第12節(jié) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用（原卷版）

第12節(jié)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用核心素養(yǎng)要做實(shí)題型一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例1】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln2－1且x>0時，ex>x2－2ax＋1.【方法歸納】待證不等式的兩邊含有同一個變量時，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性即可得證．【跟蹤訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù))的圖象在(0,1)處的切線斜率為－1.(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x>0時，x2<ex.題型二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)問題探究1確定函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)【例2】已知函數(shù)f(x)＝lnx－x＋2sinx，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)求證：f′(x)在(0，π)上存在唯一零點(diǎn)；(2)求證：f(x)有且僅有兩個不同的零點(diǎn)．【方法歸納】利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個數(shù)的常用方法(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化確定g(x)的零點(diǎn)個數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(或變化趨勢)等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．(2)利用零點(diǎn)存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上的零點(diǎn)的個數(shù)．探究2根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍【例3】若函數(shù)f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【方法歸納】已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的常用方法(1)分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．【跟蹤訓(xùn)練2】若函數(shù)g(x)＝ex(x－2)－m有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．題型三導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用【例4】某地需要修建一條大型輸油管道通過720千米寬的荒漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程只需要在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預(yù)算，修建一個增壓站的工程費(fèi)用為108萬元，鋪設(shè)距離為x千米的相鄰兩增壓站之間的輸油管道費(fèi)用為(2＋eq\r(x))x萬元．設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬元．(1)試將y表示成關(guān)于x的函數(shù)；(2)需要修建多少個增壓站才能使總費(fèi)用y最??？【方法歸納】利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題．當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點(diǎn)使f′(x)＝0時，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個點(diǎn)取得最大(小)值．【跟蹤訓(xùn)練3】某商場為了獲得更大的利潤，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t(百萬元)，可增加的銷售額為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)．(1)若該商場將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在三百萬元以內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費(fèi)，才能使公司由廣告費(fèi)而產(chǎn)生的收益最大．(注：收益＝銷售額－投入費(fèi)用)(2)現(xiàn)在該商場準(zhǔn)備投入三百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造．經(jīng)預(yù)算，每投入技術(shù)改造費(fèi)x(百萬元)，可增加的銷售額約為－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百萬元)，請?jiān)O(shè)計(jì)一個資金分配方案，使該商場由這兩項(xiàng)共同產(chǎn)生的收益最大．達(dá)標(biāo)檢測要扎實(shí)1．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，若方程在(0，1)內(nèi)存在唯一實(shí)根，求證：．2．已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若，，證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，(2)若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍【解析】(1)，，當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故單調(diào)遞減，故，故單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，(2)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，即存在零點(diǎn)，由可知，又，而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間，令，又①若，則，，所以函數(shù)在區(qū)間上單增，函數(shù)即在區(qū)間上單調(diào)，不可能滿足“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間”這一要求.②若，則，，所以函數(shù)在區(qū)間上單減，函數(shù)即在區(qū)間上單調(diào)，不可能滿足“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間”這一要求.③若，則，于是當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單減，在區(qū)間上單增，若，則則，由所以在區(qū)間上單增，在區(qū)間上單減，即恒成立于是，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有三個單調(diào)區(qū)間，所以，得，又，所以綜上，的取值范圍為3．已知函數(shù)，(1)若函數(shù)在處的切線也是函數(shù)圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，且，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．4．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．5．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若在上存在極值，求a的取值范圍.6．已知函數(shù)．(1)若在處的切線與軸平行，求的值；(2)有兩個極值點(diǎn)，比較與的大小；(3)若在上的最大值為，求的值．7．已知函數(shù).(1)若有兩個零點(diǎn)，的取值范圍；(2)若方程有兩個實(shí)根、，且，證明：.8．設(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，恒成立，求a的取值范圍；(3)求證：當(dāng)時，．9．已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，證明：.10．已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個極值（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）求極大值的取值范圍.(2)對于函數(shù)，都有，則稱在區(qū)間上是凸函數(shù).利用上述定義證明，當(dāng)時，在上是凸函數(shù).11．已知函數(shù).(1)若，