浙江省溫州市十校聯(lián)合體2023-2024學年高一下學期5月期中聯(lián)考數(shù)學試題

絕密★考試結束前2023學年第二學期溫州十校聯(lián)合體期中聯(lián)考高一年級數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘。2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字。3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。4.考試結束后，只需上交答題紙。選擇題部分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則復數(shù)的虛部為（）A.2 B. C. D.2.若向量，，則與共線的向量可以是（）A. B. C. D.3.若的外接圓的半徑，，則（）A.1 B. C.2 D.4.已知單位向量，滿足，則與的夾角為（）A. B. C. D.5.設是給定的平面，、是不在內(nèi)的任意兩點，則下列命題中正確的是（）A.在內(nèi)一定存在直線與直線相交B.在內(nèi)一定存在直線與直線異面C.一定存在過直線的平面與平行D.存在無數(shù)過直線的平面與垂直6.在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.7.如圖，在坡度一定的山坡處測得山頂上一建筑物的頂端對于山坡的斜度為，向山頂前進到達處，在處測得對于山坡的斜度為.若，山坡與地平面的夾角為，則等于（）A. B. C. D.8.在三棱錐中，底面，，，的面積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.二、多選題：本小題共3題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.B.若，則C.D.若是關于的方程的根，則10.對于任意的兩個平面向量、，下列關系式恒成立的是（）A. B.C. D.11.如圖所示，在等腰梯形中，已知，，將沿直線翻折成，則（）A.翻折過程中存在某個位置，使得B.當二面角為時，點到平面的距離為C.直線與所成角的取值范圍為D.當三棱錐的體積最大時，以為直徑的球被平面所截的截面面積為非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量，則與垂直的一個單位向量______.13.已知正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2、4，側棱長為，則該棱臺的體積為______.14.已知平面向量，，滿足，，且，則的最大值為______.四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知復數(shù)，，滿足：，且的實部為正.（1）若在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，求的取值范圍；（2）當時，、對應復平面內(nèi)的點分別為、，為復平面原點，求證：.16.（本小題滿分15分）如圖，和都垂直于平面，且，是的中點.（1）求證：平面；（2）若是正三角形，且，求直線與平面所成角的正弦值.17.（本小題滿分15分）在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足_______.從條件①、條件②這兩個條件中任選一個補充在上面橫線上作為已知，（1）求角；（2）若的面積為，為的中點，求的最小值.條件①：；條件②：.18.（本小題滿分17分）如圖，在平行四邊形中，，分別是線段，的中點，記，，且，，.（1）試用向量，表示，；（2）①求，的值；②設為的內(nèi)心，若，求的值.19.（本小題滿分17分）在三棱錐中，，，，，的中點為，點在線段上，且滿足.（1）求證：；（2）當平面平面時，①求點到平面的距離；②若為的中點，求平面與平面夾角的余弦值.

2023學年第二學期溫州十校聯(lián)合體期中聯(lián)考高一年級數(shù)學學科參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.12345678BACDBCDB二、多選題：本小題共3題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.91011ACDABDBD8.解析：如圖，取的外接圓圓心，過點作平面的垂線，則三棱錐的外接球的球心在該垂線上，且.在中，，即.，即.（當且僅當時取等號）設外接圓半徑為，由正弦定理得，即.外接球的半徑，故三棱錐的外接球表面積的最小值為.11.解析：由條件易得，.對于選項A：假設翻折過程中存在某個位置，使得.又因為，，可得平面，所以，即.顯然與不垂直，所以假設不成立，即翻折過程中不存在某個位置，使得.故選項A錯誤.對于選項B：取的中點，的中點，連接，，過點作直線的垂線交直線于點.易說明為二面角的平面角，即.線段的長即為點到平面的距離，.因為為的中點，所以點到平面的距離等于點到平面的距離的2倍，即.故選項B正確.對于選項C：連接，易得四邊形是平行四邊形，所以.直線與所成角即為直線與所成角.在翻折過程中，繞著旋轉(zhuǎn)，可以看成以為頂點、為軸的圓錐的母線，為底面圓的直徑.原問題轉(zhuǎn)化為母線與底面直徑所成角的取值范圍.母線與軸的夾角為，結合最小角定理，可得母線與底面直線所成角的取值范圍是，故選項C錯誤.對于選項D：當平面平面時，三棱錐的體積最大.又因為，平面平面，所以平面.的中點為球心，取的中點，則為的中位線，所以，平面.以為直徑的球被平面所截的截面為圓面，由以上分析可知點為該圓的圓心，其半徑，該圓面面積為.故選項D正確三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.或?qū)懗鲆粋€即可 13. 14.四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.【解】（1）由題意得解得.（2）設，則，展開得則解得所以當時，，故在復平面內(nèi)，則，，，，16.【解】（1）證明：（1）取的中點，連接，，是的中點，，，和都垂直于平面，，，，四邊形為平行四邊形，從而，平面，平面，（沒寫全扣1分）平面.（2）解：為正三角形，為中點，.平面，平面，，，又，平面，平面.又，則平面，得為在面上的射影，為直線與平面所成角.在中，，，，得，直線與平面所成角的正弦值為.17.【解】（1）若選①由正弦定理得，，，，若選②：由正弦定理得，，即，又，有，，由，得.（2），又，，在中由余弦定理，（由余弦定理得出邊的關系就給2分）當且僅當時取等號，的最小值為.18.【解】（1）；（2）①由（1）知：，則，又，②為的內(nèi)心，，.1