第13節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)（原卷版）

第13節(jié)任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)基礎知識要夯實1.角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內的一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.(2)分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋轉方向不同分為正角、負角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝rad；1rad＝°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝lr＝|α|r23.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝(x≠0).(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1，0).如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線，余弦線和正切線.1.三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.若α∈，則tanα>α>sinα.3.角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用.4.象限角的集合核心素養(yǎng)要做實考點一角的概念及其集合表示【例1】(1)已知與角的終邊關于軸對稱，則是（）A．第二或第四象限角B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角（2）集合，，則有（）A． B． C． D．【方法技巧】1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角.2.若要確定一個絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根據α所在的象限予以判斷.【跟蹤訓練】(1)將化為的形式是（）A．B．C．D．(2)若角的終邊在函數(shù)的圖象上，試寫出角的集合為．考點二弧度制及其應用【例2】（1）(經典母題)設扇形的周長為6，面積為2，則扇形的圓心角是（單位：弧度）（）A．1 B．4C． D．1或4（2）在半徑為10cm的圓中，的圓心角所對弧長為（）A．cm B．cmC．cm D．cm（3）圓的半徑是6cm，則的圓心角與圓弧圍成的扇形面積是（）A．cm2 B．cm2C．cm2 D．cm2【方法技巧】1.應用弧度制解決問題的方法：(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決.2.求扇形面積的關鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.【跟蹤訓練】1.一圓內切于中心角為、半徑為的扇形，則該圓的面積與該扇形的面積之比為（）A． B．C． D．考點三三角函數(shù)的概念【例3】(1)(2022·合肥質檢)已知角的終邊與單位圓交于點，則的值為（）A． B． C． D．(2)若三角形的兩內角滿足，則此三角形必為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上三種情況都可能規(guī)律方法1.三角函數(shù)定義的應用(1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數(shù)值.(2)已知角的某一個三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值.2.三角函數(shù)線的應用問題的求解思路確定單位圓與角的終邊的交點，作出所需要的三角函數(shù)線，然后求解.【訓練3】(1)(2022·西安一中月考)已知角的終邊在直線上，求的值．(2)的值等于（）A． B． C． D．達標檢測要扎實一、單選題1．下列轉化結果正確的是（

）A．化成弧度是 B．化成角度是C．化成弧度是 D．化成角度是2．已知是第四象限角，是角終邊上的一個點，若，則（

）A．4 B．-4 C． D．不確定3．若角的終邊在軸的負半軸上，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．軸的正半軸上 D．軸的負半軸上4．已知，則等于（

）A． B． C． D．5．如圖所示的復古時鐘顯示的時刻為，將時針與分針視為兩條線段，則該時刻的時針與分針所夾的鈍角為（

）A． B． C． D．6．下列說法正確的是（

）A．長度等于半徑的弦所對的圓心角為1弧度B．若，則C．若角的終邊過點，則D．當時，7．已知是第四象限角，化簡為（

）A． B． C． D．8．在平面直角坐標系中，角以x軸的非負半軸為始邊，且點在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．9．若角α的終邊經過點，則的值為（

）A． B． C． D．10．已知為三角形的內角，且，則（）A． B． C． D．11．若α為第四象限角，則（

）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<012．已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，點在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．二、填空題13．若角α的終邊落在直線y＝－x上，則的值等于________.14．若，為第二象限的角，則__________.15．已知，，則等于________．16．如圖所示，終邊在陰影區(qū)域內（含邊界）的角的集合為______．三、解答題17．《九章算術》是我國古代的數(shù)學巨著，其中《方田》章給出了“弧田”，“弦”和“矢”的定義，“弧田”(如圖陰影部分所示)是由圓弧和弦圍成，“弦”指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.（1）當圓心角為，矢為2的弧田，求：弧田(如圖陰影部分所示)的面積；（2）已知如圖該扇形圓心角是，半徑為，若該扇形周長是一定值當為多少弧度時，