專題936三角形的中位線（直通中考）（提升練）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題9.36三角形的中位線（直通中考）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點B，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點，和交于點O；②以點A為圓心，長為半徑畫弧，交于點D；③分別以點D，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M﹐連接和交于點N，連接若，則的長為（

）

A．2 B． C．4 D．2．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點．若點在邊上，且，則的長為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或23．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的對角線，相交于點，的平分線與邊相交于點，是中點，若，，則的長為（）

A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，，相交于點M，G為上一點，N為的中點．若，，則線段的長度為（）

A． B． C．2 D．5．（2019·湖南婁底·中考真題）順次連接一個菱形的各邊中點所得四邊形的形狀是（）A．平行四邊形B．矩形 C．菱形 D．正方形6．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，是邊的中點，是邊上一點，若平分的周長，則的長為（

）A． B． C． D．7．（2022·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D是AB的中點，延長CB至點E，使，連接DE，F(xiàn)為DE中點，連接BF.若，，則BF的長為（

）A．5 B．4 C．6 D．88．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是菱形，，點是中點，是對角線上一點，且，則的值是（

）A．3 B． C． D．9．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，D為斜邊的中點，E為上一點，F(xiàn)為中點．若，，則的長為（

）A． B．3 C． D．410．（2021·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形如圖所示．過點作的垂線交小正方形對角線的延長線于點，連結(jié)，延長交于點．若，則的值為（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，E，F(xiàn)分別是上的動點，M，N分別是的中點，則的最大值為．

12．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，對角線與相交于點O，E為上一點，，F(xiàn)為的中點，若的周長為32，則的長為．

13．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的邊長為2，，對角線與交于點，為中點，為中點，連接，則的長為．14．（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對角線相交于點O，點E在上，連接，點F為的中點，連接，若，，，則線段的長為．15．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）“做數(shù)學(xué)”可以幫助我們積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．如圖，已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點；第2次折疊使點落在點處，折痕交于點．若，則．16．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB與CD不平行，P、M、N分別是AD、BD、AC的中點，設(shè)△PMN的面積為S，則S的范圍是．17．（2021·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E是矩形ABCD邊AD上一點，點F，G，H分別是BE，BC，CE的中點，，則GH的長為．18．（2021·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，連接，過點C作平分線的垂線，垂足為點E，且交于點F；過點C作平分線的垂線，垂足為點H，且交于點G，連接，若，，則線段的長度為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，于點D，點E為AB的中點，連結(jié)DE．已知，，求BD，DE的長．20．（8分）（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點M，D是線段上的動點（不與點M，C重合），將線段繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．

（1）如圖1，當點E在線段上時，求證：D是的中點；（2）如圖2，若在線段上存在點F（不與點B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．21．（10分）（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在中，點D、E分別為的中點，點H在線段上，連接，點G、F分別為的中點．（1）求證：四邊形為平行四邊形（2），求線段的長度．22．（10分）（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組活動，準備將一張三角形紙片（如圖）進行如下操作，并進行猜想和證明．

（1）用三角板分別取的中點，連接，畫于點；（2）用（1）中所畫的三塊圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移拼出一個四邊形（無縫隙無重疊），并用三角板畫出示意圖；（3）請判斷（2）中所拼的四邊形的形狀，并說明理由．23．（10分）（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點F，G，H分別是和的中點，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并利用圖②或圖③進行證明．24．（12分）（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．如圖，在四邊形中，，是對角線的中點，是的中點，是的中點，求證：．（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．如圖，延長圖中的線段交的延長線于點，延長線段交的延長線于點，求證：．（3）用數(shù)學(xué)的語言表達．如圖，在中，，點在上，，是的中點，是的中點，連接并延長，與的延長線交于點，連接，若，試判斷的形狀，并進行證明．參考答案：1．A【分析】利用三角形中位線定理以及線段的垂直平分線的性質(zhì)求解．解：由作圖可知垂直平分線段，垂直平分線段，∴，∴，∵，∴，∴．故選：A．【點撥】本題考查作圖基本作圖，三角形中位線定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．2．D【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進行求解．解：∵，∴，∵點D為的中點，∴，∵，∴，①當點E為的中點時，如圖，

∴，②當點E為的四等分點時，如圖所示：

∴，綜上所述：或2；故選D．【點撥】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及等腰三角形的判定可得，進而可得，再根據(jù)三角形的中位線解答即可.解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵是中點，∴；故選：A.【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及三角形的中位線定理等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.4．B【分析】根據(jù)條件正方形邊長為4，由勾股定理求出線段長，利用中位線得到長即可．解：連接，，

∵點E，F(xiàn)分別是，的中點，∴四邊形是矩形，∴M是的中點，在正方形中，，，∴，在中，由勾股定理得，，在中，M是的中點，N是的中點，∴是的中位線，∴．故選：B．【點撥】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)造三角形是破解本題的關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)中位線定理及菱形的對角線互相垂直可得結(jié)論．解：順次連接菱形各邊中點所得四邊形必定是：矩形，理由如下：（如圖）根據(jù)中位線定理可得：且，且，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．又∵四邊形是菱形，∴，則，∴四邊形是矩形．故選：B．【點撥】本題考查了中點四邊形，菱形的性質(zhì)，此題實際上是矩形的判定和三角形的中位線定理的應(yīng)用，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，題目比較好，難度適中．6．C【分析】延長至，使得，連接，構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)題意可得是的中位線，即可求解．解：如圖，延長至，使得，連接，，,又，是等邊三角形，，是邊的中點，是邊上一點，平分的周長，，，，，，即，是的中位線，．故選C．【點撥】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，三角形中線的定義，構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得的長度；結(jié)合題意知線段是的中位線，則．解：在中，，，，．又為中線，．為中點，即點是的中點，是的中位線，則．故選：A．【點撥】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，利用直角三角形的中線性質(zhì)求出線段的長度是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】取AC的中點M，連接EM設(shè)由中位線性質(zhì)可得再根據(jù)，可得出從而得到FC的長，即可得到的結(jié)果．解：如圖所示：取AC的中點M，連接EM，DM，設(shè)∵點是中點，∴EM是的中位線，四邊形是菱形，，∠AMD=90°，，∴DM=，∴AM=故選：D．【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．9．D【分析】根據(jù)三角形中位線可以求得AE的長，再根據(jù)AE＝AD，可以得到AD的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，可以求得BD的長．解：∵D為斜邊AC的中點，F(xiàn)為CE中點，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點，∴BD＝AC＝AD＝4，故選：D．【點撥】本題考查直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系、三角形的中位線，解答本題的關(guān)鍵是求出AD的長．10．C【分析】如圖，設(shè)BH交CF于P，CG交DF于Q，根據(jù)題意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根據(jù)可得BE=PE=PC=PF=DF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可證明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示長CH的長，即可表示出CG的長，進而可得答案．解：如圖，設(shè)BH交CF于P，CG交DF于Q，∵由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形，∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，∵，∴BE=PE=PC=PF=DF，∵∠CFD=∠BPC，∴DF//EH，∴PH為△CFQ的中位線，∴PH=QF，CH=HQ，∵四邊形EPFN是正方形，∴∠EFN=45°，∵GD⊥DF，∴△FDG是等腰直角三角形，∴DG=FD=PC，∵∠GDQ=∠CPH=90°，∴DG//CF，∴∠DGQ=∠PCH，在△DGQ和△PCH中，，∴△DGQ≌△PCH，∴PH=DQ，CH=GQ，∴PH=DF=BE，CG=3CH，∴BH=BE+PE+PH=，在Rt△PCH中，CH==，∴CG=BE，∴．故選：C．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．11．【分析】首先證明出是的中位線，得到，然后由正方形的性質(zhì)和勾股定理得到，證明出當最大時，最大，此時最大，進而得到當點E和點C重合時，最大，即的長度，最后代入求解即可．解：如圖所示，連接，

∵M，N分別是的中點，∴是的中位線，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴當最大時，最大，此時最大，∵點E是上的動點，∴當點E和點C重合時，最大，即的長度，∴此時，∴，∴的最大值為．故答案為：．【點撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．12．【分析】利用斜邊上的中線等于斜邊的一半和的周長，求出的長，進而求出的長，勾股定理求出的長，進而求出的長，利用三角形的中位線定理，即可得解．解：的周長為32，．為DE的中點，．，，，，．四邊形是正方形，，O為BD的中點，是的中位線，．故答案為：．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)，斜邊上的中線，三角形的中位線定理．熟練掌握斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．13．【分析】由菱形的性質(zhì)可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位線定理得FH＝AO＝，F(xiàn)HAO，然后求出OE、OH，由勾股定理可求解．解：如圖，取OD的中點H，連接FH，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝AB＝1，BO＝＝DO，∵點H是OD的中點，點F是AD的中點，∴FH＝AO＝，F(xiàn)HAO，∴FH⊥BD，∵點E是BO的中點，點H是OD的中點，∴OE＝，OH＝，∴EH＝，∴EF＝，故答案為：．【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理計算出菱形的邊長BC的長，再根據(jù)中位線性質(zhì)，求出OF的長．解：已知菱形ABCD，對角線互相垂直平分，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，∵OE=3，OA=4，∴根據(jù)勾股定理得，∵AE=BE，∴，在Rt△AOB中，即菱形的邊長為，∵點F為的中點，點O為DB中點，∴．故答案為【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、中位線的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形性質(zhì)，并能結(jié)合勾股定理、中位線的相關(guān)知識點靈活運用是解題的關(guān)鍵．15．6【分析】根據(jù)第一次折疊的性質(zhì)求得和，由第二次折疊得到，，進而得到，易得MN是的中位線，最后由三角形的中位線求解．解：∵已知三角形紙片，第1次折疊使點落在邊上的點處，折痕交于點，∴，．∵第2次折疊使點落在點處，折痕交于點，∴，，∴，∴．∵，∴MN是的中位線，∴，．∵，，∴．故答案為：6．【點撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，理解折疊的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)是解答關(guān)鍵．16．0＜S≤2【分析】過點M作ME⊥PN于E，根據(jù)三角形的中位線定理得出PM=PN=AB=CD=2，再根據(jù)三角形的面積公式得出S==ME，結(jié)合已知和垂線段最短得出S的范圍；解：過點M作ME⊥PN于E，∵P、M、N分別是AD、BD、AC的中點，AB＝CD＝4，∴PM=PN=AB=CD=2，∴△PMN的面積S==ME，∵AB與CD不平行，∴四邊形ABCD不是平行四邊形，∴M、N不重合，∴ME＞0，∵ME≤MP=2，∴0＜S≤2【點撥】本題考查了三角形的中位線定理以及三角形的面積，掌握三角形的中位線平行第三邊，等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵17．3【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，即可求解．解：∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，又∵點F是BE的中點，，∴BE=2AF=6，∵G，H分別是BC，CE的中點，∴GH是的中位線，∴GH=BE=×6=3，故答案是：3．【點撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半，是解題的關(guān)鍵．18．【分析】先證明，可得CE=FE，BF=，同理：CH=GH，DG=，從而得HE=，再利用勾股定理得BD=，進而即可求解．解：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE=∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC=∠BEF=90°，又∵BE=BE，∴，∴CE=FE，BF=同理：CH=GH，DG=，∴HE是的中位線，∴HE=，∵在矩形中，，，∴BD=，∴GF=BF+DGBD=，∴=．【點撥】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，推出HE是的中位線，是解題的關(guān)鍵．19．【分析】先根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)求出的長，再根據(jù)勾股定理求得的長，最后根據(jù)條件可知是的中位線，求得的長．解：∵，于點D，∴．

∵，∴．

∵于點D，∴，∴在中，．

∵，∴，

∵E為AB的中點，∴．【點撥】此題考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2），證明見分析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；（2）延長到H使，連接，，可得是的中位線，然后求出，設(shè)，，求出，證明，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可．解：（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中點；（2）；證明：如圖2，延長到H使，連接，，∵，∴是的中位線，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，設(shè)，，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

【點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．21．（1）見分析；（2）【分析】（1）由三角形中位線定理得到，，得到，即可證明四邊形為平行四邊形；（2）由四邊形為平行四邊形得到，由得到，由勾股定理即可得到線段的長度．（1）解：∵點D、E分別為的中點，∴，∵點G、F分別為、的中點．∴，∴，∴四邊形為平行四邊形；（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，∵∴，∵，∴．【點撥】此題考查了中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，證明四邊形為平行四邊形和利用勾股定理計算是解題的關(guān)鍵．22．（1）見分析；（2）見分析；（3）答案不唯一，見分析【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）方法一：將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)到，將繞E點順時針旋轉(zhuǎn)到即可得出四邊形；方法二：將繞E點順時針旋轉(zhuǎn)到，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)后再沿向右平移到，即可得出四邊形；方法三：將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)到，將繞E點順時針旋轉(zhuǎn)后沿向左平移到，即可得出四邊形；（3）方法一：先證明點在同一直線上，根據(jù)為的中位線，得出且．證明且，得出四邊形為平行四邊形，根據(jù)，得出平行四邊形為矩形．方法二：證明點在同一直線上，根據(jù)為的中位線，得出且，證明，得出且，證明四邊形為平行四邊形．方法三：證明點在同一直線上，根據(jù)為的中位線，得出且，證明且，得出四邊形為平行四邊形．（1）解：如圖所示：

（2）解：方法一：四邊形為所求作的四邊形

方法二：四邊形是所求的四邊形．

方法三：四邊形是所求的四邊形．

（3）解：方法一（圖1），

∵，∴點在同一直線上，∵點分別是的中點，∴為的中位線，∴且．∵，∴且，∴四邊形為平行四邊形．∵，，∴平行四邊形為