2025屆湖南省洞口縣第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2025屆湖南省洞口縣第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．圓心在x軸負(fù)半軸上，半徑為4，且與直線(xiàn)相切的圓的方程為（）A. B.C. D.2．設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有，若，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.3．下列命題中，一定正確的是（）A.若且，則a>0，b<0B.若a>b，b≠0，則>1C.若a>b且a＋c>b＋d，則c>dD.若a>b且ac>bd，則c>d4．雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為（）A.1 B.C.2 D.5．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A. B.C.1 D.6．已知，表示兩條不同的直線(xiàn)，表示平面.下列說(shuō)法正確的是A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則7．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，且滿(mǎn)足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.58．德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問(wèn)題，這一問(wèn)題一般的描述是：已知點(diǎn)A、B是的ON邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是OM邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)C在何處時(shí)，最大？問(wèn)題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊OM相切于點(diǎn)C時(shí)，最大．人們稱(chēng)這一命題為米勒定理．已知點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（2，0），（4，0），R是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為（）A.1 B.C. D.29．已知命題若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.10．在直三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正方形，，，且，則異面直線(xiàn)與所成的角為（）A. B.C. D.11．設(shè)是等差數(shù)列，是其公差，是其前n項(xiàng)的和．若，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.與均為的最大值12．傾斜角為45°，在軸上的截距是的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將由2，5，8，11，14，…組成的等差數(shù)列，按順序?qū)懺诰毩?xí)本上，已知每行寫(xiě)13個(gè)，每頁(yè)有21行，則5555在第______頁(yè)第______行．（用數(shù)字作答）14．已知點(diǎn)，為拋物線(xiàn)：上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且，則的面積的最小值為_(kāi)_________.15．已知雙曲線(xiàn)M的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸.從以下三個(gè)條件中任選兩個(gè)條件，并根據(jù)所選條件求雙曲線(xiàn)M的標(biāo)準(zhǔn)方程.①一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為；②經(jīng)過(guò)點(diǎn)；③離心率為.你選擇的兩個(gè)條件是___________，得到的雙曲線(xiàn)M的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________.16．若正數(shù)x、y滿(mǎn)足，則的最小值等于________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓C：，直線(xiàn)l：.（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線(xiàn)l與圓C相切；（2）當(dāng)直線(xiàn)l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=時(shí)，求直線(xiàn)l的方程.18．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號(hào)”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過(guò)手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機(jī)構(gòu)將關(guān)注這件事的時(shí)間在2小時(shí)以上的人稱(chēng)為“天文愛(ài)好者”，否則稱(chēng)為“非天文愛(ài)好者”，該機(jī)構(gòu)通過(guò)調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取100人進(jìn)行分析，得到下表（單位：人）：天文愛(ài)好者非天文愛(ài)好者合計(jì)女203050男351550合計(jì)5545100（1）能否有99%的把握認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛(ài)好者”和“非天文愛(ài)好者”這兩種類(lèi)型進(jìn)行分層抽樣抽取5人，然后再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，記其中“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明：存在唯一的零點(diǎn)；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，的前項(xiàng)和為.（1）求及；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)足.（1）求角的大??；（2）若，，，求的長(zhǎng).22．（10分）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式：（2）在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)與間插入個(gè)，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，求及.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，，由直線(xiàn)與圓相切的判斷方法可得圓心到直線(xiàn)的距離，解得的值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，，圓的半徑為4，且與直線(xiàn)相切，則圓心到直線(xiàn)的距離，解得：或13（舍，則圓的坐標(biāo)為，故所求圓的方程為，故選：A2、C【解析】設(shè)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，又，，，即可得出答案【詳解】解：設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，，因?yàn)椋?，所?故選：C3、A【解析】結(jié)合不等式的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若且，則，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，則，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，如，但，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，如，但，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A4、B【解析】由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可求出，即可求雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng).【詳解】由可得：，，即，實(shí)軸長(zhǎng)，故選：B5、B【解析】直接求導(dǎo)，令求出，再將帶入原函數(shù)即可求解.【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，.故選：B6、B【解析】A．運(yùn)用線(xiàn)面平行的性質(zhì)，結(jié)合線(xiàn)線(xiàn)的位置關(guān)系，即可判斷；B．運(yùn)用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，即可判斷；C．運(yùn)用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線(xiàn)線(xiàn)垂直和線(xiàn)面平行的位置即可判斷；D．運(yùn)用線(xiàn)面平行的性質(zhì)和線(xiàn)面垂直的判定，即可判斷【詳解】A．若m∥α，n∥α，則m，n相交或平行或異面，故A錯(cuò)；B．若m⊥α，，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知，故B正確；C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故C錯(cuò)；D．若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n⊥α，故D錯(cuò)故選B【點(diǎn)睛】本題考查空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)與平面的平行、垂直的判斷與性質(zhì)，記熟定理是解題的關(guān)鍵，注意觀察空間的直線(xiàn)與平面的模型7、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，，解得或（舍去），故選：B8、C【解析】由題意，借助米勒定理，可設(shè)出坐標(biāo)，表示出的外接圓方程，然后在求解點(diǎn)R的縱坐標(biāo).【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別是（2，0），（4，0）是x軸正半軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)R是y軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)米勒定理，當(dāng)?shù)耐饨訄A與y軸相切時(shí)，最大，由垂徑定理可知，弦的垂直平分線(xiàn)必經(jīng)過(guò)的外接圓圓心，所以弦的中點(diǎn)為（3，0），故弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的外接圓半徑，即，由垂徑定理可得，圓心坐標(biāo)為，故的外接圓的方程為，所以點(diǎn)R的縱坐標(biāo)為.故選：C.9、B【解析】若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，滿(mǎn)足條件，此時(shí)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交，可判斷命題為假；當(dāng)時(shí)，，命題為真，根據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，直線(xiàn)與拋物不相切，可得命題是假命題，當(dāng)時(shí)，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】分析得出，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線(xiàn)與所成的角.【詳解】由題意可知，，因?yàn)?，，則，，因?yàn)槠矫妫渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，，，因此，異面直線(xiàn)與所成的角為.故選：C.11、C【解析】由已知條件可以得出，，，即可得公差，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項(xiàng)的和的性質(zhì)可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】由可得，由可得，故選項(xiàng)B正確；由可得，因?yàn)楣睿蔬x項(xiàng)A正確，，所以，故選項(xiàng)C不正確；由于是等差數(shù)列，公差，，，，所以都是的最大值，故選項(xiàng)D正確；所以選項(xiàng)C不正確，故選：C12、B【解析】先由傾斜角為45°，可得其斜率為1，再由軸上的截距是，可求出直線(xiàn)方程【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為45°，所以直線(xiàn)的斜率為，因?yàn)橹本€(xiàn)在軸上的截距是，所以所求的直線(xiàn)方程為，即，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.7②.17【解析】首先求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到為第項(xiàng)，再根據(jù)每行每頁(yè)的項(xiàng)數(shù)計(jì)算可得；【詳解】解：由2，5，8，11，14，…組成的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得又，，．所以555在第7頁(yè)第17行故答案為：；14、【解析】設(shè)，，利用可得即可求得，利用兩點(diǎn)間距離公式求出、，面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】設(shè)，，由可得，解得：，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積的最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)，坐標(biāo)，采用設(shè)而不求的方法，將轉(zhuǎn)化為，求出參數(shù)之間的關(guān)系，再利用基本不等式求的最值.15、①.①②或①③或②③②.或或【解析】選①②，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)直接求解，選①③，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率求出即可得解，選②③，可由頂點(diǎn)坐標(biāo)及離心率得出，即可求解.【詳解】選①②，由題意則，，，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：①②；，選①③，由題意，，，，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，選②③，由題意知，，，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：①②；或①③；或②③；.16、9【解析】把要求的式子變形為，利用基本不等式即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）由題設(shè)可得圓心為，半徑，根據(jù)直線(xiàn)與圓的相切關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線(xiàn)距離公式列方程求參數(shù)a的值即可.（2）根據(jù)圓中弦長(zhǎng)、半徑與弦心距的幾何關(guān)系列方程求參數(shù)a，即可得直線(xiàn)方程.【小問(wèn)1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線(xiàn)與圓相切，則圓心到直線(xiàn)距離，即，可得：.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：圓心到直線(xiàn)的距離，因?yàn)?，即，解得：，所以，整理得：，解得：或，則直線(xiàn)為或.18、（1）有（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計(jì)算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛(ài)好者”，有3人為“非天文愛(ài)好者”，記“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對(duì)應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望；【小問(wèn)1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認(rèn)為“天文愛(ài)好者”或“非天文愛(ài)好者”與性別有關(guān).【小問(wèn)2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛(ài)好者”有20人，“非天文愛(ài)好者”有30人，所以按分層抽樣在50個(gè)女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛(ài)好者”，有3人為“非天文愛(ài)好者”再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人，記其中“天文愛(ài)好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012P19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得到，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，可證得命題成立；（2）當(dāng)且時(shí)，不滿(mǎn)足題意，故，又定義域?yàn)椋v不等式化簡(jiǎn)，參變分離后構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性并求出最值，可得實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；.且，故存在唯一的零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足恒成立，故由定義域?yàn)?，可得，令，則，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（1），故實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的恒成立問(wèn)題，關(guān)于恒成立問(wèn)題的幾種常見(jiàn)解法總結(jié)如下：

參變分離法，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化函數(shù)求最值問(wèn)題；

主元變換法，把已知取值范圍的變量作為主元，把求取值范圍的變量看作參數(shù)；

分類(lèi)討論，利用函數(shù)的性質(zhì)討論參數(shù)，分別判斷單調(diào)性求出最值；

數(shù)形結(jié)合法，將不等式兩端的式子分別看成兩個(gè)函數(shù)，作出函數(shù)圖象，列出參數(shù)的不等式求解20、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件，，解方程組可得，，進(jìn)而可得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得；（2）將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入可得的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由于，，所以，，解得，，所以，；（2）因?yàn)?，所以，故，，兩式相減得，所以.【點(diǎn)睛】本題的核心是考查錯(cuò)位相減求和.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解.21、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦