第03講空間向量的應(yīng)用（秋季講義）（人教A版2019選擇性）

第03講空間向量的應(yīng)用【人教A版2019】模塊一模塊一用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系1．空間中直線、平面的平行(1)線線平行的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.(2)線面平行的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.(3)面面平行的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.2．利用向量證明線線平行的思路：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．3．證明線面平行問題的方法：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．4．證明面面平行問題的方法：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明．5．空間中直線、平面的垂直(1)線線垂直的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.(2)線面垂直的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.(3)面面垂直的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.6．證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．7．用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．8．證明面面垂直的兩種方法：(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．【題型1求平面的法向量】【例1.1】（2324高二上·浙江嘉興·期中）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，A?1,0,0，B1,2,?2，C2,3,?2，則平面ABCA．1,?1,0 B．1,?1,1 C．1,0,?1 D．0,1,1【解題思路】設(shè)平面ABC的一個法向量為n=x,y,z，利用【解答過程】由已知AB=設(shè)平面ABC的一個法向量為n=∴取x=1，解得n=選項A符合，另外選項BCD中的向量與選項A中的向量不共線.故選：A.【例1.2】（2324高二上·廣東茂名·期中）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E為棱

A．1,0,?2 B．0,1,2C．0,2,?4 D．?2,1,4【解題思路】設(shè)平面ABE的法向量為m=x,y,z，然后由m⊥【解答過程】由題意可得A0,0,0，E0,2,1，所以AE=0,2,1設(shè)平面ABE的法向量為m=由m?AE=0m?AB=0，得到所以平面ABE的一個法向量為m=所以2m=0,2,?4

故選：C.【變式1.1】（2324高二下·福建龍巖·期中）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑A?BCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC=90°，BD=AB=CD.若建立如圖所示的“空間直角坐標(biāo)系，則平面ACD的一個法向量為（

A．0,1,0 B．0,1,1 C．1,1,1 D．1,1,0【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)BD=AB=CD=1，可得A、C、D的坐標(biāo)，由此可得向量DC、AD的坐標(biāo)，由此可得關(guān)于x、y、z的方程組，利用特殊值求出x、y、z的值，即可得答案．【解答過程】根據(jù)題意，設(shè)BD=AB=CD=1，則D0,1,0，C1,1,0，則DC=1,0,0，設(shè)平面ACD的一個法向量為m=則有DC?m=x=0AD?m=y?z=0故選：B．【變式1.2】（2324高二上·海南?？凇るA段練習(xí)）如圖所示，正三棱柱ABC?A1B1C1，各條棱長均為2，點(diǎn)O，O1分別是棱AC，A1C1的中點(diǎn)，M是

①n1=③n3=A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【解題思路】利用平面向量的法向量的定義求解.【解答過程】依題意，A0,?1,0所以AM=設(shè)平面ABM的一個法向量為：n=則AM?n=0令x=2，則y=?23，z=23，所以令x=1，則y=?3，z=3，所以令x=?3，則y=3，z=?3，所以n令x=?2，則y=6，z=?6故選：B.【題型2空間線、面平行關(guān)系的判定及應(yīng)用】【例2.1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，棱長為a，M，N分別為A1B和A．相交 B．平行C．垂直 D．MN在平面BB【解題思路】以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1B1,C1D1【解答過程】以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1B1,C1因為A1M=AN=2又因為C1D1⊥平面BB可得MN?C1且MN?平面BB1C1C故選：B.【例2.2】（2324高二上·四川遂寧·期中）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，AH=λHP，CG=GP，若GH∥平面EFCA．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a(a>0)，根據(jù)法向量的求法可求得平面EFC的法向量n，由HG⊥【解答過程】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP正方向為x，設(shè)AD=a(a>0)，則A(0,0,0),P(0,0,a),C(a,a,0),E(0,a2,所以EF=(a2,?a2,0)設(shè)平面EFC的法向量n=(x,y,z)則EF?n=a2x?a2y=0由CG=GP可得G是PC的中點(diǎn)，由AH=λHP可得所以GH=因為GH//平面EFC，所以GH?n=?故選：C.【變式2.1】（2324高二·全國·課后作業(yè)）如圖，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，

(1)MN//平面C(2)平面MNP//平面C【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)正方體性質(zhì)可知DA為平面CC1D（2）證明DA也是平面MNP的一個法向量即可.【解答過程】（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1的方向分別為x，y，設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．

由正方體的性質(zhì)，知AD⊥平面CC所以DA=(2,0,0)為平面C由于MN=(0,1,?1)則MN?所以MN⊥又MN?平面CC所以MN//平面C（2）證明：因為DA=(2,0,0)為平面C由于MP=(0,2,0)，MN則MP·即DA=(2,0,0)也是平面MNP所以平面MNP//平面C【變式2.2】（2324高二上·天津薊州·階段練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：平面A1C1(2)線段B1C上是否存在點(diǎn)P，使得A1P//平面【解題思路】（1）根據(jù)題意，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面A1C1（2）由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，由A1P與平面【解答過程】（1）證明：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、則A(3,0,0)，B(3,4,0)，C(0,4,0)，A1(3,0,2)，B1(3,4,2)，則A1C1=(?3,4,0)，A1設(shè)平面A1C1則n?取x=4，則y=3，z=6，所以平面A1C1設(shè)平面ACD1的法向量為則m?取a=4，則b=3，c=6，所以平面ACD1的一個法向量為因為m=n，即m//n，所以平面（2）設(shè)線段B1C上存在點(diǎn)P使得A1P//平面由（1）得A1B1=(0,4,0)，B1所以A1所以m?A1所以當(dāng)P為線段B1C的中點(diǎn)時，A1【題型3空間線、面垂直關(guān)系的判定及應(yīng)用】【例3.1】（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB//CD，且CD=6,AB=12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如圖2，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上（不同于

(1)證明：OD⊥平面PAQ；(2)若BE＝2AE，求三棱錐P?ABQ的體積．【解題思路】（1）由OA，OB，（2）先計算S△ABQ，再計算三棱錐P?ABQ的高?=【解答過程】（1）由題設(shè)知OA,OB,OO以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OO1所在直線分別為設(shè)AQ=m，則O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0)，則OD=(3,0,6),因為P為BC中點(diǎn)，所以P(0,9因為OD?所以O(shè)D⊥即OD⊥AQ，又AQ,PQ?平面PAQ,AQ∩PQ＝所以O(shè)D⊥平面PAQ.（2）因為BE所以AQ因為AB=12,由題設(shè)知OA⊥OB，所以O(shè)A=6，所以S因為高為6的等腰梯形AABCD中，AB//CD，所以三棱錐P?ABQ的高?=O所以VP?ABQ【例3.2】（2324高二上·山西大同·期中）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=2AC=4,AA(1)若E為線段A1B的中點(diǎn)，證明：DE∥平面(2)若平面ADE⊥平面A1BC【解題思路】（1）利用棱長求出AC1=4=AB，進(jìn)而得到D是B（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面垂直時兩個面的法向量也互相垂直，列出方程進(jìn)行求解即可.【解答過程】（1）連接AC1，在直三棱柱ABC?A∴AC∵AD⊥BC1,∴D又E為A1B中點(diǎn)，∴DE∥∵AC∥A1C1，∴DE∥又DE?平面ABC,AC?平面ABC，∴DE∥平面ABC.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，則C1A1設(shè)A1則E0,4λ,2設(shè)平面A1BC則A1C1?n設(shè)平面ADE的法向量m=則AE?m=0AD?∵平面ADE⊥平面A1∴n?m∴當(dāng)平面ADE⊥平面A1BC【變式3.1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E在棱DD1上運(yùn)動，

(1)當(dāng)E,F為中點(diǎn)時，證明：DF⊥平面ACE；(2)若DF⊥平面ACE，求DGDF的最大值及此時DE【解題思路】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1方向為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)（2）由（1）坐標(biāo)關(guān)系與線面垂直，設(shè)DG=mDF，可得【解答過程】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1方向為

則A1,0,0設(shè)E0,0,λ當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時，λ=μ=12，有所以DF=12,12,1，AC所以DF⊥AC,DF⊥AE，又AC∩AE=A,AC,AE?平面ACE，所以DF⊥平面ACE．（2）由（1）可得DF=(μ,μ,1)，AC=(?1,1,0)，若DF⊥平面ACE，則AC?DF=0，AE設(shè)DG=mDF，則由AG?平面ACE，所以AG?當(dāng)μ≠0時，m=μ2μ2+1=1所以λ=μ=22，即綜上，DGDF的最大值為24，【變式3.2】（2324高二下·湖北·期中）在△ABC中，B=π2,AB=2BC=4，點(diǎn)D、E分別為邊AC、AB的中點(diǎn)，將△AED沿DE折起，使得平面AED⊥

(1)求證：DC⊥AE；(2)在平面ACD內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使得平面AEM⊥平面ABD？若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，說明理由.【解題思路】（1）利用已知可得AE⊥ED，結(jié)合面面垂直可得AE⊥平面BCDE，可證結(jié)論.（2）以點(diǎn)E為原點(diǎn)，以EB、ED、EA所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E?xyz，求得平面ABD的一個法向量，若AM∥DC，求得平面AEM的一個法向量，可判斷此情況不成立，若AM與DC不共線，設(shè)AM∩CD=N，連接EN，利用【解答過程】（1）在△ABC中，∵點(diǎn)D、E分別為邊AC、AB的中點(diǎn)，∴DE∥BC且B=π又∵平面AED⊥平面BCDE，平面AED∩平面BCDE=ED,AE?平面AED，∴AE⊥平面BCDE.又∵DC?平面BCDE,∴DC⊥AE.（2）由（1）知，AE⊥ED,AE⊥EB,EB⊥ED.以點(diǎn)E為原點(diǎn)，以EB、ED、EA所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系E?xyz.則E0,0,0EA=設(shè)m=x,y,z為平面則m?AB=0m?假設(shè)在平面ACD內(nèi)存在點(diǎn)M，使得平面AEM⊥平面ABD.連接AM.若AM∥DC，則設(shè)AM=μDC=由n?EA=0n?∵平面ABD的法向量m=1,2,1.由若AM與DC不共線，設(shè)AM∩CD=N，連接EN.

設(shè)DN=λDC=λ當(dāng)EN?BD=2λ,λ+1,0?又∵AE⊥BD,∴BD⊥平面AEN，即平面ABD⊥平面AEN，也即平面AEM⊥平面ABD.所以在平面ACD內(nèi)存在點(diǎn)M，當(dāng)M點(diǎn)在直線AN（N點(diǎn)在直線CD上且DN=13DC）上時，平面AEM⊥模塊二模塊二用空間向量研究空間角1．夾角問題(1)兩個平面的夾角：平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．(2)空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))2．用向量法求異面直線所成角的一般步驟：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.3．向量法求直線與平面所成角的主要方法:(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角.4．向量法求二面角的解題思路:用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大小.【題型4求異面直線所成的角】【例4.1】（2324高一下·浙江溫州·期中）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，AAA．33 B．?33 C．6【解題思路】依據(jù)題目中的垂直關(guān)系，可建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量AC1與BC的坐標(biāo)，即可求得異面直線AC【解答過程】由題意可知，AB,AC,AA則A0,0,0，C∴AC∴cos<異面直線AC1與CB故選：C．【例4.2】（2324高二下·陜西榆林·開學(xué)考試）如圖，在三棱錐P?ABC中，△ABC為等邊三角形，△PAC為等腰直角三角形，PA=PC=4，平面PAC⊥平面ABC，D為AB的中點(diǎn)，則異面直線AC與PD所成角的余弦值為（

）A．14 B．12 C．?2【解題思路】取AC的中點(diǎn)O，連接OP，OB，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得OP⊥平面ABC，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解異面直線夾角的余弦值即可.【解答過程】取AC的中點(diǎn)O，連接OP，OB，因為PA=PC，所以AC⊥OP.因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，OP?平面PAC，所以O(shè)P⊥平面ABC.又因為AB=BC，所以AC⊥OB，于是以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O?xyz，結(jié)合△PAC為等腰直角三角形，PA=PC=4，△ABC為等邊三角形，則A22,0,0，C?22所以AC=?42所以cosAC故異面直線AC與PD所成角的余弦值為24故選：D.【變式4.1】（2324高二下·江蘇連云港·期中）如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥平面ABCD，AB//CD，AB⊥AD，AD=CD=1，(1)證明：BC⊥C(2)求異面直線BM與AD所成角的余弦值．【解題思路】（1）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，只需證明BC⊥（2）求出異面直線BM與AD的方向向量，由向量的夾角公式即可得解.【解答過程】（1）因為AA1⊥底面ABCD，AD,AB?所以AA而AB⊥AD，所以AD、AA1、不妨以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD、AA1、AB所在直線分別為x、y、則B(0,0,2)、A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,0,1)、C1(1,2,1)、E(0,1,0)，BC=(1,0,?1)，E因為BC?EC1=0（2）BM=(12cosBM,AD=BM?因此，異面直線BM與AD所成角的余弦值為1111【變式4.2】（2324高二上·江西景德鎮(zhèn)·期末）在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，AD//BC，AD⊥AB，PA=AD=3，AB=BC=1，點(diǎn)Q在PD上，且

(1)求異面直線BQ與AD夾角的余弦值；(2)求點(diǎn)C到平面PBD的距離．【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線BQ與AD夾角的余弦值.（2）利用向量法求得點(diǎn)C到平面PBD的距離．【解答過程】（1）依題意可知AB,AD,AP兩兩相互垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得D0,3,0∴BQ=?1,2,1即異面直線BQ與AD夾角的余弦值為63

（2）設(shè)平面PBD的一個法向量n=∵BD由n?BD=0n?BP=0∴點(diǎn)C到平面PBD的距離d=n【題型5求線面角】【例5.1】（2425高二上·河南焦作·開學(xué)考試）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是B1A．255 B．105 C．2【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，求得向量AC?和平面ABEF【解答過程】由空間直角坐標(biāo)系中有棱長為2的正方體ABCD?A點(diǎn)E,F分別是B1C1可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,1,2)，則AC=(2,2,0),設(shè)平面ABEF的法向量為n=(x,y,z)，則n取y=2，可得x=0,z=?1，所以n=(0,2,?1)設(shè)直線AC與平面ABEF所成角θ，則sinθ=即直線AC與平面ABEF所成角的正弦值為105故選：B.【例5.2】（2324高二下·陜西西安·期末）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱A．155 B．789 C．105【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的方法求解即可.【解答過程】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則A(0,0,0),C(2,2,0),D所以AC設(shè)平面ACD1的法向量為則n?令y=?1，則x=z=1，所以n=(1,?1,1)設(shè)直線EC1與平面ACD所以sinθ=所以直線EC1與平面ACD故選：A.【變式5.1】（2425高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）如圖，已知多面體ABC?A1B1C1，A1A，B1B，C1(1)證明：AB(2)求直線AC1與平面【解題思路】（1）由題意，根據(jù)勾股定理的逆定理可得AB1⊥（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面角即可.【解答過程】（1）因為A1A⊥平面ABC，B1所以AA因為AA1=4，B所以A1又因為AB1=所以AB1⊥又A1B1∩B1C1=所以AB1⊥平面A1B所以AB（2）取AC中點(diǎn)O，過O作平面ABC的垂線OD，交A1C1因為AB=BC，所以O(shè)B⊥OC．因為AB=BC=2，∠BAC=120°，所以O(shè)B=1，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OD所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,?3,0，A10,?所以A1C1=0,2設(shè)平面A1B1則n?A1令x=1可得n=cosn設(shè)直線AC1與平面A1B1所以直線AC1與平面ABB【變式5.2】（2425高二上·山東東營·開學(xué)考試）如圖，六面體ABCDEFG中，BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG,DG∥EF,ED=DG=GF=1，AB=BC=CA=EF=2.(1)求證：DF⊥平面ABED；(2)若二面角A?DG?E的余弦值為?5719，求直線AG與平面【解題思路】（1）先證DE//AB和EF//BC，得∠DEF=∠ABC=60°，再由余弦定理，求出DF=3，得證DF⊥DE，由DF⊥BE即可證得DF⊥（2）取AB中點(diǎn)O，連接OD，證明OC,OA,OD兩兩垂直，建系，設(shè)BE=a(a>0)，寫出相關(guān)點(diǎn)和向量坐標(biāo)，利用已知二面角列方程求出a值，繼而通過空間向量夾角公式即可求得所求線面角余弦值.【解答過程】（1）因為BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG,AB?面ABC且DE?面DEFG，所以AB⊥BE且DE⊥BE，在面ABDE中，DE//AB，同理，在面BCFE中，EF//BC，因為AB=BC=CA=2，所以∠DEF=∠ABC=60°，又由余弦定理，DF2=由DF2+D由BE⊥面DEFG,DF?面DEFG，知DF⊥BE，又因為DE∩BE=E,DE?面ABED,BE?面ABED，所以DF⊥面ABED.（2）取AB中點(diǎn)O，連接OD,由題可知，DE∥OB且DE=OB，所以四邊形OBED為平行四邊形，則OD∥BE，因BE⊥面ABC，故OD⊥面ABC，又因△ABC為正三角形，所以O(shè)C,OA,OD兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C,OA,設(shè)BE=a(a>0)，則O易得，DF//OC,∠GDF=∠DFE=30°,設(shè)面ADG的法向量為n1→=不妨設(shè)z=3，則得，n又BE⊥面DEFG，故面DEFG的法向量可設(shè)為n2由題意cos?n1于是，AG=(設(shè)面BDF的法向量為m?=不妨設(shè)l=1，得m=設(shè)直線AG與平面BDF所成角為θ，則sinθ=又θ∈0,π2，故cosθ=45，則直線【題型6求平面與平面所成角】【例6.1】（2425高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD∥BC，PA=BC=2AD=2AB=4，AD⊥平面PAB，PA⊥AB，E、F分別是棱PB、PC的中點(diǎn)．

(1)證明：DF//平面ACE；(2)求平面ACE與平面PAD的夾角的正弦值．【解題思路】（1）由中位線易證明四邊形ADFE是平行四邊形，進(jìn)而得到AE//DF，進(jìn)而得到DF//平面ACE；（2）由題易知AB，AP，AD兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACE和平面PAD的法向量，通過平面與平面的夾角計算公式計算余弦值，再用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算正弦值；【解答過程】（1）如圖所示，連接EF．

因為E，F(xiàn)分別是棱PB，PC的中點(diǎn)，所以EF//BC，BC=2EF因為AD//BC，BC=2AD，所以EF//AD，EF=AD，所以四邊形ADFE是平行四邊形，則AE//DF．因為AE?平面ACE，DF?平面ACE，所以DF//平面ACE．（2）因為AD⊥平面PAB，PA、AB?平面PAB,所以AD⊥PA,AD⊥AB，又因為PA⊥AB，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AP，AD的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

由題中數(shù)據(jù)可得A(0,0,0)，C(2,0,4)，E(1,2,0),AC=(2,0,4)，AE設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z)則n令x=2，得n=(2,?1,?1)因為PA⊥AB,AB⊥AD，PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD平面PAD的一個法向量為AB=設(shè)平面ACE與平面PAD的夾角為θ，則cosθ=|cos故sinθ=即平面ACE與平面PAD的夾角的正弦值為33【例6.2】（2025·安徽·一模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD=PC=CB=BA=12AD=2,AD∥CB，∠CPD=∠ABC=90°，平面PCD⊥平面ABCD,E

(1)求證：PD⊥平面PCA；(2)點(diǎn)Q在棱PA上，CQ與平面PDC所成角的正弦值為63，求平面PCD與平面CDQ【解題思路】（1）應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理證明線面垂直；（2）先應(yīng)用空間向量法計算線面角得出參數(shù)，再計算二面角即可.【解答過程】（1）由題意：BC=AB=2,∠ABC=90°,∴AC=AB2又AD=4,∴CD2+AC又平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD,AC?平面ABCD，∴AC⊥平面PCD,PD?平面PCD,∴PD⊥AC，又PC⊥PD，且PC?面PCA,AC?面PCA,PC∩AC=C,∴PD⊥平面PCA．（2）以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C0,0,0∴CD設(shè)PQ=λPA(0<λ<1)取面PCD的一個法向量m=則cos?故CQ=令n=x,y,z是平面CDQ的一個法向量，則n令y=1，有n=0,1,?2故平面PCD與平面CDQ夾角的余弦值為55【變式6.1】（2425高三上·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，PA=AB,E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動點(diǎn)，BF=λ(1)證明：AE⊥PC；(2)求實數(shù)λ的值，使得平面AEF與平面PDC所成角的余弦值最大．【解題思路】（1）利用線面垂直PA⊥平面ABCD證明線線垂直PA⊥BC、線面垂直BC⊥平面PAB證明線線垂直BC⊥AE，然后再利用線面垂直AE⊥平面PBC證明線線垂直AE⊥PC，即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，以及F1,λ,0【解答過程】（1）因為PA⊥平面ABCD，又BC,AB?平面ABCD，所以PA⊥BC,PA⊥AB，又因為底面ABCD為正方形，所以BC⊥AB，又PA∩AB=A,PA?平面PAB,AB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB,又AE?平面PAB,所以BC⊥AE,又PA=AB,PA⊥AB,E為線段PB的中點(diǎn)，所以AE⊥PB,又PB∩BC=B,PB?平面PBC,BC?平面PBC,所以AE⊥平面PBC,又PC?平面PBC,所以AE⊥PC.（2）如圖，分別以AB,AD,AP所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)PA=AB=AD=1，則B1,0,0,C1,1,0BF=λBC0≤λ≤1則x?1,y,z=λ0,1,0，解得設(shè)平面AEF的法向量為n1則AE?所以12x1+12z設(shè)平面PCD的法向量為n2則DC→?n2→設(shè)平面AEF與平面PDC所成角為α，則cosα=令t=2λ+12∈所以cosα=因為12t+98t?所以當(dāng)t=32時，即λ=1【變式6.2】（2425高三上·四川成都·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=3(1)若AD⊥PB，證明：AD//平面PBC；(2)若AD//BC，且AD=23，線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角D?AC?E的正弦值為277？若存在，求出點(diǎn)【解題思路】（1）利用線面垂直的性質(zhì)判定證得AD⊥AB，再利用線面平行的判定推理即得.（2）以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，令BE=λBP,0≤λ≤1【解答過程】（1）在四棱錐P?ABCD中，由PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，得PA⊥AD，又AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PA?平面PAB，則AD⊥平面PAB，而AB?平面PAB，于是AD⊥AB，由BC2+A則AD//BC，又AD?平面PBC,BC?平面PBC，所以AD//平面PBC.（2）由（1）知AB⊥BC，過點(diǎn)B作Bz⊥平面ABCD，則直線BC,BA,Bz兩兩垂直，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，直線BC,BA,Bz分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,3假設(shè)存在點(diǎn)E滿足條件，令BE=λBP=(0,設(shè)平面ACE的法向量n=(x,y,z)，則n?AC=x?3由PA⊥平面ABCD，得PA=(0,0,?2)為平面ABCD由二面角D?AC?E的正弦值為277，得即|?23(1?λ)|2?(23所以點(diǎn)E是線段PB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，使得二面角D?AC?E的正弦值為27模塊模塊三用空間向量研究距離問題1．距離問題(1)點(diǎn)P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn)，設(shè)向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq\r(a2－a·u2)(如圖)．(2)點(diǎn)P到平面α的距離：設(shè)平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如圖)．2．向量法求點(diǎn)到直線距離的步驟：(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量.(2)在直線上任取一點(diǎn)M(可選擇特殊便于計算的點(diǎn)).計算點(diǎn)M與直線外的點(diǎn)N的方向向量.(3)垂線段長度.3．求點(diǎn)到平面的距離的常用方法(1)直接法：過P點(diǎn)作平面的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點(diǎn)P到平面的距離.②轉(zhuǎn)化法：若點(diǎn)P所在的直線l平行于平面，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點(diǎn)到平面的距離來求.③等體積法.④向量法：設(shè)平面的一個法向量為，A是內(nèi)任意點(diǎn)，則點(diǎn)P到的距離為.【題型7點(diǎn)到直線距離、異面直線距離的向量求法】【例7.1】（2324高二下·江西·階段練習(xí)）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，F(xiàn)是棱A1A．53 B．253 C．2【解題思路】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量結(jié)合二次函數(shù)求解作答.【解答過程】在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C則有B2,2,0，F(xiàn)設(shè)點(diǎn)P0,y,0則點(diǎn)P到直線BF的距離d=|當(dāng)且僅當(dāng)y=65時取等號，則點(diǎn)P到直線BF的距離的最小值為故選：D.【例7.2】（2324高二下·江蘇泰州·期中）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為3的正方形，PA⊥底面ABCD,PA=6，點(diǎn)G在側(cè)棱PB上，且滿足2PG=GB，則異面直線PC和DG的距離為（

）A．31414 B．31515 C．【解題思路】以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【解答過程】如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB→,AD則B3,0,0所以DG=設(shè)n=x,y,z為直線PC和則有n?DG=x?3y+4z=0所以異面直線PC和DG的距離為DC?故選：A.【變式7.1】（2324高二上·江蘇·期末）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和PD中點(diǎn).(1)求異面直線AF與EC所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)F到直線EC的距離.【解題思路】（1）根據(jù)底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線AF與EC所成角為α，cosα=（2）根據(jù)直線EC的一個方向向量m=?2,1,0，結(jié)合FC=（0，2，?1），|FC|=5，由d=|【解答過程】（1）解：因為在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則D（0，0，0），A（2，0，0），F(xiàn)（0，0，1），E（2，1，0），P（0，0，2），C（0，2，0）.所以AF=（?2，0，1），EC=（?2，1，0），設(shè)異面直線AF與EC所成角為α，則cosα=AF·所以異面直線AF與EC所成角的余弦值為45（2）因為EC=（?2，1，0），所以直線EC的一個方向向量m=又FC=（0，2，?1），|FC|=5，所以點(diǎn)F到直線EC的距離d=|FC|2?FC【變式7.2】（2024·山西呂梁·一模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=π

(1)線段PB上是否存在一點(diǎn)Q使得QC⊥CD，若存在，求出BQ的長，若不存在，說明理由；(2)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值，求異面直線PB與CD之間的距離．【解題思路】（1）首先以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由CQ?CD=0，即可求解點(diǎn)Q（2）由異面直線的距離的定義，結(jié)合（1）的結(jié)果，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)Q到直線CD的距離，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題.【解答過程】（1）以AB,AD,則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B1,0,0，C1,1,0，D0,2,0BP=設(shè)Q為直線PB上一點(diǎn)，且BQ=λBP=∴CQ=?λ,?1,3λ∴CQ所以存在點(diǎn)Q，滿足QC⊥CD，此時BQ=BP=10

（2）由（1）可得CD=(?1,1,0)又Q則點(diǎn)Q到直線CD的距離d=CQ=λ∵19∴d≥3所以異面直線PB與CD之間的距離為319【題型8求點(diǎn)面距、線面距、面面距】【例8.1】（2324高二下·福建廈門·期末）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，BB1，DD1的中點(diǎn)，過A．1717 B．31717 C．5【解題思路】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面α的法向量，利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【解答過程】在正方體ABCD?A則A(2,0,0),AEA1=(1,?2,2),GF=(2,2,0),由A1E//α，F(xiàn)G?α，得n⊥EA所以點(diǎn)A到平面α的距離d=|故選：D.【例8.2】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，AD，B1A．13 B．23 C．12【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)F到平面GHDB的距離，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1的方向為x軸、y軸、【解答過程】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1的方向為x軸、y軸、

則D(0,0,0)，F(xiàn)(1,0,0)，B(2,2,0)，H(0,1,2)，E(2,1,0)，B1所以DF=(1,0,0)，DH=(0,1,2)，DB=(2,2,0)所以DH=EB1，因為D,H,E,B由EB1?面GHDB，DH?面GHDB，則E因為E，F(xiàn)，分別是棱AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，同理，EF∥平面GHDB，而EF∩EB1=E，EF,E所以平面EFD1B1∥平面GHDB,EF?面EFD所以平面EFD1B1和平面GHDB之間的距離，就是EF到平面GHDB的距離，也就是點(diǎn)設(shè)平面GHDB的法向量為n=(x,y,z)，則n?DH=y+2z=0n所以點(diǎn)F到平面GHDB的距離d=DF?n即平面EFD1B1和平面故選：B.【變式8.1】（2024高二·全國·專題練習(xí)）設(shè)正方體ABCD?A(1)求直線B1C到平面(2)求平面A1BD與平面【解題思路】（1）直線B1C到平面A1BD的距離等于點(diǎn)（2）平面A1BD與平面B1CD【解答過程】（1）以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x，y，則D所以CB1=2,0,2,又CB1?平面A1BD，DA1所以直線B1C到平面A1BD的距離等于點(diǎn)設(shè)平面A1BD的一個法向量為則n?DA1=2x+2z=0n?所以點(diǎn)B1到平面A1BD

（2）由（1）知CB1//平面A1BD又B1C∩D1B所以平面A1BD//平面即平面A1BD與平面B1CD由（1）知，點(diǎn)B1到平面A1BD所以平面A1BD與平面B1【變式8.2】（2024·海南·模擬預(yù)測）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D(1)證明：A1(2)若直線AB與平面B1CD1所成角的正弦值為66，點(diǎn)M為線段BD【解題思路】（1）因為A1B1//AB，因此只需證明AB⊥平面ADD（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先由直線AB與平面B1CD1所成角的正弦值為66，求出AA1，再證明BD//平面B1C【解答過程】（1）因為AB=AD=2，BD=22所以AB2+A因為ABCD?A所以A1因為A1A∩AD=A，A1所以AB⊥平面ADD因為A1B1//AB，所以因為AD1?平面（2）由（1）及題意知，AB,AD,A因為AB=AD=2，BD=22，BC=4所以A(0,0,0),B(2,0,0),所以AB=(2,0,0),設(shè)平面B1C則n?令z=4，則x=y=?，所以n設(shè)直線AB與平面B1CD則sinθ=解得?=2，所以n所以點(diǎn)B到平面B1C因為BD·n因為BD不在平面B1CD1，所以因為M在線段BD上，所以點(diǎn)M到平面B1CD1的距離等價于點(diǎn)B故點(diǎn)M到平面B1CD【題型9立體幾何中的探索性問題】【例9.1】（2324高二下·浙江寧波·期中）如圖，多面體ABCDE中，直角梯形ABCD所在平面與正三角形ABE所在平面垂直，∠ADC=90°，AB=AD=2CD=4．(1)求該多面體的體積V；(2)在棱BC上是否存在點(diǎn)P，使得直線PE和平面ADE所成的角大小為30°？若存在，求出BPBC【解題思路】（1）取AB中點(diǎn)F，連接EF，求證EF⊥平面ABCD，即可由V=1（2）先求證FB,FE,FC兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系F?xyz，設(shè)BPBC=λ,λ∈0,1，依據(jù)已知條件求出PE和平面ADE的法向量n，再依據(jù)cos【解答過程】（1）取AB中點(diǎn)F，連接EF，則由△ABE為正三角形得EF⊥AB，又因為平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，EF?平面ABE，所以EF⊥平面ABCD，又由題意EF=A所以該多面體的體積V=1（2）連接CF，由題意以及（1）可知AF//DC且AF=DC，所以四邊形AFCD是平行四邊形，所以AD//CF，所以CF⊥AB，所以由EF⊥平面ABCD可知FB,FE,FC兩兩垂直，所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F?xyz，則E2所以BE=23設(shè)BPBC=λ,λ∈0,1所以PE=設(shè)n=x,y,z是平面ADE的一個法向量，則所以AE·n=0AD·n=0所以直線PE和平面ADE所成的角的正弦值為cos=2整理得λ2+5λ?4=0,λ∈0,1，解得λ=所以在棱BC上存在點(diǎn)P，使得直線PE和平面ADE所成的角大小為30°，此時BPBC【例9.2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知正四棱臺ABCD?A1B1C

(1)求側(cè)棱AA1與底面(2)在線段CC1上是否存在一點(diǎn)P，使得BP⊥A【解題思路】（1）先求得正四棱臺的高，然后求得側(cè)棱AA1與底面（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法確定是否存在符合題意的P點(diǎn).【解答過程】（1）依題意，在正四棱臺ABCD?A1B所以上底面積S1=2×2=4，下底面積設(shè)正四棱臺的高為?，則13連接AC,A1C所以AA設(shè)側(cè)棱AA1與底面ABCD所成的角為θ，則由于線面角θ的取值范圍是0,π2，所以（2）連接BD,B1D以O(shè)為原點(diǎn)，OA,OB,OO1分別為A1設(shè)線段CC1上存在一點(diǎn)P，滿足C1C1則BP=A1若BP⊥A1D即?2解得λ=2，舍去，所以在線段CC1上不存在一點(diǎn)P，使得【變式9.1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是等腰直角三角形，其中∠EBC=π(1)設(shè)線段BE中點(diǎn)為F，證明：CF∥平面ADE(2)在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)B到平面CEM的距離等于22，如果存在，求MB【解題思路】（1）取AE的中點(diǎn)G，根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；（2）設(shè)MB=x，根據(jù)等體積法VB?MEC=V【解答過程】（1）取BE的中點(diǎn)F，AE的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、GD、CF，則有GF=12AB因為DC=12AB，CD//AB所以四邊形CFGD是平行四邊形，則CF//又DG?平面ADE，CF?平面ADE，所以CF//平面ADE（2）存在.設(shè)MB=x(0<x<4)，在Rt△BEC中，EC=因為MB⊥平面BEC，所以VM?BEC因為MB⊥平面BEC，BE?平面BEC，BC?平面BEC所以MB⊥BE,MB⊥BC，則△MBE,△MBC均為直角三角形.在Rt△MBE中，ME=同理，MC=x取EC的中點(diǎn)H，因為ME=MC，所以MH⊥EC，而MH=M故S△MEC因為點(diǎn)B到面CEM的距離等于22所以VB?MEC而VB?MEC=VM?BEC，所以所以在線段AB上只存在唯一一點(diǎn)M，當(dāng)且僅當(dāng)BM=23015時，點(diǎn)B到面CEM【變式9.2】（2324高二上·云南昆明·期末）已知平行四邊形ABCD如圖甲，∠D=60°，DC=2AD=2，沿AC將△ADC折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置，且PC⊥BC，連接PB得三棱錐(1)證明：平面PAB⊥平面ABC；(2)在線段PC上是否存在點(diǎn)M，使二面角M?AB?C的余弦值為1313，若存在，求出PM【解題思路】（1）推導(dǎo)出PA⊥AC，證明出BC⊥平面PAB，可得出PA⊥BC，利用線面垂直和面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、AC、AP的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PM=λPC，其中0≤λ≤1，利用空間向量法可得出關(guān)于λ的等式，結(jié)合0≤λ≤1求出【解答過程】（1）證明：翻折前，因為四邊形ABCD為平行四邊形，∠D=60°，則因為DC=2AD=2，則AB=DC=2，BC=AD=1，由余弦定理可得AC所以，AC2+BC2翻折后，則有BC⊥AC，PA⊥AC，因為PC⊥BC，AC∩PC=C，AC、PC?平面PAC，所以，BC⊥平面PAC，因為PA?平面PAC，則PA⊥BC，因為AC∩BC=C，AC、BC?平面ABC，所以，PA⊥平面ABC，因為PA?平面PAB，故平面PAB⊥平面ABC.（2）解：因為PA⊥平面ABC，BC⊥AC，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、AC、AP的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、P0,0,1、C0,設(shè)PM=λPC=λ則AM=AP+設(shè)平面ABM的法向量為m=則m?AB=?x+3y=0m?所以，m=易知平面ABC的一個法向量為n=則cosm,n因為0≤λ≤1，解得λ=1因此，線段PC上存在點(diǎn)M，使二面角M?AB?C的余弦值為1313，且PM一、單選題1．（2324高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，E為BBA．（1，?2，4） B．（?4，1，?2）C．（2，?2，1） D．（1，2，?2）【解題思路】設(shè)正方體的棱長為2，依次求出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)向量n=(x,y,z)是平面AEF【解答過程】解：設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0),E(2,2,1)，F(xiàn)(1,0,2)，∴AE=(0,2,1),設(shè)向量n=(x,y,z)是平面AEF則n?AE=2y+z=0,n?則n=(?4,1,?2)是平面AEF結(jié)合其他選項，只需和n=(?4,1,?2)檢驗可知，ACD選項均不與n=(?4,1,?2)所以能作為平面AEF的法向量只有選項B故選：B．2．（2425高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知AB=1,2,?2，AC=?12,0,1A．2 B．3 C．2 D．3【解題思路】由坐標(biāo)運(yùn)算求出AB，AC，AB?AC，進(jìn)而求出cosAB,AC，再求得AB在AC【解答過程】因為AB=1,2,?2，所以AB=1+4+4=3AB?cosAB所以AB在AC方向上的投影為，ABcos所以點(diǎn)B到直線AC的距離為AB2故選：C.3．（2324高二上·廣東·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，PA=AB=2，若OG//平面EFC，則AG=（

）A．12 B．34 C．2【解題思路】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP的方向分別為【解答過程】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,由題意可得P0,0,2則F1,0,1所以FC=設(shè)平面EFC的法向量為n=則n?FC=0n?FE所以平面EFC的一個法向量為n因為OG∥平面EFC，則設(shè)G0,0,a，則OG=解得a=23，所以G故選:C.4．（2425高二上·河北張家口·開學(xué)考試）如圖，在正四棱錐P?ABCD中，PA=2AB,E為PC的中點(diǎn)，則異面直線BE與AC所成角的余弦值為（A．66 B．24 C．63【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，先利用向量法求cosBE【解答過程】連接BD交AC于O，連接OP，由四棱錐P?ABCD是正四棱錐，則OP⊥平面ABCD，且OB⊥OC.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B,OA,OP所在直線為由PA=2AB，不妨設(shè)AB=2在Rt△POB中，PO=則O(0,0,0),A(0,?1,0)B1,0,0,C0,1,0BE=則cosBE由異面直線BE與AC所成角為銳角，所求余弦值為24故選：B.5．（2324高二下·江蘇徐州·階段練習(xí)）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點(diǎn)，A．33 B．2 C．22λ【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，由點(diǎn)到平面的距離公式計算即可．【解答過程】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為則G2,λ,2，D10,0,2，E所以ED1=?2,0,1，設(shè)平面D1EF的法向量為n=取x=1，得n=所以點(diǎn)G到平面D1EF的距離為故選：D．6．（2324高二上·福建泉州·期末）如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=λAB

A．當(dāng)λ>1時，存在M，使得CM⊥平面EFGB．存在M，使得AM//平面EFGC．存在M，使得平面MBC1D．存在λ，使得平面MB1【解題思路】對于ABD：建系，利用空間向量結(jié)合線、面位置關(guān)系分析判斷，對于C：根據(jù)面面平行的判定定理分析判斷.【解答過程】以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1分別為

設(shè)AB=2，則AA1=2λ因為點(diǎn)E,F,G分別是BC,CD,CC所以E1,2,0對于選項B：設(shè)平面EFG的一個法向量為n=因為EF=可得n?EF=?x?y=0n?設(shè)DM=k因為A12,0,2λ，則DA1=則AM=若AM∥平面EFG，則AM⊥可得λ2k?2+2λk=λ4k?2=0，且即M為A1對于選項A：由B可知：CM=若CM⊥平面EFG，則CM//則2kλ=?2對于選項D：由B可知：M2k,0,2λk，則CM因為B12,2,2λ，則BC設(shè)平面MB1C則m?CM=2ka?2b+2kλc=0m?若平面MB1C⊥平面EFG對于選項C：

當(dāng)M與D重合時，因為E,G分別是BC,CC則EG//BC1，且EG?平面EFG，BC可得BC1//同理可得：DC1//且BC1∩DC1所以此時平面MBC1//

故選：A.7．（2024·山東臨沂·二模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，A．直線MN與A1C所成角的余弦值為63 B．平面BMN與平面C．在BC1上存在點(diǎn)Q，使得B1Q⊥BD1 D．在B【解題思路】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，由空間向量計算異面直線所成角，二面角和線線垂直可判斷ABC；由N,M,B,A四點(diǎn)共面，而A∈平面BMN可判斷D.【解答過程】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，所以A1,0,0,D0,0,0M0,1,對于A，MN=0,?1直線MN與A1C所成角的余弦值為對于B，MN=0,?1設(shè)平面BMN的法向量為n=x,y,z，則取x=1，可得y=0,z=2，所以n=C1D1設(shè)平面BC1D1的法向量為取x1=1，可得y1平面BMN與平面BCcosm對于C，因為Q在BC1上，設(shè)Qx0,1,則C1Q=所以Qλ,1,?λ+1，B所以B1Q?故BC1上存在點(diǎn)Q1對于D，因為MN//DC//AB，所以N,M,B,A四點(diǎn)共面，而A∈平面BMN，所以B1D上不存在點(diǎn)P，使得PA//平面故選：C.8．（2425高二上·湖南株洲·開學(xué)考試）如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D

A．直線A1P與BDB．若B1P=1C．當(dāng)B1P=2PCD．當(dāng)B1P=2PC時，點(diǎn)D1到平面【解題思路】建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，利用反證法可判斷A的正誤，利用向量法可求面面角的余弦值后結(jié)合同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式計算后可判斷B的正誤，利用空間中的距離公式計算CD后可判斷它們的正誤，.【解答過程】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0,B2,0,0對于A，設(shè)B1P=t故A1P=設(shè)直線A1P與BD所成的角為θ，則若直線A1P與BD所成的角是π6整理得到：4t2+4t+1=0故直線A1P與BD所成的角不可能是對于B，當(dāng)B1P=13故BP=0,23,43則n?BP=0n?BA1=0即2又A1P?=2,23則n?A1P=0n?A1B1故coss→,n→對于C，當(dāng)B1P=2PC時，又B的分析可得P2,43對于D，當(dāng)B1P=2PC時，結(jié)合A中分析可得t=23，故而BA1=?2,0,2，設(shè)平面則m?BP=0m?BA1=0即4又D1A1=0,?2,0，故D故選：B.二、多選題9．（2324高二下·甘肅臨夏·期末）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)Q為C1D的中點(diǎn)，點(diǎn)P是棱CC1上一動點(diǎn)（與C，C1不重合），過點(diǎn)P

A．PE⊥平面AB1C1DC．存在點(diǎn)P使得PQ1//平面AB1【解題思路】利用線面垂直的性質(zhì)判定推理判斷A；求出三棱錐體積最大值判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算判斷CD.【解答過程】對于A，由AD⊥平面CDD1C1，PE?平面CDDAD∩C1D=D,AD,C1D?平面對于B，令CP=t(0<t<1)，則△BCP的面積S=12t由EQ1⊥CD，可得EQ1//平面BCC三棱錐Q1?BCP體積V=1對于C，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則P(0,1,t),QPQ1=(0,t?12即當(dāng)t=13時，P而PQ1?平面AB1因此PQ1//對于D，Q(0,12,12因此PQ1與故選：AC.

10．（2324高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知正方體ABCD?A1B1C1DA．直線MN與A1CB．平面BMN與平面BC1C．在BC1上存在點(diǎn)QD．在B1D上存在點(diǎn)P，使得PA//【解題思路】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，由空間向量計算異面直線所成角，二面角和線線垂直可判斷ABC；由N,M,B,A四點(diǎn)共面，而A∈平面BMN可判斷D.【解答過程】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為1，所以A1,0,0,D0,0,0M0,1,對于A，MN=0,?1直線MN與A1C所成角的余弦值為對于B，MN=0,?12,0，BM=?1,0,取x=1，可得y=0,z=2，所以n=1,0,2，C1設(shè)平面BC1D1的法向量為取x1=1，可得y1平面BMN與平面BC1D對于C，因為Q在BC1上，設(shè)Qx0,1,則C1Q=所以Qλ,1,?λ+1，B所以B1Q?故BC1上存在點(diǎn)Q1對于D，因為MN//DC//AB，所以N,M,B,A四點(diǎn)共面，而A∈平面BMN，所以B1D上不存在點(diǎn)P，使得PA//平面故選：BC.11．（2324高一下·河南周口·期末）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，P,Q分別是棱A．若t=1，則A1BB．若t=1，則過點(diǎn)M,P,Q的截面面積是9C．若t=12，則點(diǎn)A1到平面D．若t=12，則AB與平面MPQ【解題思路】延長BB1,QP相交于點(diǎn)L，若A1B1//平面MPQ，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得L與B重合可判斷A；連接AD1,QD1,C1【解答過程】對于A，若t=1，則BM=BA，即點(diǎn)M與點(diǎn)延長BB1,QP相交于點(diǎn)L，連接AL，則平面AL若A1B1//平面MPQ，A1因為A1B1//AB，所以AB

對于B，若t=1，則BM=BA，即點(diǎn)M與點(diǎn)連接AD1,QD1即四邊形AD1QP即為過點(diǎn)M,P,QAP=A所以四邊形AD1QP所以四邊形AD1QP

對于C，若t=12，即點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，以D為原點(diǎn)，的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則M2,1,0MP=?1,1,0,設(shè)n=x,y,z為平面n?MP=0n?MQ=0所以n=1,1,1，所以點(diǎn)A1d=M

對于D，若t=12，由C，A2,0,0n=1,1,1為平面設(shè)AB與平面MPQ所成角為θ0≤θ≤則sinθ=所以cosθ=可得tanθ=33故選：BD.三、填空題12．（2425高二上·上?！ふn堂例題）在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，平面α經(jīng)過三點(diǎn)A1,0,2、B0,1,0、C?2,1,1，向量n=1,λ,μ是平面【解題思路】根據(jù)題意可得n?AB=0【解答過程】因為A1,0,2、B0,1,0、所以AB=(?1,1,?2),因為向量n=1,λ,μ是平面所以n?AB=?1+λ?2μ=0所以λ+μ=7.故答案為：7.13．（2324高二下·全國·隨堂練習(xí)）正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，B【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的正弦值求出AA【解答過程】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA1所在直線為因為棱柱ABCD?A1B則B1,0,0其中平面ACC1A1設(shè)B1C與平面ACC則sinθ=得：a=3，即故答案為：3.14．（2425高二下·全國·單元測試）如圖，在長方體ABCD?A′B′C′D′中，AB=AA′=AD=2，以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD′的方向分別為x軸、

【解題思路】根據(jù)已知得出點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用向量法求點(diǎn)到平面距離即可.【解答過程】如圖可得P2,1,0設(shè)平面A'BC所以?2x+2y=0?2x+2z=0令x=1,所以y=1,z=1,所以n→PB所以P到平面A'BC故答案為：33四、解答題15．（2425高二下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M，N，Q分別是PC，AB，CD的中點(diǎn).

(1)求證：MN//平面PAD；(2)求證：平面MNQ//平面PAD.【解題思路】（1）由已知可證得AB,AD,AP兩兩垂直，所以以A為原點(diǎn)，分別