浙江省臺州十校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期臺州十校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.）1.，則的值是（）A.6 B.4 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】本題根據(jù)排列數(shù)的性質(zhì)得出關(guān)于的方程，解方程即可得出答案.【詳解】因為，所以，即，所以，解得或，又，所以.故選：C.2.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如表所示，則（）234A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分布列概率之和為1，再根據(jù)的取值可求得答案.【詳解】因為，所以或，所以或．故選:D．3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A.2 B.1 C.8 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義直接計算即可.【詳解】由題意得，所以．故選：D.4.《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年春節(jié)電影市場．某電影院同時段播放這三部電影，小李和他三位同學(xué)每人只能選擇看其中的一場電影，則不同的選擇方案有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分步計數(shù)乘法原理列式即可.【詳解】依題意，每個人選擇方案有3種，所以4個人不同的選擇方案有種.故選：B5.某科研院校培育大棗新品種，新培育的大棗單果質(zhì)量近似服從正態(tài)分布（單位：），現(xiàn)有該新品種大棗個，估計單果質(zhì)量在范圍內(nèi)的大棗個數(shù)約為（）附：若，則，，.A.8186 B.8400 C.9545 D.9759【答案】A【解析】【分析】記單果質(zhì)量為，則，求出，即可估計數(shù)量.【詳解】記單果質(zhì)量為，則，所以，，所以，所以，即現(xiàn)有該新品種大棗個，可估計單果質(zhì)量在范圍內(nèi)的大棗個數(shù)約為個.故選：A6.關(guān)于二項式，若展開式中含的項的系數(shù)為，則（）A.3 B.2 C.1 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式可求得含的項的系數(shù)，即得方程，求得答案.【詳解】由題意得的系數(shù)為，解得，故選：C7.如圖所示的五個區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可知每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，分類研究，不同色；同色兩大類，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理可得答案．【詳解】由題意知，分兩種情況：(1)不同色，先涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得有種；(2)同色；先涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得有種．由分類加法計數(shù)原理，共有種，故選：A．8.已知函數(shù)，若有兩個零點，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，分類討論求導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及極值點，結(jié)合零點存在定理可得參數(shù)范圍.

【詳解】已知函數(shù)，函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故時，至多有一個零點；當(dāng)時，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．此時最小值為，①當(dāng)時，由于，故只有一個零點；②當(dāng)時，即，故沒有零點；③當(dāng)時，即，又；，由零點存在定理知在上有一個零點；在有一個零點．所以有兩個零點，a的取值范圍為；故選:A．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.有極小值C.有3個極值點 D.在處取得最大值【答案】ABC【解析】【分析】首先分析給定圖像，由的圖象可知時，，則單調(diào)遞減，進(jìn)一步分析其他選項，由的圖象可知當(dāng)時，有極值，所以有3個極值點，再找出最大值和極小值即可.【詳解】由的圖象可知時，，則單調(diào)遞減，故A正確；又時，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有極小值，故B正確；由的圖象可知時，有極值，所以有3個極值點，故C正確；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以，則在處不能取得最大值，故D錯誤．故選：ABC．10.的展開式中，下列結(jié)論正確的是（）A.展開式共7項 B.含項的系數(shù)為480C.無常數(shù)項 D.所有項的二項式系數(shù)之和為128【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項展開式的性質(zhì)，以及展開式的通項公式和二項式系數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由二項式的展開式共有8項，所以A錯誤；對于B中，由二項式，可得展開式的通項為，令，可得，則展開式的項的系數(shù)為，所以B錯誤；對于C中，由，令，可得，所以展開式中沒有常數(shù)項，所以C正確；對于D中，由展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得展開式中所有二項式系數(shù)和為，所以D正確.故選：CD.11.餃子是我國的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好，現(xiàn)有甲、乙兩個箱子裝有大小、外觀均相同的速凍餃子，已知甲箱中有3盒肉餡餃子，2盒三鮮餡餃子和5盒青菜餡餃子，乙箱中有3盒肉餡餃子，3盒三鮮餡餃子和4盒青菜餡餃子，則下列正確的是（）A.從甲箱中取出兩盒餃子都是肉餡的概率是B.依次從甲箱中取出兩盒餃子，第一盒是肉餡的條件下，第二盒是青菜餡的概率是C.先從甲箱中隨機(jī)取出一盒餃子放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一盒餃子，則乙箱取出的餃子是肉餡的概率是D.先從甲箱中隨機(jī)取出一盒餃子放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一盒餃子，若從乙箱取出的餃子是肉餡的，則從甲箱中取出三鮮?餃子的概率是【答案】ACD【解析】【詳解】解：對于，從甲箱中取出兩盒餃子都是肉餡的概率是，故正確；對于，依次從甲箱中取出兩盒餃子，第一盒是肉餡的條件下，第二盒是青菜餡的概率為：，故錯誤；對于，先從甲箱中隨機(jī)取出一盒餃子放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一盒餃子，則乙箱取出的餃子是肉餡的概率是：，故正確；對于，先從甲箱中隨機(jī)取出一盒餃子放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出一盒餃子，若從乙箱取出的餃子是肉餡的，則從甲箱中取出三鮮餡餃子的概率為：，故正確．故選：．非選擇題部分三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.設(shè)函數(shù)，則=__；【答案】1【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后再求出【詳解】由，得，所以，故答案為：113.若，則______．【答案】【解析】【分析】利用二項分布的方差公式可得，進(jìn)而得解.【詳解】由二項分布方差公式，可知，，故答案為：.14.定義：設(shè)X，Y是離散型隨機(jī)變量，則X在給定事件條件下的期望為，其中為X的所有可能取值集合，表示事件“”與事件“”都發(fā)生的概率．某日小張擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若擲出1點向上兩次時即停止．設(shè)A表示第一次擲出1點向上時的投擲次數(shù)，B表示第二次擲出1點向上時的投擲次數(shù)，則______．【答案】2【解析】【分析】由可得共有三種情況，然后根據(jù)所給的期望公式進(jìn)行計算即可【詳解】由可得或或，由題意可得故答案為：2四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知函數(shù)在時取得極大值3.（1）求實數(shù)，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】（1）（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，根據(jù)，解方程組求出，值；（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，分別求出極值和端點值，再比較得出最大值和最小值.小問1詳解】，由題意得，解得.此時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，所以在時取得極大值.所以.【小問2詳解】由（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因為，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.16.已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）寫出展開式的通項，利用通項計算可得；（2）利用賦值法計算可得；（3）由通項可知當(dāng)為奇數(shù)時，項的系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以，再令計算可得.【小問1詳解】二項式展開式的通項為：（且），所以，所以.【小問2詳解】令，得，令，得，所以.【小問3詳解】因為展開式的通項為（且），所以當(dāng)為奇數(shù)時，項的系數(shù)為負(fù)數(shù).所以，令，得，∴.17.現(xiàn)有4名男生和3名女生，（1）若安排7名學(xué)生站成一排照相，要求甲乙排在一起，這樣的排法有多少種？（2）若安排7名學(xué)生站成一排照相，要求3名女生互不相鄰，這樣的排法有多少種？（3）若邀請7名學(xué)生中的4名參加一項活動，其中男生甲和女生乙不能同時參加，求邀請的方法種數(shù).【答案】（1）1440（2）1440（3）25【解析】【分析】（1）利用捆綁法，結(jié)合排列組合知識求解；（2）利用插空法，結(jié)合排列組合知識求解；（3）利用間接法求解．【小問1詳解】由題意可知：運用捆綁法，可得共有排法數(shù)為種.【小問2詳解】由題意可知：運用插空法，可得共有排法數(shù)為種.【小問3詳解】由題意可知：邀請這7名學(xué)生中的4名參加一項活動共有種方法，男生甲和女生乙同時參加的方法有，共有邀請方法數(shù)為種.18.在某詩詞大會的“個人追逐賽”環(huán)節(jié)中，參賽選手應(yīng)從10個不同的題目中隨機(jī)抽取3個題目進(jìn)行作答.已知這10個題目中，選手甲只能正確作答其中的7個，選手乙正確作答每個題目的概率均為0.7，而且甲、乙兩位選手對每個題目作答都是相互獨立的.（1）求選手乙正確作答2個題目的概率；（2）求選手甲正確作答的題目個數(shù)的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從期望和方差的角度分析，你認(rèn)為甲、乙兩位選手誰晉級的可能性更大？請說明理由.【答案】（1）（2）分布列見解析；；（3）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；（2）設(shè)選手甲正確作答的題目個數(shù)為，求出的可能取值及其對應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)選手乙正確作答的題目個數(shù)為，計算出、，再求出，則，與、作比較可得答案，即可判斷；【小問1詳解】設(shè)事件A為“選手乙正確作答2個題目”，則，所以選手乙正確作答2個題目的概率．【小問2詳解】設(shè)選手甲正確作答的題目個數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2，3．所以，，，．所以的分布列為：0123所以數(shù)學(xué)期望．【小問3詳解】設(shè)選手乙正確作答的題目個數(shù)為，則，數(shù)學(xué)期望，由，可得，所以可以認(rèn)為選手甲晉級的可能性更大．19.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線的斜率為，求的值；（2）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）答案見解析（3）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，，可得結(jié)果；（2），討論，，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性.（3）