度．(2)根據(jù)正切值求出長度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性質(zhì)求出的長度，即可求出長度，與踮起腳尖后的高度進(jìn)行比較，即可求出答案．【詳解】(1)解：過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，如圖所示，

在中，．．，．．，，小杜下蹲的最小距離．(2)解：能，理由如下：過點(diǎn)作的垂線分別交仰角、俯角線于點(diǎn)，，交水平線于點(diǎn)，如圖所示，

在中，．，，．，．小若墊起腳尖后頭頂?shù)母叨葹椋∪纛^頂超出點(diǎn)N的高度．小若墊起腳尖后能被識(shí)別．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有銳角三角函數(shù)中的正切值、矩形的性質(zhì)、三角形的全等，解題的關(guān)鍵在于是否能根據(jù)生活實(shí)際題結(jié)合數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)．解題的重點(diǎn)在于熟練掌握相關(guān)概念、性質(zhì)和全等方法．19．(2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題)為測(cè)量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過程如下：

(1)測(cè)量坡角如圖1，后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長度可以直接測(cè)量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大?。鐖D2，同學(xué)們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿與鉛垂線重合時(shí)，測(cè)得兩桿夾角的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角的度數(shù)．請(qǐng)直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系．(2)測(cè)量山高同學(xué)們測(cè)得山坡的坡長依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個(gè)含角的(如圖3)，量得．求山高．(，結(jié)果精確到1米)(3)測(cè)量改進(jìn)由于測(cè)量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測(cè)量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測(cè)量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場(chǎng)上，將直桿NP置于的頂端，當(dāng)與鉛垂線重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)直桿，使點(diǎn)N，P，D共線，測(cè)得的度數(shù)，從而得到山頂仰角，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測(cè)得山頂仰角；畫一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高M(jìn)N為米，求山高．(結(jié)果用不含的字母表示)【答案】(1)；(2)山高為69米；(3)山高的高為米【分析】(1)利用互余的性質(zhì)即可求解；(2)先求得，再分別在、、中，解直角三角形即可求解；(3)先求得，，在和中，分別求得和的長，得到方程，據(jù)此即可求解．【詳解】(1)解：由題意得，

∴；(2)解：在中，．

∴，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，∴山高(米)，答：山高為69米；(3)解：如圖，由題意得，，

設(shè)山高，則，

在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，即，解得，山高答：山高的高為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵．20．(2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題)為了美化環(huán)境，提高民眾的生活質(zhì)量，市政府在三角形花園邊上修建一個(gè)四邊形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如圖，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向170米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)都在點(diǎn)的正北方向，長為100米，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向．

(1)求步道的長度．(2)點(diǎn)處有一個(gè)小商店，某人從點(diǎn)出發(fā)沿人行步道去商店購物，可以經(jīng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，也可以經(jīng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，請(qǐng)通過計(jì)算說明他走哪條路較近．結(jié)果精確到個(gè)位)(參考數(shù)據(jù)：)【答案】(1)200米；(2)這條路較近，理由見解析【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)中的正弦值即可求出答案．(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)中的正切值、余弦值分別求出和的長度，比較和即可求出答案．【詳解】(1)解：由題意得，過點(diǎn)作垂直的延長線于點(diǎn)，如圖所示，

點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向170米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)都在點(diǎn)的正北方向，，，，，為矩形..米，米.在中，米.故答案為：200米.(2)解：這條路較近，理由如下：，，.米，，在中，米.米.為矩形，米，米.在中，米.米.結(jié)果精確到個(gè)位，米.米..從這條路較近.故答案為：這條路較近.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到銳角三角函數(shù)正弦、余弦、正切，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于構(gòu)建直角三角形利用三角函數(shù)求邊長.21．(2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題)漁灣是國家“AAAA”級(jí)風(fēng)景區(qū)，圖1是景區(qū)游覽的部分示意圖．如圖2，小卓從九孔橋處出發(fā)，沿著坡角為的山坡向上走了到達(dá)處的三龍?zhí)镀俨?，再沿坡角為的山坡向上走了到達(dá)處的二龍?zhí)镀俨迹笮∽繌奶幍木趴讟虻教幍亩執(zhí)镀俨忌仙母叨葹槎嗌倜祝?結(jié)果精確到)(參考數(shù)據(jù)：)

【答案】【分析】過點(diǎn)作，垂足為，在中，根據(jù)求出，過點(diǎn)作，垂足為，在中，根據(jù)求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】過點(diǎn)作，垂足為．在中，，∴，過點(diǎn)作，垂足為．

在中，，∴．∵，∴．答：從處的九孔橋到處的二龍?zhí)镀俨忌仙母叨燃s為．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問題，