浙江省縣域教研聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期學業(yè)水平模擬考試數(shù)學試題

2023~2024學年第二學期浙江省縣域教研聯(lián)盟學業(yè)水平模擬考試數(shù)學考生須知：1．本卷滿分100分，考試時間80分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場、座位號及準考證號并核對條形碼信息；3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效，考試結(jié)束后，只需上交答題卷；4．學生可關(guān)注“啟望教育”公眾號查詢個人成績分析．選擇題部分一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分）1.設(shè)全集，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)補集的定義計算可得.【詳解】因為，，所以.故選：B2.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸非負半軸重合，終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)定義即可求解.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義，故選：C.3.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定形式直接求解即可.【詳解】全稱量詞命題：，它的否定為：.所以命題“”的否定是“”.故選：D.4.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A.和 B.和C.和 D.與【答案】C【解析】【分析】逐項判斷兩個函數(shù)的定義域、表達式和值域是否相同即可.【詳解】對于A，的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù)，故A錯誤；對于B，，，表達式不同，不是同一函數(shù)，故B錯誤；對于C，兩函數(shù)的定義域，表達式和值域均相同，是同一函數(shù)，故C正確；對于D，的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一函數(shù)，故D錯誤.故選：C.5.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用求出模長.【詳解】.故選：A6.某數(shù)學興趣小組20名成員在規(guī)定時間內(nèi)獨立解答6個數(shù)學問題，最終結(jié)果如下：有1人解出1個問題，有1人解出2個問題，有4人解出3個問題，有4人解出4個問題，有5人解出5個問題，有5人解出6個問題，則解出問題個數(shù)的第三四分位數(shù)為（）A3 B.4.5 C.5 D.5.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則，以及第三四分數(shù)的定義，就可求解.【詳解】根據(jù)第三四分數(shù)定義，等價于是求75%分位數(shù)，首先從小到大排序，1，2，3，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6，因為，所以第三四分位數(shù)為第15位和第16位兩個數(shù)的平均數(shù)，即，故選：C.7.如圖，一根棒棒糖其頂部可近似看成一個直徑為2cm的球，下面通過一個底面直徑為0.2cm，高為6cm的圓柱體（裸露部分）加以支撐，則這根棒棒糖的體積約為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】該簡單組合體由一個球和圓柱組成，分別計算球的體積和圓柱的體積，求和得解.【詳解】令球的半徑為R，圓柱的底面半徑為r，圓柱的高為h，由題意可得，因為，，所以，故選：A.8.若某次乒乓球練習中，乒乓球發(fā)球后先后擊中已方桌面和對方桌面，且長為60英寸，球在中點處到達最高點，高度為英寸，乒乓球網(wǎng)位于上靠近的三等分點處，網(wǎng)高為6英寸，球恰好沿著網(wǎng)的上邊界越過，其軌跡圖象如下：則最合適擬合軌跡圖象的函數(shù)模型為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得圖象過點，，，依次代入選項驗證即可得到答案.【詳解】根據(jù)已知條件可得圖象過點，，對于A，，，，滿足題意，故A正確；對于B，不滿足題意；故B不正確對于C，，，不滿足題意，故C不正確；對于D，，不滿足題意，故D不正確故選：A9.已知的邊長均為1，點為邊的中點，點為邊上的動點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，設(shè)，利用坐標法計算數(shù)量積，結(jié)合的取值范圍，即可得解.【詳解】如圖以為坐標原點，建立平面直角坐標系，則，，，，設(shè)，則，所以，，所以.故選：B10.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡可得，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)證明，結(jié)合基本不等式及對數(shù)性質(zhì)證明，結(jié)合函數(shù)為上的增函數(shù)，證明，由此可得結(jié)論.【詳解】，因為，所以，又，所以，因為函數(shù)為上的增函數(shù)，所以，即，因為，所以，因為函數(shù)為上的增函數(shù)，所以，所以，故選：D.11.已知正方體的棱長為，在以、為球心，為半徑的兩個球在正方體內(nèi)的公共部分所構(gòu)成的幾何體中，被平行于平面的平面所截得的截面面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因為兩個半徑相等的球相交部分是兩個球缺拼接而成，又正方體中平面，所以截面是以為球心，為半徑的球中與垂直的截面圓，根據(jù)對稱性找到截面圓半徑最大時候，進而求解即可.【詳解】如圖，因為兩個半徑相等的球相交部分是兩個球缺拼接而成，又正方體中平面，所以題目所求截面，由于球的截面是圓，所以令截面是以為圓心且與垂直的截面圓，如后圖所示，當圓心是中點時，圓半徑最大，即截面面積最大.令截面圓半徑，球半徑，由正方體中棱長為，則，所以，截面圓面積為，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：球的定義，球截面圓的定義，正方體性質(zhì)是基礎(chǔ)，空間想象力是突破關(guān)鍵.12.已知函數(shù)，若對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由條件可得函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方，討論，作函數(shù)圖象，結(jié)合圖象確定的范圍.【詳解】因為對任意實數(shù)x恒成立，所以對任意實數(shù)x恒成立，所以對任意實數(shù)x恒成立，所以函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方，當時，函數(shù)的圖象在函數(shù)的上方，滿足條件，設(shè)的零點從左至右依次為，則，，當時，如圖，記過點，的直線為，設(shè)直線的斜率為，由圖象得，因為，所以，所以，所以，所以，當時，如圖，記過點，的直線為，設(shè)的斜率為，則，由圖象得，因為，所以，所以，所以，所以，所以實數(shù)a的取值范圍為，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象的上方，作函數(shù)圖象，并通過觀察圖象列不等關(guān)系確定的范圍.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．每小題列出的四個備選項中有多項是符合題目要求的，全部選對得4分，部分選對且沒選錯得2分，不選、錯選得0分）13.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的解析式可化成B.函數(shù)在上有2個零點C.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱D.函數(shù)在上的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】由倍角公式和輔助角公式判斷A；由函數(shù)圖象判斷B和D；由對稱中心坐標判斷C.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因為，所以，此時可得方程的解為或，所以在上有2個零點，故B正確；對于C，時，，，所以點不是對稱中心，故C錯誤；對于D，因為，所以，，所以最大值為，故D正確.故答案為：ABD.14.已知向量，．下列選項正確的是（）A.若，則B.若，則C.若向量與的夾角為銳角，則D.若，則向量在向量上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】A選項，根據(jù)平行關(guān)系得到方程，求出；B選項，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出；C選項，根據(jù)夾角為銳角，得到且與不同向共線，得到不等式，求出答案；D選項，利用投影向量的求解公式求出答案.【詳解】A選項，，解得，A錯誤；B選項，，故，解得，B正確；C選項，向量與的夾角為銳角，故且與不同向共線，故且，解得且，C錯誤；D選項，若，則向量在向量上的投影向量為，D正確.故選：BD15.已知隨機事件A，B的概率都大于表示事件A的對立事件，則（）A.當時，B.當時，C.當時，A，B相互獨立D.當時，【答案】CD【解析】【分析】對于選項A，根據(jù)對立事件的定義，可以判斷A是錯誤的；對于選項B，借助韋恩圖可以分析，B選項不一定成立；對于選項C，根據(jù)相互獨立事件的定義，可判斷C是正確的；對于選項D，借助韋恩圖可以分析，D選項是成立.【詳解】對于選項A，根據(jù)對立事件的定義，，又，所以，概率相等，不一定事件相等，故A錯誤；對于選項B，如圖，陰影部分代表事件A，無法判斷與的大小，故B錯誤；對于選項C，因為，所以相互獨立，因此A，B相互獨立，故C正確；對于選項D，根據(jù)題意，得到如圖所示，陰影部分代表事件，由圖可知，，故D正確；故選：CD.16.已知定義域為的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，若函數(shù)是奇函數(shù)，則（）A.4是的一個周期 B.C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】【分析】由條件可得，結(jié)合周期函數(shù)定義判斷A，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得，，賦值可求，判斷B，由可得，結(jié)合和偶函數(shù)定義判斷C，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)和周期函數(shù)性質(zhì)，判斷D.【詳解】對于A：因為，所以，所以，所以是函數(shù)的一個周期，A對，對于B：因為是奇函數(shù)，所以，所以，由，可得，即，由，可得，所以，B錯誤；對于C：故，又，所以，所以函數(shù)是偶函數(shù)，C正確；對于D：因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)偶函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又是周期為的周期函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，D正確；故選：ACD.非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每空3分，共15分）17.已知函數(shù)，若，則__________．【答案】【解析】【分析】分和兩種情況，將代入對應(yīng)解析式，即可求得值.【詳解】當時，則，此時無解；當時，則，解得：，滿足條件；故答案為：18.若一組數(shù)據(jù)的方差是5，則數(shù)據(jù)的方差是__________．【答案】45【解析】【分析】利用方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】若數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為，所以當數(shù)據(jù)的方差是5時，可得數(shù)據(jù)的方差是，故答案：.19.已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為__________．【答案】##【解析】【分析】依題意可得，令，，即可得到且，，目標式子，利用基本不等式計算可得.【詳解】因為正實數(shù)，滿足，即，令，，則且，，所以，當且僅當，即，時取等號.故答案為：20.已知向量為互相垂直的兩個單位向量，若向量，，則當__________時，取到最小值；此時，的最小值是__________．【答案】①.##0.2②.3【解析】【分析】利用數(shù)量積的運算律求出，借助二次函數(shù)求解即得；由，結(jié)合向量的三角不等式求解即得.【詳解】由向量為互相垂直的兩個單位向量，得，于是，當且僅當時取等號，此時，而，因此，當且僅當且，即時取等號，所以時，取到最小值，的最小值為3.故答案為：；3【點睛】關(guān)鍵點點睛：由數(shù)量積運算律化為，再利用向量的三角不等式是解決問題的關(guān)鍵.四、解答題（本大題共3小題，共33分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）21.已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角；（2）求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換化簡可求；（2）結(jié)合，結(jié)合兩角差正弦，余弦公式，同角關(guān)系化簡目標解析式，可得，結(jié)合正切函數(shù)性質(zhì)，不等式性質(zhì)可求其范圍.【小問1詳解】設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得，因為，所以，所以，所以，所以，又，所以，即；因為，所以；【小問2詳解】由（1）知，，所以；因為，所以．22.如圖，在三棱錐中，，是正三角形．（1）求證：平面平面；（2）若，，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作交PC于，連接，根據(jù)已知條件可得即為二面角的平面角，利用邊長關(guān)系可得，從而可得結(jié)論；（2）首先證明平面，利用等體積法求出點到平面的距離，由，即可得結(jié)果.【小問1詳解】作交PC于，連接，設(shè)，由，得，因為是正三角形，所以在中，，所以，所以，故，所以即為二面角的平面角，因為，，則所以，則所以由面面垂直定義可知，平面平面．【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面，設(shè)點到平面的距離為，由，，，則，由余弦定理可得：，在中，，，，所以則在中，，，，由余弦定理可得：，所以在中，，取的中點，連接則，所以則根據(jù)等體積法可得：，所以，因為，所以與平面所成角的正弦值．23.已知函數(shù)．（1）若，求的取值范圍；（2）若有兩個不相等的實根，且①求的取值范圍；②證明：．【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）得到不等式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到不等式，求出答案；（2）①變形得到，即與有兩個不同的交點，根據(jù)的單調(diào)性和圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案②根據(jù)①得到，，且滿足，即，計算出，又，代入后求出.【小問1詳解】由可