第12節(jié) 導數(shù)的綜合應用（原卷版）

第12節(jié)導數(shù)的綜合應用核心素養(yǎng)要做實題型一利用導數(shù)證明不等式【例1】設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調區(qū)間與極值；(2)求證：當a>ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.【方法歸納】待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構造“左減右”的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調性，借助所構造函數(shù)的單調性即可得證．【跟蹤訓練1】已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù))的圖象在(0,1)處的切線斜率為－1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當x>0時，x2<ex.題型二導數(shù)與函數(shù)的零點問題探究1確定函數(shù)的零點個數(shù)【例2】已知函數(shù)f(x)＝lnx－x＋2sinx，f′(x)為f(x)的導函數(shù)．(1)求證：f′(x)在(0，π)上存在唯一零點；(2)求證：f(x)有且僅有兩個不同的零點．【方法歸納】利用導數(shù)確定函數(shù)零點或方程根個數(shù)的常用方法(1)構建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉化確定g(x)的零點個數(shù)問題求解，利用導數(shù)研究該函數(shù)的單調性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結合求解函數(shù)零點的個數(shù)．(2)利用零點存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上的零點的個數(shù)．探究2根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)范圍【例3】若函數(shù)f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．【方法歸納】已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法(1)分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出構造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分類討論法：結合單調性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．【跟蹤訓練2】若函數(shù)g(x)＝ex(x－2)－m有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．題型三導數(shù)在解決實際問題中的應用【例4】某地需要修建一條大型輸油管道通過720千米寬的荒漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預算，修建一個增壓站的工程費用為108萬元，鋪設距離為x千米的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費用為(2＋eq\r(x))x萬元．設余下工程的總費用為y萬元．(1)試將y表示成關于x的函數(shù)；(2)需要修建多少個增壓站才能使總費用y最??？【方法歸納】利用導數(shù)的方法解決實際問題．當在定義區(qū)間內只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值．【跟蹤訓練3】某商場為了獲得更大的利潤，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加的銷售額為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)．(1)若該商場將當年的廣告費控制在三百萬元以內，則應投入多少廣告費，才能使公司由廣告費而產生的收益最大．(注：收益＝銷售額－投入費用)(2)現(xiàn)在該商場準備投入三百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造．經(jīng)預算，每投入技術改造費x(百萬元)，可增加的銷售額約為－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百萬元)，請設計一個資金分配方案，使該商場由這兩項共同產生的收益最大．達標檢測要扎實1．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)當時，若方程在(0，1)內存在唯一實根，求證：．2．已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若，，證明：當時，；當時，(2)若，函數(shù)在區(qū)間內不單調，求的取值范圍【解析】(1)，，當時，，故單調遞增，當時，，故單調遞減，故，故單調遞增，又，所以當時，；當時，(2)函數(shù)在區(qū)間內不單調，即存在零點，由可知，又，而函數(shù)在區(qū)間內有零點，則函數(shù)在區(qū)間內至少有三個單調區(qū)間，令，又①若，則，，所以函數(shù)在區(qū)間上單增，函數(shù)即在區(qū)間上單調，不可能滿足“函數(shù)在區(qū)間內至少有三個單調區(qū)間”這一要求.②若，則，，所以函數(shù)在區(qū)間上單減，函數(shù)即在區(qū)間上單調，不可能滿足“函數(shù)在區(qū)間內至少有三個單調區(qū)間”這一要求.③若，則，于是當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單減，在區(qū)間上單增，若，則則，由所以在區(qū)間上單增，在區(qū)間上單減，即恒成立于是，函數(shù)在區(qū)間內至少有三個單調區(qū)間，所以，得，又，所以綜上，的取值范圍為3．已知函數(shù)，(1)若函數(shù)在處的切線也是函數(shù)圖象的一條切線，求實數(shù)的值；(2)若，且，判斷與的大小關系，并說明理由．4．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在無零點，求實數(shù)a的取值范圍．5．已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；(2)設函數(shù)，若在上存在極值，求a的取值范圍.6．已知函數(shù)．(1)若在處的切線與軸平行，求的值；(2)有兩個極值點，比較與的大??；(3)若在上的最大值為，求的值．7．已知函數(shù).(1)若有兩個零點，的取值范圍；(2)若方程有兩個實根、，且，證明：.8．設函數(shù)，．(1)當時，求在點處的切線方程；(2)當時，恒成立，求a的取值范圍；(3)求證：當時，．9．已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)存在單調遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；(3)設是函數(shù)的兩個極值點，證明：.10．已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個極值（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）求極大值的取值范圍.(2)對于函數(shù)，都有，則稱在區(qū)間上是凸函數(shù).利用上述定義證明，當時，在上是凸函數(shù).11．已知函數(shù).(1)若，