數(shù)學(xué)教材習(xí)題點(diǎn)撥：直接證明與間接證明

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥思考1解：綜合法證明是“由因?qū)Ч保治龇ㄗC明是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法,分析法便于尋找解題思路，而綜合法便于敘述，應(yīng)注意兩種方法在解題中的綜合應(yīng)用．在綜合法中:①明確推證方向,選擇最佳途徑是綜合法的難點(diǎn);②在順推中，聯(lián)系最終結(jié)果進(jìn)行猜想,防止迷路和剪除無用的中間過程,這是一個(gè)猜證結(jié)合點(diǎn)．在分析法中：①步步追溯的條件都是結(jié)論成立的充分條件(當(dāng)然，充要條件更好）,因此，分析法的表述中都是倒箭頭“"或雙箭頭“?”，即為果因，絕不可果?因；②在追溯中要時(shí)時(shí)聯(lián)系已知條件P進(jìn)行猜想，選擇最佳途徑，這也是一個(gè)猜證結(jié)合點(diǎn)．當(dāng)所證結(jié)論與所給條件之間的關(guān)系不明確時(shí)，常采用分析法證明，但更多的時(shí)候是綜合法與分析法結(jié)合使用，先看條件能夠提供什么，再看結(jié)論成立需要什么，從兩頭向中間靠攏,逐步接通邏輯思路．練習(xí)11．證明：因?yàn)閏os4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ）（cos2θ－sin2θ)＝cos2θ,所以命題得證．2．證明：要證eq\r(6)＋eq\r（7）＞2eq\r（2)＋eq\r(5)，只需證(eq\r(6）＋eq\r(7)）2＞（2eq\r（2)＋eq\r（5）)2，即證13＋2eq\r（42）＞13＋2·2eq\r(10),即證eq\r(42）＞eq\r(40），即證42＞40,這是顯然成立的．所以原命題得證．3．證明：因?yàn)?a2－b2)2＝（a－b)2（a＋b）2＝(2sinα)2（2tanα)2＝16sin2αtan2α，又因?yàn)?6ab＝16（tanα＋sinα）(tanα－sinα）＝16eq\f（sinα(1＋cosα)，cosα）·eq\f(sinα（1－cosα）,cosα)＝16eq\f(sin2α(1－cos2α)，cos2α)＝16eq\f（sin2αsin2α，cos2α）＝16sin2αtan2α,從而(a2－b2)2＝16ab.所以命題成立．點(diǎn)撥：進(jìn)一步熟悉運(yùn)用綜合法、分析法證明數(shù)學(xué)命題的思考過程與特點(diǎn)．練習(xí)21．證明:假設(shè)∠B不是銳角，則∠B≥90°.因此∠C＋∠B≥90°＋90°＝180°.這與三角形的內(nèi)角和等于180°矛盾．所以假設(shè)不成立．從而,∠B一定是銳角．2．證明：假設(shè)eq\r（2),eq\r（3）,eq\r(5）成等差數(shù)列，則2eq\r(3）＝eq\r(2）＋eq\r(5）.所以(2eq\r(3)）2＝(eq\r（2)＋eq\r（5）)2。化簡(jiǎn),得5＝2eq\r（10)，從而52＝(2eq\r（10))2，即25＝40。這是不可能的．所以假設(shè)不成立．從而eq\r(2）,eq\r（3),eq\r(5）不可能成等差數(shù)列．習(xí)題2.2A組1．證明：因?yàn)椋?＋tanA)（1＋tanB)＝2，展開，得1＋tanA＋tanB＋tanA·tanB＝2，即tanA＋tanB＝1－tanA·tanB．①因?yàn)锳＋B≠eq\f（π,2），所以A≠eq\f(π，2）－B。因?yàn)锳,B都是銳角，所以A，eq\f（π,2)－B都是銳角．從而tanA≠tan（eq\f（π，2)－B)，所以tanA·tanB≠1，即1－tanA·tanB≠0.①式變形，得eq\f(tanA＋tanB，1－tanAtanB)＝1，即tan（A＋B)＝1。因?yàn)锳，B都是銳角，所以0°＜A＋B＜180°,從而A＋B＝eq\f（π,4）。點(diǎn)撥：本題也可以把綜合法與分析法綜合使用完成證明．2．證明:因?yàn)镻D⊥平面ABC,所以PD⊥AB.因?yàn)锳C＝BC，所以△ABC是等腰三角形．因此△ABC底邊上的中線CD也是底邊上的高．因而CD⊥AB.所以AB⊥平面PDC.因此AB⊥PC。3．證明：因?yàn)閍，b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列，所以eq\f(2，b）＝eq\f(1,a)＋eq\f（1,c）。假設(shè)B＜eq\f(π，2）不成立，即B≥eq\f（π，2），則B是△ABC的最大內(nèi)角，所以b＞a，b＞c(在三角形中，大角對(duì)大邊）,從而eq\f（1，a)＋eq\f(1,c)＞eq\f(1，b)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2，b）。這與eq\f（2，b）＝eq\f（1，a）＋eq\f（1，c）矛盾．所以假設(shè)不成立．因此，B＜eq\f（π，2）。B組1．證明:因?yàn)閑q\f(1－tanα,2＋tanα)＝1，所以1＋2tanα＝0，從而2sinα＋cosα＝0.另一方面，要證3sin2α＝－4cos2α，只要證6sinαcosα＝－4(cos2α－sin2α)，即證2sin2α－3sinαcosα－2cos2α＝0，即證(2sinα＋cosα)（sinα－2cosα）＝0.由2sinα＋cosα＝0,可得（2sinα＋cosα）(sinα－2cosα)＝0，于是命題得證．點(diǎn)撥：本題可以單獨(dú)使用綜合法或分析法進(jìn)行證明，但把綜合法和分析法結(jié)合使用進(jìn)行證明的思路更清晰．2．證明：由已知條件，得b2＝ac，①2x＝a＋b,2y＝b＋c.②要證eq\f(a,x）＋eq\f(c,y)＝2,只要證ay＋c