山東省鄒城市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

山東省鄒城市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）A.2 B.3C.4 D.82．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)A. B.C. D.3．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A. B.C. D.4．平面與平面平行的充分條件可以是（）A.平面內(nèi)有一條直線與平面平行B.平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行C.平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行D平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行5．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，，則a7=（）A.13 B.14C.15 D.166．已知直線l和拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則p的值為（）A. B.1C. D.27．下列拋物線中，以點(diǎn)為焦點(diǎn)的是（）A. B.C. D.8．已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且，若的面積為9，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.49．在四面體中，空間的一點(diǎn)滿足，若共面，則（）A. B.C. D.10．如圖，將邊長為4的正方形折成一個(gè)正四棱柱的側(cè)面，則異面直線AK和LM所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°11．①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題；②“若，則”的逆否命題；③“若，則”的否命題.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.312．阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知橢圓E的方程為(a>b>0)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，B，C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30°，則橢圓的離心率等于________14．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……．設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，其中，，，則______15．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為直線l，則l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為___________.16．如圖，圖形中的圓是正方形的內(nèi)切圓，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為對角線與圓的交點(diǎn)，若向正方形內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知：（常數(shù)）；：代數(shù)式有意義（1）若，求使“”為真命題的實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是成立的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍18．（12分）已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.19．（12分）已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.20．（12分）如圖，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為，線段AP的垂直平分線交直線BP于點(diǎn)Q（1）求點(diǎn)Q的軌跡E的方程；（2）過點(diǎn)A的直線l交E于C，D兩點(diǎn)，若△BCD內(nèi)切圓的半徑為，求直線l的方程.21．（12分）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn).（1）當(dāng)P為弦的中點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程；（2）若直線l與直線平行，求弦的長.22．（10分）2020年8月，總書記對制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)宣傳教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社會(huì)營造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍．為貫徹總書記指示，大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動(dòng)．現(xiàn)已有高一63人、高二42人，高三21人報(bào)名參加志愿活動(dòng)．根據(jù)活動(dòng)安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報(bào)名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動(dòng)（1）第一期志愿活動(dòng)需從高一、高二、高三報(bào)名的學(xué)生中各抽取多少人？（2）現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語，求抽出兩人都是高二學(xué)生的概率是多少？（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的重量（單位：公斤），以10天為單位來衡量宣傳節(jié)約糧食的效果．在一個(gè)周期內(nèi)，這組志愿者記錄的數(shù)據(jù)如下：前10天剩菜剩飯的重量為：后天剩菜剩飯的重量為：借助統(tǒng)計(jì)中的圖、表、數(shù)字特征等知識(shí)，分析宣傳節(jié)約糧食活動(dòng)的效果（選擇一種方法進(jìn)行說明即可）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由條件可得，，，，由關(guān)系可求值.【詳解】∵橢圓方程為：，∴，∴，，∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，又，∴，∴，故選：D.2、B【解析】由拋物線方程知焦點(diǎn)在x軸正半軸，且p=4，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選B3、C【解析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值點(diǎn)，然后判斷選項(xiàng)即可【詳解】解：由題意可知：和時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；所以函數(shù)的圖象只能是故選：C4、D【解析】根據(jù)平面與平面平行的判定定理可判斷.【詳解】對A，若平面內(nèi)有一條直線與平面平行，則平面與平面可能平行或相交，故A錯(cuò)誤；對B，若平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行，若這兩條直線平行，則平面與平面可能平行或相交，故B錯(cuò)誤；對C，若平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行，若這無數(shù)條直線互相平行，則平面與平面可能平行或相交，故C錯(cuò)誤；對D，若平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行，則根據(jù)平面與平面平行的判定定理可得平面與平面平行，故D正確.故選：D.5、A【解析】利用等差數(shù)列的基本量，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得：，則.故選：A6、B【解析】由垂直關(guān)系得出直線l方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式得出p的值.【詳解】，，即聯(lián)立直線和拋物線方程得設(shè)，則解得故選：B7、A【解析】由題意設(shè)出拋物線的方程，再結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求出拋物線的方程.【詳解】∵拋物線為，∴可設(shè)拋物線方程為，∴即，∴拋物線方程為，故選：A.8、C【解析】根據(jù)橢圓定義，和條件列式，再通過變形計(jì)算求解.【詳解】由條件可知，，即，解得：.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與變形，計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.9、D【解析】根據(jù)四點(diǎn)共面的向量表示，可得結(jié)果.【詳解】由共面知，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中四點(diǎn)共面的向量表示，屬基礎(chǔ)題.10、D【解析】作出折疊后的正四棱錐，確定線面關(guān)系，從而把異面直線的夾角通過平移放到一個(gè)平面內(nèi)求得.【詳解】由題知，折疊后的正四棱錐如圖所示，易知K為的四等分點(diǎn)，L為的中點(diǎn)，M為的四等分點(diǎn)，，取的中點(diǎn)N，易證，則異面直線AK和LM所成角即直線AK和KN所成角，在中，，，故故選：D11、B【解析】寫出逆命題判斷①；寫出逆否命題判斷②；寫出否命題判斷③.【詳解】①:“若，則互為相反數(shù)”的逆命題為：“若互為相反數(shù)，則”，是真命題；②：“若，則”的逆否命題為：“若，則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，但不成立.故“若，則”是假命題.③：“若，則”的否命題為：“若，則”.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，但是，即不成立.故“若，則”是假命題..故選：B12、A【解析】由橢圓的面積為和兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，得到求解.【詳解】由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先利用橢圓的對稱性和為平行四邊形，可以得出、兩點(diǎn)是關(guān)于軸對稱，進(jìn)而得到；設(shè)，，，從而求出，然后由，利用，求得，最后根據(jù)得出離心率【詳解】解：是與軸重合的，且四邊形為平行四邊形，所以、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，、的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，、兩點(diǎn)是關(guān)于軸對稱的由題知：四邊形為平行四邊形，所以可設(shè)，，代入橢圓方程解得：設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形對點(diǎn)：解得：根據(jù)：得：故答案為：14、15【解析】由分析可知每次小球數(shù)量剛好是等差數(shù)列的求和，最后直接公式即可算出答案.【詳解】由題意可知,，所以，故答案為：1515、【解析】先求出切線方程，分別得到直線與x、y軸交點(diǎn)，即可求出三角形的面積.【詳解】由函數(shù)可得：函數(shù)，所以，.所以切線l：，即.令，得到；令，得到；所以l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.故答案為：.16、【解析】利用幾何概型概率計(jì)算公式，計(jì)算得所求概率.【詳解】設(shè)正方形的邊長為2，則陰影部分的面積為，故若向正方形內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域內(nèi)概率為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）若，分別求出，成立的等價(jià)條件，利用為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）利用是的充分不必要條件，建立不等式關(guān)系即可求實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】：等價(jià)于：即；：代數(shù)式有意義等價(jià)于：，即，（1）時(shí)，即為，若“”為真命題，則，得：故時(shí)，使“”為真命題的實(shí)數(shù)的取值范圍是，，（2）記集合，，若是成立的充分不必要條件，則是的真子集，因此：，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是18、（1）證明見解析；（2）在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn).【解析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過C作，再以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算判斷作答.【小問1詳解】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面，而平面，則，由得，，平面，從而得平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)過C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因，，則，假設(shè)在線段上存在符合要求的點(diǎn)P，設(shè)其坐標(biāo)為，則有，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令得，而平面的一個(gè)法向量，依題意，，化簡整理得：而，解得，所以在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn)，使平面和平面所成角的余弦值為.19、（1）（2）【解析】設(shè)出，由直線的斜率為求得，結(jié)合離心率求得，再由隱含條件求得，即可求橢圓方程；（2）點(diǎn)軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由判別式大于零求得的范圍，再由弦長公式求得，由點(diǎn)到直線的距離公式求得到的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進(jìn)一步求出值，則直線方程可求.試題解析：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，.又解得，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立消去得，當(dāng)，所以，即或時(shí).所以點(diǎn)到直線的距離所以，設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得時(shí)取等號，滿足所以的面積最大時(shí)直線的方程為：或.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.20、（1）（2）【解析】（1）連接，由，利用橢圓的定義求解；（2）設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用等面積法求解.【小問1詳解】解：連接，由題意知：，，即的軌跡為橢圓，其中，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，消去整理得，顯然成立，故，，由橢圓定義得的周長為，則的面積，又由，得，從而得，即，整理得，解得，故，故直線的方程為.21、（1）（2）【解析】（1）由題意，，求出直線l的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求解；（2）由題意，利用點(diǎn)斜式求出直線l的方程，然后由點(diǎn)到直線的距離公式求出弦心距，最后根據(jù)弦長公式即可求解.小問1詳解】解：由題意，圓心，P為弦的中點(diǎn)時(shí)，由圓的性質(zhì)有，又，所以，所以直線l的方程為，即；【小問2詳解】解：因?yàn)橹本€l與直線平行，所以，所以直線的方程為，即，因?yàn)閳A心到直線的距離，又半徑，所以由弦長公式得.22、（1）6，4，2；（2）；（3）答案見解析.【解析】（1）先求出抽樣比，然后每次按比例抽取即可求出；（2）先求出抽出兩人的基本事件，再求出兩人都是高二學(xué)生包含的基本事件，即可求出概率；（3）可求出平均值進(jìn)行判斷；也可畫出莖葉圖觀察判斷.【詳解】解：（1）報(bào)名的學(xué)生共有126人，抽取的比例為，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.（2）記高二四個(gè)學(xué)生為1，2，3，4，高三兩個(gè)學(xué)生為5，6，抽出兩人表示為（x，y），則抽出兩人的基本事件為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），